Facultad de Ciencias Exactas Químicas y Naturales Universidad Nacional de Misiones Cátedra: Fundamentos de Transferencia de Calor Área: Convección Ing. Sandra Hase

TEMA 5 : TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN I  Ecuaciones básicas:  de continuidad  Grupos adimensionales  Ecuaciones para la capa límite  de cantidad de movimiento  de energía

Superficie qsqs TsTs La convección o transferencia de calor por convección es el término que se usa para describir la transferencia de calor de una superficie a un fluido en movimiento Sabemos que una placa de metal caliente se enfría con mayor rapidez cuando se coloca frente a un ventilador, que cuando se lo expone a un aire en reposo Sabemos que la velocidad a la que sopla el aire sobre la placa caliente influye en la rapidez de la transferencia de calor por convección Sospechamos que la rapidez de transferencia de calor podría ser diferente si enfriamos la placa con agua en lugar de aire, pero ¿Que diferencia habría? ¿Pero influye el enfriamiento de una manera lineal? ¿Se duplica la rapidez de transferencia de calor si se duplica la velocidad del aire?

Ley de Newton del enfriamiento Donde: qc : velocidad de transferencia de calor por convección  T: T S –T ref : (T ref : es la temperatura en algun lugar específico, por lo general lejos de la superficie. Por ejemplo: T ref : Temperatura de corriente libre en el caso de un fluido externo que fluye sobre una superficie; o bien: temperatura media global en el caso de un fluido que fluye en el interior de un ducto) A: área de transferencia de calor h c : Coeficiente de transferencia de calor promedio sobre el área A.

La evaluación de este coeficiente de transferencia de calor por convección (h) es difícil porque la convección es un fenómeno complejo. Es una función complicada de Flujo de fluidos Propiedades térmicas del medio fluido Geometría del sistema Su valor no es uniforme sobre una superficie y depende del lugar donde se mide la temperatura del fluido de referencia.

Mecanismo de la transferencia de calor por convección El mecanismo de transferencia de calor por convección está muy relacionado al movimiento del fluido Tiene lugar por una combinación de conducción y de transferencia de masa Supongamos que un fluido a temperatura T  se mueve sobre la superficie de una placa a temperatura Ts. La distribución de velocidad de flujo será la mostrada en la figura La velocidad del fluido es cero sobre la superficie de la placa como resultado de la condición de no deslizamiento (que resulta de la acción de las fuerzas viscosas) En consecuencia la velocidad de la capa de fluido sobre la pared será cero, y el calor (si Ts > T  ) se transfiere desde la frontera sólida a las partículas de fluido en la vecindad de la pared por CONDUCCIÓN.

Ley de Fourier Con k : la conductividad térmica y el gradiente de temperatura sobre la pared. ¿Por qué si en esta capa el calor fluye por conducción, hablamos de transferencia de calor por convección y necesitamos considerar la velocidad del fluido? Porque el gradiente de temperatura depende de la rapidez a la que el fluido conduce el calor; una velocidad alta produce un gradiente de temperatura más grande y así sucesivamente. El gradiente de temperatura sobre la pared depende del campo de flujo y se deben desarrollar las dos cantidades en forma simultánea.

Explicación del mecanismo por dos procesos superimpuestos El modo de transferencia de calor por convección consiste realmente en dos mecanismos que operan simultáneamente. El primero es la transferencia de energía debido al movimiento molecular, esto es, el modo conductivo. El segundo actúa superimpuesto al primero y es la transferencia de energía por el movimiento macroscópico de fracciones de fluido. Modo convectivo Así, si la temperatura de la frontera sólida es mayor que la del fluido, el calor fluye primero por conducción desde el sólido a las partículas del fluido en la vecindad de la pared. La energía transmitida incrementa la energía interna del fluido y el movimiento del fluido la lleva consigo. Cuando las partículas calientes de fluido alcanzan una región de menor temperatura, el calor se transfiere otra vez por conducción desde el fluido más caliente al más frío.

Para entender el mecanismo de transferencia de calor por convección debemos iniciar el estudio de la dinámica de flujo de fluidos CLASIFICACIÓN DE LOS FLUJOS DE FLUIDOS A.Flujos en los cuales los efectos de la viscosidad son o no significativos  FLUJO VISCOSO  FLUJO NO VISCOSO B.Dependiendo de si el fluido se fuerza a fluir en un canal confinado o sobre una superficie  FLUJO EXTERNO  FLUJO INTERNO C.Dependiendo de la variación de la densidad de ese fluido durante el flujo  FLUJO COMPRESIBLE  FLUJO INCOMPRESIBLE

D.Dependiendo del ordenamiento de los flujos  FLUJO LAMINAR  FLUJO TURBULENTO E.Dependiendo de la manera en que se inicia el movimiento del flujo de fluido  FLUJO NATURAL  FLUJO FORZADO F.Dependiendo de si hay o no cambios con el tiempo  FLUJO ESTACIONARIO O ESTABLE  FLUJO NO ESTACIONARIO O TRANSITORIO G.Dependiendo de la distribución de velocidades  FLUJO UNIDIMENSIONAL  FLUJO BIDIMENSIONAL  FLUJO TRIDIMENSIONAL

Turbulento bidimensional Laminar bidimensional

La evaluación de h La evaluación de h está relacionado a la convección de calor y al flujo de fluidos ¿Cuál es la relación que existe entre la velocidad del fluido y la distribución de temperatura? En la figura vemos una placa a temperatura superficial T S y sobre la cual fluye, por convección forzada un fluido a temperatura T  paralelo a la placa. El primer punto a tener en cuenta es que como resultado de las fuerzas viscosas, la velocidad del fluido será cero en la placa y aumentará hasta un valor máximo u  (velocidad de corriente libre) Como el fluido no se mueve en la interfase, en esta región el calor se transfiere sólo por conducción, entre la superficie y la capa de fluido adyacente a la placa

Así, si conocemos el gradiente de temperatura en el líquido y la k del líquido en esta interfase, podemos calcular la velocidad de y transferencia de calor por la ecuación de Fourier: De donde : es el gradiente de temperatura evaluado en la superficie ( o en la pared) k fluido : es la conductividad térmica del fluido

El gradiente de temperatura en la interfase depende de la velocidad a la cual el movimiento del fluido macro y microscópico llevan o arrastran el calor, lejos de la superficie O sea depende de la velocidad a la cual el fluido puede transportar energía en el flujo principal, lejos de la superficie. El gradiente de temperatura en la interfase placa-fluido depende de la naturaleza del campo de fluido, particularmente de la velocidad de corriente libre (u  )ya que las velocidades más altas son capaces de producir gradientes de temperatura más grandes y velocidades más altas de transferencia de calor Asimismo la conductividad del fluido juega un rol importante: por ejemplo el valor de la conductividad térmica del agua es de un orden de magnitud más grande que la del aire, lo cual hace que hagua > haire.

La situación es bastante similar en la Convección natural La diferencia principal es que en la convección forzada la velocidad se aproxima a la de la corriente libre impuesta por una fuerza externa, mientras que en la convección natural la velocidad al principio se incrementa con el aumento de la distancia desde el plato porque el efecto de la viscosidad disminuye bastante más rápido, mientras que la diferencia de densidad disminuye cuando la densidad el fluido se aproxima al valor del fluido en los alrededores, haciendo que la velocidad alcance primero un máximo y luego se aproxime a cero lejos de la placa caliente. El campo de temperatura en la convección forzada y natural, tienen formas similares y en ambos casos el mecanismo de transferencia de calor en la interfase fluido-sólido es por conducción.

El campo de temperatura en la convección forzada y natural tiene formas similares y en ambos casos el mecanismo de transferencia de calor en la interfase fluido-sólido es por conducción.

Coeficiente de transferencia de calor por convección local y promedio Cuando un fluido a T  y velocidad u  fluyen sobre una superficie de área A S y forma arbitraria, suponiendo que la temperatura de la superficie es uniforme T S y si T S es diferente a T  ocurrirá una transferencia de calor por convección. El flujo de calor local es Sin embargo q” y h variarán a lo largo de la superficie, ya que las condiciones de flujo variarán de un punto a otro Así, la velocidad de transferencia de calor total, se obtiene integrando q” sobre toda la superficie Donde es el coeficiente de transferencia de calor por convección promedio

Así: Si se trata de un fluido sobre una placa plana, cuyo área de transferencia es W L, con W (ancho constante) y L la longitud de la placa medida en la dirección del flujo, h varía con la distancia x medida desde el extremo en la dirección del flujo, y la ecuación se reduce a : Debemos tener en cuenta que la superficie puede no ser isotérmica (puede tratarse de una pared calentada eléctricamente de manera que el flujo de calor sea uniforme sobre su superficie) y que la temperatura de referencia también es una función de x. En estos casos la definición del coeficiente de transferencia de calor promedio se vuelve más complicada

Flujo y fluido (W/m 2 K) Convecci ó n libre, aire3 – 25 Convecci ó n libre, agua15 – 100 Convecci ó n forzada, aire10 – 200 Convecci ó n forzada, agua50 – Convecci ó n forzada, sodio l í quido – Condensaci ó n de vapor5000 – Ebullici ó n de agua

Un coeficiente de transferencia de calor elevado está asociado con altas conductividades térmicas de los fluidos, altas velocidades de flujo y superficies pequeñas Los altos coeficientes de calor para el agua en ebullición y el vapor en condensación se deben a la alta entalpía de cambio de fase

Cálculo de los coeficientes de transferencia de calor por convección Hay cuatro métodos disponibles para el cálculo del coeficiente de transferencia de calor por convección: Análisis dimensional combinado con experimentos: (Correlaciones empíricas para el calculo de h ): Se deduce información sobre un fenómeno, partiendo de la simple premisa de que uin fenómeno puede describirse como una ecuación dimensionalmente correcta en ciertas variables. Ventaja: El análisis dimensional es matemáticamente simple. Combina las variables en grupos adimensionales que facilitan la interpretación y extienden el dominio de aplicación de los datos experimentales. Desventaja: En general los resultados son incompletos y poco útiles si no hay datos experimentales. Contribuye poco a la comprensión de los procesos de transferencia de calor, pero facilita la interpretación y extiende el dominio de aplicación de datos experimentales, correlacionándolos en términos de grupos adimensionales.

Soluciones matemáticas exactas de las ecuaciones de la capa límite (flujo Couette, flujo laminar interno completamente desarrollado para condición de pared flujo de calor constante, solución de Blasius para flujo laminar externo) Requiere de la solución de las ecuaciones de continuidad, momentum y energía, para el sistema especificado Las soluciones exactas son importantes porque las suposiciones que se hacen se pueden especificar con precisión y su validez puede comprobarse en forma experimental. Presupone mecanismos físicos conocidos para ser descriptos en lenguaje matemático. Sirven como base de comparación y como una comprobación para los métodos simples, pero aproximados.

Análisis aproximado de la capa límite por métodos integrales (para el caso de flujo laminar externo) Esto evita la descripción detallada del flujo en la capa límite. Si se usa una ecuación más simple (ecuaciones polinómicas) para describir las distribuciones de velocidad y temperatura en la capa límite. El problema se analiza sobre la base macroscópica, aplicando la ecuación de movimiento y la ecuación de la energía para el agregado de partículas de fluido contenidas dentro de la capa límite. Da soluciones aproximadas cuya exactitud en general depende del perfil considerado

Analogía entre transferencia de calor y transferencia de masa y transferencia de cantidad de movimiento Es una herramienta útil para analizar procesos de transferencia de calor en régimen turbulento. Cada analogía tiene sus restricciones.

Necesidad de conocer y conocer T=f(y) Sabiendo que: Para evaluar el coeficiente de transferencia de calor por convección es necesario: Conocer el gradiente de temperatura y evaluarlo en la pared Para conocer el gradiente de temperatura hay que conocer el perfil de temperatura Para conocer el perfil de temperatura hay que conocer el perfil de velocidad Para ello es necesario utilizar las ecuaciones generales de continuidad, momentum y energía

Para obtener las ecuaciones que gobiernan el flujo en la capa frontera, se considera un volumen de control que está fijo en el campo de flujo y tiene la forma de un paralelepípedo cuyas dimensiones son:  x,  y, 1. Las aristas del paralelepípedo está orientadas de tal forma que el lado  x es paralelo al eje x y el lado  y es paralelo al eje y. La tercera cara tiene la dimensión unitaria y es paralela al eje z. Para simplificar, se supone:  El flujo es bidimensional, es decir la distribución de velocidad es la misma en cualquier plano perpendicular al eje z  El fluido es incompresible  La presión es constante a través del campo de fluido  El flujo es estable  Las propiedades físicas del fluido son constantes  El flujo de fluido no es afectado por el flujo de calor

Ecuación de continuidad Si M es el flujo másico: Si La ecuación de conservación de masa será: Tasa neta de flujo másico que entra al elemento de volumen en la dirección x Tasa neta de flujo másico que entra al elemento de volumen en la dirección y += 0 Si es el elemento diferencial de volumen alrededor del punto de coordenadas xyz Si hacemos un balance de masa para el fluido que entra y sale a través de un elemento de volumen, situado en el campo de flujo

Si: Sacando factor común Si constante ( o sea el fluido es incompresible) Es la ecuación de continuidad para el flujo estable, incompresible, en dos dimensiones (2D), en coordenadas rectangulares

Ecuación de Momentum A partir de la segunda ley de Newton : el producto de la masa por la aceleración es igual a la sumatoria de las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo en la misma dirección Las fuerzas que actúan sobre el elemento de control tratan de distorsionarlo o rotarlo y se dividen en : a. Fuerzas que actúan sobre el cuerpo, que proviene de efectos de campo (campo gravitacional, eléctrico, magnético, etc) b.Fuerzas superficiales que actúan sobre la superficie del fluido

SiY Cuando el campo de flujo tiene componentes de velocidad en varias direcciones, la tasa de variación de una componente de velocidad está asociada con el movimiento del fluido en otras direcciones En general, la tasa de variación de una propiedad en el campo de flujo viene dada por la derivada total o sustancial: Donde u,v w son las componentes de la velocidad en la direcciones : x,y,z respectivamente Para el flujo estable:y en 2D La aceleración en la dirección x e y, será:

Fuerzas que actúan sobre el cuerpo: Suponiendo que el único campo que actúa sobre el fluido es el campo gravitacional, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo serán: Si F es la fuerza por unidad de volumen: Fuerza que actúa sobre la unidad de volumen del fluido en la dirección x: Fuerza que actúa sobre la unidad de volumen del fluido en la dirección y:

Esfuerzo neto en la dirección de las x:Esfuerzo neto en la dirección de las y: Fuerzas superficiales Hay dos fuerzas que actúan sobre la superficie del volumen de fluido Esfuerzo normal  : que actúa perpendicular a la superficie Esfuerzo cortante  que actúa a lo largo de la superficie del fluido (  ij indica que el esfuerzo actúa perpendicular a i en la dirección j) Estos esfuerzos vienen dados por unidad de área

Para la componente x : Para la componente y:

Si a partir de estas ecuaciones queremos obtener el perfil de velocidad debemos encontrar la relación de los esfuerzos con las velocidades Para un flujo incompresible, en 2D y propiedades constante (flujo newtoniano), las relaciones viene dadas por: de ahí:

Reemplazando en: Por continuidad Reordenando: ecuación del momentum en la dirección x

La ecuación del momentum en la dirección x Y similarmente, la ecuación de momentum en la dirección y será: Fuerzas de inercia Fuerzas sobre el elemento del fluido Fuerzas debidas a la presión Fuerzas viscosas que actúan sobre el elemento del fluido

Ecuación de Energía Tasa de calor suministrada al elemento por conducción Tasa de energía entregada al elemento, debido al trabajo realizado por los esfuerzos superficiales y fuerzas corporales += Tasa de incremento de la energía almacenada en el elemento III III Si por Fourier: Asi (I) :

b)Tasa de trabajo realizado por el esfuerzo normal  x : Evaluación del término (II) Tasa de energía entregada al elemento, debido al trabajo realizado por los esfuerzos superficiales y fuerzas corporales a)Para las fuerzas corporales Tasa de trabajo realizado por el esfuerzo normal  y : c)Tasa de trabajo debido por el esfuerzo de corte : Tasa de trabajo debido a la fricción sobre el elemento:b+c Así (II):

Evolución del término (III): La energía contenida en el fluido está constituida por: energía interna / unidad de masa + energía cinética/ unidad de masa La energía interna del elemento de volumen es: Para calcular la tasa de incremento de energía derivada sustancial (III) : Tasa de incremento de la energía almacenada en el elemento

Haciendo I + II = III += Multiplicando la ecuación de momentum en x por u y la ecuación de momentum en y por v:

+

+=

Despejando el término de energía interna Por continuidad

Si: Transferencia de calor por convección Transferencia de calor por conducción Disipación de energía debido a la fricción del fluido

Ecuaciones de Continuidad, Momentum y energía (coordenadas rectangulares) Continuidad: Momentum en x: Momentum en y: Energía :

Ecuaciones de Continuidad, Momentum y energía (coordenadas cilíndricas) Continuidad: Momentum en r: Momentum en x: Energía :