Microeconomía Superior I: Tema 3 Rafael Salas octubre de 2005 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I Microeconomía Superior I: Tema 3 Rafael Salas octubre de 2005

Resumen... Optimización: Problemas primal y dual Dos visiones alternativas de plantear la optimización del consumidor C. de demanda ordinaria C. de demanda compensada F. indirecta de utilidad y F. de gasto

El problema primal S pixi ≤ Y U(x) x R+n El consumidor maximiza la utilidad U(x) U satisface los axiomas (1) a (6) Sujeto a la restricción de factibilidad x R+n El conjunto de consumo posible es el ortante no negativo. y a la restricción presupuestaria n S pixi ≤ Y i=1 La renta Y>0 es exógena

El problema primal S pixi £ Y x* Max U(x) sujeto a x2 x1 incremento preferencias Contornos de la función objetivo El consumidor maximiza su utilidad... x2 Sujeto al conj. presupuestario Define el problema primal Solución al problema primal Max U(x) sujeto a n S pixi £ Y i=1 Conjunto presupuestario x* Existe una forma equivalente de verlo (más adelante) x1

ü ý þ El problema primal R Maximiza + m[ Y – S pi xi ] Y  S pi xi Multiplicador Lagrange Maximiza maximizamos la función objetivo s. a la restricción presupuestaria n + m[ Y – S pi xi ] i=1 n Y  S pi xi i=1 U(x) ...construimos el Lagrangiano Diferenciamos c.r.a x1, ..., xn e igualamos a 0 Si tenemos una solución interior x*  n R + ... y c.r.a m Un sistema de n+1 condiciones de primer orden de tangencia: * denota valores maximizadores de utilidad ü ý þ U1(x ) = m p1 U2(x ) = m p2 … … … Un(x ) = m pn * * * una ecuación para cada bien i. Si solución esquina x*i=0 sustituir “=“ por “” Interpretación Restricción presup. n Y = S pi xi i=1

Condiciones de primer orden CPO si ambos bienes i y j son positivos... Ui(x*) pi ——— = — Uj(x*) pj RMS = precios relativos Si consumo de bien i fuera cero entonces... Ui(x*) pi ——— £ — Uj(x*) pj Solución RMS £ precios relativos

La solución... Resolviendo las CPO del primal, se obtiene un valor de consumo de cada bien maximizador de utilidad... xi* = xid (p, Y) que se conoce como la función de demanda ordinaria o marshalliana del bien i ...y para el multiplicador de Lagrange m* = m*(p, Y) ...y para el valor máximo de utilidad, que se conoce como la función indirecta de utilidad : V(p, Y) := max U(x) = U(x*) {S pixi Y}

Teorema: Existencia de funciones de demanda Teorema: Si U(x) es continua, monótona estricta, estrictamente cuasicóncava y doblemente diferenciable, y si la renta y los precios son estrictamente positivos, las funciones de demanda xi* = xi d (p, Y) están bien definidas, son continuas y diferenciables para todo xi* estrictamente positivo. Demostración: Se basa en el teorema de la función implícita: el sistema de n+1 ecuaciones de las CPO interiores tienen una solución, contínua y diferenciable, si el jacobiano es no singular. Si U(x) es estrictamente cuasicóncava y doblemente diferenciable, el jacobiano es no singular, para los precios estrictamente positivos. Detalles Nota: Este teorema hace referencia a la cualificación técnica de precios estrictamente positivos. Esto asegura que estamos en la región donde la estricta cuasiconcavidad implica que el jacobiano del sistema sea no singular. Si quisieramos ser más generales y analizar situaciones con precios no negativos, deberíamos imponer la propiedad del jacobiano no singular en la función de utilidad, que es una condición sutilmente más restrictiva que la estricta cuasiconcavidad

El problema dual S pixi x* u Min sujeto a U(x)  u x2 x1 Existe una forma alternativamente de verlo el consumidor podría minimizar el gasto... u Conjunto presupuest. Sujeto a la restricción de utildad constante Define el problema dual Solución al problema dual Min n S pixi i=1 sujeto a U(x)  u Reducción del gasto Contornos de la f. objetivo x*

Una conexión clara u x* x* Los dos son equivalentes x1 x2 x1 x2 Compara el problema primal... ...con el problema dual x1 x2 x* x1 x2 x* u Los dos son equivalentes Bajo unas condiciones

El primal y el dual… S pixi+ l[u – U(x)] Tienen una simetría interesante En ambos casos p está dado y determinan x*. La restricción del primal coincide con la f. objetivo del dual…y viceversa n S pixi+ l[u – U(x)] i=1 n U(x) + m[ Y – S pi xi ] i=1 Son problemas equivalentes: obtienen la misma x* si elegimos como la restricción del dual la solución del primal (u=U(x*)) y viceversa

ü ý þ El problema dual S pi xi Minimiza + l[u – U(x)] u  U(x) minimizamos la función objetivo s. a la restricción Minimiza n S pi xi i=1 ...construimos el Lagrangiano + l[u – U(x)] u  U(x) Diferenciamos c.r.a x1, ..., xn e igualamos a 0. ... Y c.r.a l Si tenemos una solución interior: * denota valores minimizadores del gasto Un sistema de n+1 ecuaciones l U1 (x ) = p1 l U2 (x ) = p2 … … … l Un (x ) = pn * * * ü ý þ Una para cada bien. Si solución esquina x*i=0 sustituir “=“ por “” Restricción de utilidad u = U(x )

Mismas condiciones de primer orden si ambos bienes i y j son positivos... Ui(x*) pi ——— = — Uj(x*) pj RMS = precios relativos Si consumo de bien i fuera cero entonces... Ui(x*) pi ——— £ — Uj(x*) pj Solución RMS £ precios relativos

Las n+1 soluciones... Resolviendo las CPO del dual, se obtiene un valor de consumo de cada bien minimizador del gasto... xi* = xic (p, u ) que se conoce como la función de demanda compensada o hicksiana del bien i ...y para el multiplicador de Lagrange * = *(p, u) ...y para el valor del mínimo gasto, que se conoce como la función de gasto: e(p, u) := min S pixi = S pixi* {U(x) ³u}

Práctica: (1) Evalúa las funciones de demanda y funciones indirectas de utilidad de: U=a log(x1) + b log(x2) a, b > 0 Cobb-Douglas SOL U=a1 log(x1- g1) + a2 log(x2- g2) SOL a1, a2 > 0; g1, g2 ≥ 0; x1 > g1, x2 > g2 Sistema lineal de gasto (Stone-Geary). Stone, Economic Journal, 1954 (2) Evalúa las funciones de demanda, indirectas de utilidad y de gasto de: U=x1 x2 SOL U=min(x1, x2) SOL U=x10,5 + x20,5 .

Práctica: (3) Evalúa las funciones de demanda, indirectas de utilidad y de gasto de: U=x1 + x2 ,   1 SOL U=log x1+x2 SOL U=x1+x20,5 U=x1-1/x2 U=-e-x-e-y .

Microeconomía Superior I: Tema 3 Rafael Salas octubre de 2004 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I Microeconomía Superior I: Tema 3 Rafael Salas octubre de 2004