ESCENARIO DIDÁCTICO UNIDAD I

En el gran premio de F1 de España en 2008, los autos de Fernando Alonso y Kimi Raikkonen están uno al lado del otro al inicio de la carrera, la velocidad del auto conducido por Kimi Raikkonen se denota por (Vr) mientras que la velocidad el auto conducido por Fernando Alonso se denota por (Va). En la siguiente tabla se observan las velocidades de cada vehículo durante los primeros 10 segundos. ¿cuántos metros aventaja el auto de Fernando Alonso al de Kimi Raikkonen después de 10 segundos? t(s) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Vr 30 48 57 69 81 93 104 111 121 129 Va 33 58 78 92 106 120 140 147 153

Para poder resolver éste problema, necesitamos conocer: La fórmula de la velocidad La fórmula de la distancia ¿La velocidad cambia si la expresión está dada en km/h o m/s? Cómo se representa en un plano el tiempo y la velocidad? Menciona algunas figuras geométricas que expresen área ¿Cuál es la fórmula de cada una de ellas? ¿Habrá una herramienta matemática que solucione el problema? ¿El resultado obtenido es exacto?

Iremos contestando éstas preguntas poco a poco Iremos contestando éstas preguntas poco a poco. 1) La fórmula de la velocidad es v = d/t, su unidad de medida principal es m/s. 2) Despejando la distancia de la fórmula de la velocidad encontramos que d = (v)(t) 3) Si convertimos la velocidad de km/h a m/s, no cambia la velocidad, lo que cambia es la expresión y la magnitud. 4) El tiempo se representa en el eje de las abscisas y la velocidad en el eje de las ordenadas. 5) Algunas figuras geométricas que expresen área pueden ser: círculo, triángulo, rectángulo, cuadrado, trapecio, etc. 6) La fórmula de cada una de las figuras anteriores es: πr2, b(h)/2; b(h); l(l); (B+b)(h)/2; respectivamente. Las dos últimas las dejaremos para después.

Lo primero que necesitamos hacer es: convertir las velocidades de km/h a m/s v (km/h) v (m/s) T(S) Kimi R Fernando A. Fernando A 1 30 33 8,3 9,2 2 48 58 13,3 16,1 3 57 78 15,8 21,7 4 69 92 19,2 25,6 5 81 106 22,5 29,4 6 93 120 25,8 33,3 7 104 129 28,9 35,8 8 111 140 30,8 38,9 9 121 147 33,6 40,8 10 153 42,5 Para convertir se hace así: 30km 1000 m 1 h = 30000 m h 1 km 3600 s 3600 s = 8.3 m/s Lo mismo se hace en los demás casos.

Grafiquemos por separado el tiempo vs la velocidad de cada uno de ellos.

El tema 1.1 es área bajo la curva ¿Qué relación tiene el área bajo la curva con respecto a la distancia de ventaja de los corredores? Si nos regresamos a la pregunta #2 y la relacionamos con la respuesta de la pregunta #6, notaremos que el área de un rectángulo es semejante en cuanto a la forma de representarlo. Observa: d = v(t) A = b(h) Esto nos lleva a concluir que si conocemos el área bajo la curva, entonces podremos conocer la distancia que recorrió cada uno de ellos. v….. t h…. b

Pero, ¿Cómo calcular el área bajo la curva, sino es una figura regular? No te preocupes, no es difícil, lo que tenemos que hacer es dividir el área bajo la curva con figuras geométricas que conoscas. ¿Cuál crees que sea la figura geométrica más adecuada para cubrir el área? si usamos el círculo nos quedarían muchos espacios vacíos. Su utilizamos el triángulo nos complicaríamos con la ley de los senos y los cosenos en los lugares donde no se pueda aplicar el triángulo rectángulo. Correcto, el más sencillo para trabajar es el rectángulo. Observa:

Área Cálculo unidades 1 8,3 m 2 13,3 3 15,8 4 19,2 5 22,5 6 25,8 7 28,9 8 30,8 9 33,6 Total 198,3 A9 A8 A7 A6 A5 Ahora, calcula el área de cada uno de los rectángulos. Recuerda: Área = b(h) pero la base es el tiempo y la altura es la velocidad, => A= t(v) = distancia. A4 A3 A2 A1 ¿Éste resultado es exacto? Justifica. No, porque la distancia recorrida por Kimi R. es TODA el área bajo la curva y faltan espacios.

Haremos lo mismo que hicimos que con Kimi Raikkonen. Área Cálculo unidades 1 9,2 m 2 16,1 3 21,7 4 25,6 5 29,4 6 33,3 7 35,8 8 38,9 9 40,8 Total 250,8 A9 A8 A7 A6 A5 A4 A3 A2 A1 Haremos lo mismo que hicimos que con Kimi Raikkonen. Sucede lo mismo; la distancia no es TODA la recorrida por Fernando Alonso.

La ventaja que tiene Fernando Alonso con respecto a Kimi Raikkonen es: Ventaja = distancia Fernando A. – distancia Kimi R. V = 250.8 m – 198.3 m = 52.5 metros Pero podemos concluir que el resultado no es exacto debido a todas las superficies que se pierden al colocar los rectángulos.

¿Qué sucede si volvemos a hacer lo mismo, pero ahora la base de los rectángulos mide 0.5 segundos? La distancia recorrida por Kimi Raikkonen es de: d = 209.2 metros A19 A17 A18 A15 A16 A13 A14 A11 A12 A9 A10 A7 A8 A4 A5 A6 A3 A2 a1 La distancia recorrida por Fernando Alonso es de: d = 264.8 metros Ventaja : 55.6 metros A18 A19 A17 A15 A16 A13 A14 A12 A11 A10 A9 A8 A7 A6 A5 A4 A3 A2 A1

Tablas para calcular el área con 0.5 segundos de base Área bajo la curva de Kimi Raikkonen Rectángulo Altura del rectángulo Área 1 3,8 1,90 11 25,2 12,60 2 8,3 4,15 12 25,8 12,90 3 10,7 5,35 13 28,1 14,05 4 13,3 6,65 14 28,9 14,45 5 14,4 7,20 15 30,5 15,25 6 15,8 7,90 16 30,8 15,40 7 18,1 9,05 17 32,6 16,30 8 19,2 9,60 18 33,6 16,80 9 21,3 10,65 19 35,5 17,75 10 22,5 11,25 TOTAL 209,20 Área bajo la curva de Fernando Alonso Rectángulo Altura del rectángulo Área 1 4,2 2,1 11 31,9 15,95 2 9,3 4,65 12 33,5 16,75 3 12,5 6,25 13 35,6 17,8 4 16,2 8,1 14 36 18 5 18,6 15 37,8 18,9 6 21,8 10,9 16 39,1 19,55 7 23,9 11,95 17 40,7 20,35 8 25,8 12,9 42,4 21,2 9 27,9 13,95 19 42,8 21,4 10 29,6 14,8 total 264,8

Ahora, volveremos a hacer lo mismo pero los rectángulos los colocaremos por arriba de la curva La distancia recorrida por Kimi Raikkonen es de: d = 234 metros A 10 A9 A8 A7 A6 A5 A4 A3 A2 A1 La distancia recorrida por Fernando Alonso es de: d = 299.1 metros Ventaja = 65,1 metros .. A 10 A9 A8 A7 A6 A5 A4 A3 A2 A1

Distancia de Kimi Raikkonen Distancia de Fernando Alonso Tablas para calcular el área con rectángulos por arriba de la curva con base de 1 segundo Distancia de Kimi Raikkonen Rectángulo h A = d 1 8,3 2 13,3 3 15,8 4 19,2 5 22,5 6 25,8 7 28,9 8 30,8 9 33,6 10 35,8 Total 234 Distancia de Fernando Alonso Rectángulo h A = d 1 9,2 2 16,1 3 21,7 4 25,6 5 29,4 6 34,4 7 36,9 8 39,7 9 41,9 10 44,2 Total 299,1 Ventaja = 65,1 metros

Tablas para calcular el área con rectángulos por arriba de la curva con base de 0.5 segundo Distancia recorrida por K. R. con base de o.5 seg Rectángulo h A = d 1 2,5 1,3 11 25,8 12,9 2 6,7 3,4 12 26,6 13,3 3 10,7 5,4 13 28,9 14,5 4 12,5 6,3 14 29,7 14,9 5 14,7 7,4 15 30,8 15,4 6 15,8 7,9 16 32,1 16,1 7 17,4 8,7 17 33,6 16,8 8 19,2 9,6 18 34,7 9 22,5 11,3 19 35,8 17,9 10 23,3 11,7 20 37,1 18,6 Total 230,2 Distancia recorrida por F. A. con base de o.5 seg Rectángulo h A = d 1 4,2 2,1 11 32 16,0 2 9,2 4,6 12 34,4 17,2 3 12,7 6,4 13 35,3 17,7 4 16,1 8,1 14 36,9 18,5 5 19,3 9,7 15 37,6 18,8 6 21,7 10,9 16 39,7 19,9 7 24,5 12,3 17 41,3 20,7 8 25,6 12,8 18 41,9 21,0 9 28,1 14,1 19 42,7 21,4 10 29,4 14,7 20 44,2 22,1 Total 288,4 Ventaja = 58,2 metros

Gráficas de distancia con 0,5 seg de base La ventaja de Fernando Alonso con respecto a Kimi Raikkonen es de: 58.2 metros A 19 A 20 A17 A18 A16 A15 A12 A13 A14 A11 A9 A10 A7 A8 A6 A5 A4 A3 A2 A1

Resumen Analicemos los resultados que nos arrojaron las gráficas: Primer caso. Ventaja = 52.5 metros Rectángulos tienen un segundo de base. Ventaja = 55.6 metros Rectángulos tienen 0.5 segundos de base. CONCLUSIÓN: Al observar los resultados y el procedimiento que me llevó a ellos, se concluye que mientras más pequeña sea la base del rectángulo, mayor será la aproximación a la ventaja exacta. Segundo caso: Ventaja = 64.1 metros La base mide 1 segundo. Ventaja = 58.2 metros La base mide 0.5 segundos En éste caso, la ventaja comienza a disminuir cuando la base de los rectángulos disminuye, si se sigue disminuyendo la base, la ventaja se aproximará a la exacta. CONCLUSIÓN FINAL: Analizando ambos casos, llegamos a la conclusión de que la ventaja exacta se encuentra entre 55.6 metros y 58.2 metros; es decir: 55.6 < Ventaja exacta < 58.2