Introducción a la teoría de juegos Rafael Salas abril de 2010 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I Introducción a la teoría de juegos Rafael Salas abril de 2010

Teoría de Juegos Interacción estratégica entre un reducido número de agentes Separación del comportamiento competitivo Interdependencia entre sus acciones Ejemplo: dupolio, oligopolio, negociación, etc. Aplicaciones fuera de la economía: política, deportes, vida cotidiana Veamos qué es un juego, qué tipos de juegos existen y cómo se resuelven

Teoría de Juegos Es una manera formal de tratar situaciones donde aparecen: Más de un agente o jugador Interacción entre ellos Estrategia: los agentes son conscientes de ello Racionalidad: los agente persiguen su mejor acción Veamos sus elementos...

Elementos del juego: QUIÉN juega. Cuántos jugadores existen QUÉ juegan. El conjunto de estrategias o acciones posibles CUÁNDO juegan. Si es simultáneo (estático) o secuencial (dinámico) QUÉ CONOCEN cuando juegan CUÁNTO ganan o pierden con sus acciones y las de los otros

Representación del juego: Forma normal o estratégica: Se determinan los jugadores, sus estrategias y los pagos de cada jugador para combinación de estrategias Ejemplo 1: dilema de los presos...

Ejemplo 1: dilema de los presos En forma estratégica. Idea de mejor respuesta JUG 2 A B -1 A -1 -9 JUG 1 -9 -6 B -6 .

Ejemplo 1: dilema de los presos Mejores respuestas de 1: JUG 2 A B -1 A -1 -9 JUG 1 -9 -6 B -6 .

Ejemplo 1: dilema de los presos Mejores respuestas de 1 y de 2: Este es un juego con estrategias discretas. Véamos un caso con estrategias contínuas... JUG 2 A B -1 A -1 -9 JUG 1 -9 -6 B -6 .

Ejemplo 2: El modelo de Cournot QUIÉN juega: Dos empresas, que producen bien homogéneo P=a-Y Y=Y1 + Y2 Ci(Yi)=cYi QUÉ juegan: Cúantas cantidades producen CUÁNDO juegan. Es una decisión simultánea (estática)

Ejemplo 2: El modelo de Cournot QUÉ CONOCEN: Al ser un juego simultáneo no conocen las acciones de los otros cuando juegan (información imperfecta). Si conocen que son racionales (conocimiento de dominio público). Los pagos de ambos... CUÁNTO ganan o pierden: sus beneficios dependen de las estrategias de los dos (existe interdependencia): Bi=P(Y)Yi-cYi

Ejemplo 2: El modelo de Cournot MEJOR RESPUESTA: MRi=Yi=(a-c-Yj)/2

Concepto de equilibrio: EQUILIBRIO DE NASH (EN): Todos los agentes realizan sus mejores respuestas con respecto a las estrategias de los otros Esas mejores respuestas son compatibles entre sí Una forma de verlo en la representación normal: observar las celdas donde los pagos están subrayados. Ejemplo 1...

Ejemplo 1: dilema de los presos Mejores respuestas de 1 y de 2 en rojo: (B,B) es un equilibrio de Nash con pagos (-6,-6) JUG 2 A B -1 A -1 -9 JUG 1 -9 -6 B -6 .

Interpretación del EN: Dado que es un juego simultáneo, ningún jugador sabe realmente lo que el resto va a mover. El EN requiere: Todos los agentes realizan sus mejores respuestas con respecto a cualquier conjetura, creencia o expectativa sobre las estrategias de los otros Esas conjeturas resultan ser las correctas en equilibrio

Propiedades del EN: Dado que los agentes realizan sus mejores respuestas, ningún agente tiene incentivos a desviarse unilateralmente en equilibrio (es una propiedad deseable de la solución de equilibrio) En el caso de que los jugadores pudieran comunicarse antes del juego: sólo el EN es un acuerdo auto-sostenible. En el caso de llegar a otros acuerdo diferentes, éstos corren el riesgo de ser incumplidos, dado el incentivo que existe a desviarse Una ventaja: El EN siempre existe, bajo condiciones relativamente amplias

Modelo de Cournot Dos empresas que producen producto homogéneo, compiten en cantidades a la Cournot. La demanda agregada es P=a-Y, donde Y=Y1+Y2 y los costes Ci=c Yi. El equilibrio de Cournot es el EN de este juego simultáneo en el que las dos empresas deciden sobre Yi .

Solución del modelo de Cournot Solución al sistema simultáneo: MR1=Y1=((a-c)-Y2)/2 MR2=Y2=((a-c)-Y1)/2 Es: Yi=(a-c)/3, i=1,2 Solución subóptima...

Incentivos a formar un cartel Solución subóptima, puesto que pueden aumentar los beneficios las dos empresas actuando como un monopolio: Yi=(a-c)/4, i=1,2 Sin embargo, si llegan e ese acuerdo, existen incentivos a desviarse: Si Y1=(a-c)/4, MR2= Y2=3(a-c)/8 Es algo parecido al dilema de los presos.

Modelo de Cournot con N empresas Solución al sistema: MRi=Yi=((a-c)-Yj)/2, ji, i Si hay simetría: Yi=Y1= Y2=···= YN Lo que implica Yi=(a-c)/N+1 Solución del monoplio si N=1, Y=(a-c)/2, y de la competencia perfecta si N (Y=a-c)

Práctica . (1) Modelo de Cournot: Dos empresas que producen producto homogéneo, compiten en cantidades a la Cournot. La demanda agregada es P=100-X, donde X=X1+X2 y los costes Ci=10 Xi. Calcula el equilibrio de Cournot Verifica los incentivos a formar un Cartel (colusión en un monopolio) Verifica los incentivos a romper ese Cartel (de formarse) Compara la situación con la competitiva .

Práctica . (2) Modelo de Cournot: Dos empresas que producen producto homogéneo, compiten en cantidades a la Cournot. La demanda agregada es P=100-0,5X, donde X=X1+X2 y los costes C1=5 X1 y C2=0,5 X22 Calcula el equilibrio de Cournot Calcula la solución de colusión en un monopolio Compreba el aumento de beneficios Compara con la situación competitiva .

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