UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Índices de Desigualdad Rafael Salas Mayo de 2011

Referencia básica Peter Lambert (2001), The distribution and redistribution of Income, 3rd. Edition, Manchester University Press. Cap. 5 Referencias adicionales: Atkinson, A. (1970) JPE Sen (1973) Cowell (1985)

Introducción Pasamos de un orden parcial a un orden completo Definimos un índice de desigualdad: I:RN → R Con unas propiedades: Coherente con el Bienestar: W(x1, x2, ···, xN )=V(μ,I) donde V(.) es un índice abreviado de bienestar y derivada positiva con μ y negativa con I.

Índices de Atkinson Es una clase de índices que se derivan partiendo de : (1) Función individualista W:Rn+R como: donde u(x) es creciente y estrictamente cóncava. En términos discretos:

Índices de Atkinson (2) Expresable como V(μ,I) donde V(.) es un índice abreviado de bienestar y derivada positiva con μ y negativa con I. (3) Índice AKS: W=V=μ(1-I) I es el coste per cápita de la desigualdad Implica que I = 1- ξ/μ donde ξ es la renta equivalente uniformente distribuída W(ξ,ξ,…,ξ)= W(x1, x2, ···, xN) (4) Índice relativo I no cambia: I(x1, x2, ···, xN )=I(kx1,k x2, ···,kxN ) , k>0 Implica que ξ/μ no cambia, pues se transorma en kξ/kμ. Implica homoteticidad de W en xi

Índices de Atkinson Teorema el único índice que cumple las propiedades (1) a (4) es el índice de Atkinson que se deriva de esta función de utilidad de aversión constante a la desigualdad: donde ε >0 es el párametro de aversión a la desigualdad relativa constante (=-xu’’/u’)

Índices de Atkinson Índice Atkinson: derivamos Y calculamos I = 1- ξ/μ. Nótese cómo ξ<μ para ε>0

Without loss of generality Ilustración x2 x1 Dibuja una línea recta con pendiente -1, que corta a la diagonal ... en la renta media, μ Deriva x (Renta equivalente igualitariamente distribuida) donde la isoutilidad corta a la diagonal A natural measure of welfare W= x I W= x Without loss of generality x μ

Índices de Atkinson Además para ε →0, ξ→μ con lo cual I→0. La desigualdad no importa A medida que aumenta la aversión a la desigualdad ε>0, la desigualdad aumenta, fijado F Si ε → ∞, ξ→min xi e I = 1- min xi/μ

I. Gini Newbury 1970 demuestra que no se puede obtenerse como un índice AKS V= μ(1-G) de ninguna función individualista aditivamente separable. Implícitamente está en el teorema de Atkinson anterior, puesto que es un índice relativo.

I. Gini Sen 1973 dice que puede serlo de una no individualista, en donde el nivel de bienestar de dos individuos es una función del peor posicionado Por lo tanto el bienestar social sería el promedio de todos los pares implicados. No es individualista porque en el bienestar de un individuo importan las rentas del resto. Lambert 1985 lo racionaliza como que la función de bienestar sería del tipo:

I.Gini De hecho depende del rango de cada individuo. Se ve en esta otra formulación:

I.Gini De hecho depende del rango de cada hogar. Se ve en esta otra formulación:

I.Gini Si agrupado: x1, w1 veces,…., xN, wN veces:

I. Gini El índice de Gini en términos contínuos se puede escribir como: que coincide con dos veces el área debajo de la curva de Lorenz

I. Gini El índice de Gini extendido por Yitzhaki 1983: Converge al Gini clásico con v=2

I.Gini extendido En términos discretos:

I.Gini extendido Otra formulación:

Índices de Gini v es el párametro de aversión a la desigualdad como lo era ε en los índices de Atkinson: Si v →1, ξ→μ con lo cual G→0. La desigualdad no importa A medida que aumenta la aversión a la desigualdad v>1, la desigualdad aumenta, fijado F Si v → ∞, ξ→min xi y G = 1- min xi/μ

Bienestar Funciones de Bienestar Social. Dependientes del rango, Yaari 1987, 1988: W:R+R como: : W:RN+R como: donde w(p) es no negativo, no creciente y expresables como:

Índices de Gini Descomponibilidad: G=GB+GW+S Lambert y Aronson 1993 S=0 si son particiones disjuntas Descomponibilidad por fuentes de renta Y=X+Z+G Aplicación a los impuestos Y=X-T y subvenciones Y=X+S:

C. Concentración Definimos el coeficiente de concentración de impuestos T como: Entonces índice de progresividad de impuestos de Kakwani: Veremos su relación con el índice de redistribución:

Redistribución Podemos descomponer la redistribución global RS IH ≥0 Atkinson y Plotnick 1980

Personal Income Tax Progressivity and redistribution are related by the average tax rate

Sales Taxes Mainly slightly regressive as in the OECD

Índices de Entropía Generalizada Si imponemos la propiedad de descomponibilidad aditiva I=IB+IW donde IB es el índice entre grupos como el índice de desigualdad en el caso de que todos los hogares de cada grupo tengan su renta media μi y A que el índice sea relativo: I(x1, x2, ···, xN )=I(kx1,k x2, ···,kxN ) , k>0 Simétrico Cumpla el principio de transferencias Nos sale como única opción los índices de Entropía Generalizada (Shorrocks, Cowell)

Índices de Entropía Generalizada Caso c=0, es el Theil cero ó desviación logarítmica media. Caso c=1, Theil 1 (Theil 1967)

Índices de Entropía Generalizada Las ponderaciones de la descomponibilidad son: Son interesantes en Theil cero y en el Theil 1: suman la unidad Especialmente interesantes en el Theil 0: son poblacionales

Índices de Entropía Generalizada Los índices de Theil c=1-ε son ordinalmente equivalentes a los índices de Atkinson ε>0 Para c=1- ε Para c=0 y ε=1 la equivalencia es:

Índices de Entropía Generalizada Los índices de Theil c=2 tienen una particularidad: Es coherente con el principio de la réplica de la población.

Índices de Entropía Generalizada Problemas: No están normalizados entre 0 y 1 Pueden ser superiores a 1. El valor extremo del Theil 1 es Ln N No puede deducirse de una FBS Ni interpretación como

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Indices de Desigualdad Rafael Salas Mayo de 2011