CAPITULO 7 Estudio de Circuitos en Régimen Transitorio Teoría de Circuitos I

Estudiaremos el comportamiento dinámico de los circuitos cuando se producen perturbaciones, originadas por apertura o cierre de llaves, o por variaciones súbitas en la alimentación. Circuito Dinámico: Incluye Capacitores, Inductores, o ambos. La energía no se disipa en forma de calor, sino que queda almacenada en el campo eléctrico (en C) o magnético (en L). El comportamiento de las formas de onda de tensión y corriente quedará definido por ecuaciones diferenciales cuyo orden depende del número de almacenadores que tenga el circuito.

Propiedades básicas de los capacitores e inductancias invariantes en el tiempo Memoria: Condiciones iniciales

Memoria: Las condiciones inciales son equivalentes, desde el punto de vista externo, a los siguientes cicuitos: Es importante tener en cuenta la polaridad/sentido de circulación de la condición inicial para el modelo !!!

Propiedades básicas de los capacitores e inductancias invariantes en el tiempo Continuidad: Si la forma de onda de corriente ic(t) en un capacitor lineal ( ten-sión vL(t) en un inductor ) permanece acotada en un intervalo ce-rrado [ta, tb], entonces la tensión vc(t) en el capacitor ( corriente iL(t) en un inductor ) es una función continua en el intervalo abierto (ta, tb).

Continuidad: Una forma de demostrar matemáticamente esta propiedades a partir de las relaciones VA de los respectivos elementos CAPACITOR INDUCTOR Para que exista la derivada la tensión vC(t) en el capacitor y la corriente iL(t) en un inductor deben variar en forma continua. Luego,

Energía almacenada en un capcitor o Inductor invariante en el tiempo: Sea un capacitor lineal C con una tensión inicial vC(t1) = V y una carga q(t1) = C V En t1 se cierra el interruptor Análogamente, para un inductor lineal L con una corriente inicial i(t1) = I o un flujo inicial (t1) = L I .

Planteo de ecuaciones en regímenes transitorios Por LKT sabemos que: EDO lineal de primer orden vS(t) : Excitación o función forzante (puede ser cte o vble en el tiempo) Las ecuaciones diferenciales por sí mismas, no permiten obtener la so-lución real del problema, sino que deben complementarse con las con-diciones iniciales, o condiciones de conmutación vistas anteriormente. Problema de condiciones iniciales - Sistema de ecuaciones diferenciales - Condiciones Iniciales

Régimen transitorio, libre y forzado Como ya sabemos la solución para una variable cualquiera x(t) para una ecuación diferencial lineal tendrá la forma: Solución Homogénea Solución Particular Solución Homogénea o de Régimen Libre Solución Particular o de Régimen Forzado Respuesta en Régimen Transitorio = + Para los circuitos se puede demostrar que la ecuación homogénea aso-ciada sólo puede tener raices reales negativas o complejas con parte real negativa y las soluciones serán del tipo: Solución Homogénea o de Régimen Libre

Régimen transitorio en circuitos de primer orden Circuitos constituidos por resistencias e inductancias o resistencias y capacitores. Gráficamente, Aplicando T. de Thevenin o de Norton podemos reemplazar N, tal que: Aplicando LKT en la malla Aplicando LKC en un nudo Ecuación de Estado

Circuitos alimentados con fuentes de valor cte. Método de inspección Cuando la red N contiene solo fuentes de continua, vth(t) = Vth y iN(t) = iN son constantes podemos escribir Pero como ya sabemos esta ecuación tendrá una solución de la forma: Para el caso del capacitor, x(t)= Vc(t):

Circuitos alimentados con fuentes de valor cte. Método de inspección La evolución de la variable de estado ( vC(t) o iL(t) ) queda unívocamente determinada por tres parámetros: estado inicial x(0), estado final o de equilibrio x(), y constante de tiempo  El método puede usarse para hallar la tensión entre cualquier par de nudos j y k, o la corriente en cualquier rama j, en una red lineal de primer orden alimentada por fuentes de continua. Observación: Solo puede utilizarse en circuitos donde el equivalente de Thevenin o Norton exista y posea Rth  0 o GN  0 respectivamente.

Propiedades de las ondas exponenciales La evolución de la variable de estado ( vC(t) o iL(t) ) queda tendrá un comportamiento estable o no dependiendo de la constante de tiempo  Diremos que es estable si la solución homogénea tiende asintóticamen-te a cero cuando t tiende a infinito. Caso contrario, podrá ser inesta-ble o marginalmente estable. Caso estable  > 0

Propiedades de las ondas exponenciales Caso inestable  < 0 ec. homogenea asoc ? Caso marginalmente estable i(t) C1 C2 Derivando

Cálculo del tiempo transcurrido entre dos instantes dados x(t0+t) ? A partir de la ecuación deducida para el metodo de inspección sabemos que cualquier punto de la evolución verifica que: Con lo cuál podemos calcular el intervalo transcurrido entre 2 instantes planteando esta ecuación para 2 instantes, diviendo miembro a miembro y tomando el logaritmo. Así, se obtiene que:

Representación gráfica de la respuesta Con C.I. nulas, por el método de inspección: Si a su vez i(0) = 0, tenemos: Luego, por la ley de Ohm:

Representación gráfica de la respuesta : constante de tiempo ( tiempo que tarda la ilibre, en reducirse a un valor igual a 1/e )

Determinación gráfica de t Aplicando inspección y suponiendo que transcurrió un tiempo largo antes de cerrar S, tenemos: ifinal = 0 Luego, la evolución temporal en la malla que se cortocircuito será:

Pag 16 Ej 1) Determinar la corriente i(t) y la tensión vx(t) para t  0, siendo i(0-) = 1 A vX (t) 4  0,8 H i(t) 16 V + 3.vX(t) – 6  3 

Pag 17 Ej 5) En el siguiente circuito, la llave se abre en t = 0, exci- tando la red con un escalón de corriente IDC. Obtener y graficar v0(t).

Régimen transitorio en circuitos de 2do orden - Respuesta libre: Hallar v(t) debido a la liberación de energía almacenada en L, en C o en ambas Hallar i(t) debido a la liberación de energía almacenada en L, en C o en ambas - Respuesta forzada:

Régimen transitorio en circuitos de 2do orden Por LKT en la malla tenemos: Como tenemos ahora una EDO de orden 2 necesitaremos 2 condicio-nes iniciales, que podrán ser independientes o depenmdientes

Régimen transitorio en circuitos de 2do orden - Calculo de respuesta libre El polinomio asociado resulta: Ojo, vale solo para serie RLC a w02 2

Circuitos de 2do orden RLC paralelo Por LKC en el nudo: a w02

Régimen transitorio en circuitos de 2do orden 1. Si  > 0 > 0 ambas raíces son reales, negativas y distintas y la respuesta se denomina sobreamortiguada, estando representada por la suma de dos exponenciales decrecientes, con constantes de tiempo 1 y 2

Régimen transitorio en circuitos de 2do orden 2. Si  = 0 ambas raíces serán reales e iguales, y se dice que la respuesta posee amortiguamiento crítico

Régimen transitorio en circuitos de 2do orden 3. Si 0 <  < 0 ambas raíces son complejas conjugadas una de otra, y la respuesta se denomina subamortiguada, estando representada por una senoide que decae exponencialmente.

Régimen transitorio en circuitos de 2do orden 4. Si  = 0 y o > 0 la respuesta será sin pérdidas, es decir, una senoide pura con una frecuencia angular de oscilación igual a o

Análisis solución completa RLC serie Al igual que para primer orden la solución completa puede pensarse como la superposición de la respuesta libre y la forzada: Régimen sobreamortiguado  > o > 0 ambas raíces son reales y distintas 1 ≠ 2 a) Análisis respuesta libre

Análisis solución completa RLC serie Régimen sobreamortiguado b) Análisis respuesta forzada (c.i. nulas) vR(t) vL(t) E vC(t) ?

Pag 24 Ej 2) Luego de haber estado en la posición 1 un tiempo sufi- cientemente largo, la llave L conmuta en t=0 a la posición 2. Hallar y graficar la evolución vC(t) para t  0.

Análisis solución completa RLC serie Amortiguamiento crítico  = o ambas raíces reales e iguales 1= 2 =  a) Análisis respuesta libre vR(t) vL(t) E b) Análisis respuesta forzada (c.i. nulas)

Determinar la tensión de salida vc(t) para t>0 seg. Suponer que el circuito ha alcanzado el régimen permanente en t = 0-.

Forma general de las constantes de integración para regimen libre Regimen Sub o Sobreamortiguado Para la tensión en el capacitor: Reemplazando (1) en (2), tenemos: Reemplazando (1) en (2), tenemos:

Análisis solución completa RLC serie Regimen subamortiguado 0 <  < o raíces complejas conjugadas 12 = -   j d a) Análisis respuesta libre Como ya sabiamos: Trabajando matemáticamente y utilizando la igualdad de Euler:

Análisis solución completa RLC serie b) Análisis respuesta forzada (c.i. nulas) i(t) C = 0,1 F L = 0,1 H E = 10 V R = 0,1  R = 1  R = 2  R = 5  R = 10 

Pag 32 Ej 2) La llave en el siguiente circuito se abre en t = 0 seg, luego de haber permanecido cerrada un tiempo suficientemente largo. Calcular iL(t) para t  0.

En t = 0 seg las llaves S y S´ están en la posición 1. En t = 1 mseg conmutan a la posición 2. Calcular la evolución temporal de vR(t)

Pag 32 Ej 4) En t = 0 los almacenadores están descargados y la llave en la posición 1. El sistema evoluciona hasta t = 0,5 s y la llave conmuta a la posición 2. Calcular y graficar cualitativamente iL(t) para t  0.