Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz1 Hacia una termodinámica de procesos irreversibles (TIR) EVA TIC

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz2 Sobre su desarrollo histórico La termodinámica de los procesos irreversibles se considera el más reciente desarrollo de la termodinámica. – Emerge con los trabajos de Lars Onsanger (1931) y Charles Eckart (1939). Sin embargo: – Los procesos termodinámicos irreversibles han sido tratados exitosamente, mucho antes de que se acuñara el término “termodinámica” (alrededor de 1850) Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz2

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz3 Joseph Fourier: Fo u rier era de origen humilde y gracias a la Revolución Francesa pudo entrar a la Escuela Militar, que dio origen a la École Polytechnique (Paris). – Foco de su interés fue la conducción del calor Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz3

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz4 Ley de Fourier (1808) Si: – q i es el flujo de calor (por unidad de área) – x es la coordenada de transmisión de calor – T es la temperatura – κ es la conductividad térmica “interna” (hoy conductividad térmica) El flujo de calor es proporcional al gradiente de T: Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz4

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz5 Napoleón y Fourier El emperador apadrinó a Fourier y le concedió el título de Barón por sus desarrollos matemáticos Especialmente su método de descomposición armónica de funciones (resolución de la ecuación de Fourier) Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz5

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz6 Ecuación de Calor de Fourier De manera análoga Fourier dedujo la famosa ecuación de calor: – Si: t es el tiempo α es la conductividad térmica “externa” (hoy difusividad térmica) Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz6

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz7 Importancia de la ecuación de calor Representa el prototipo de todas las ecuaciones “parabólicas” en física matemática – Fourier la empleó para resolver una gran variedad de condiciones iniciales y de contorno. – Esto sucedió antes de que hubiera certeza sobre “lo que es el calor”. – Tuvo un enorme impacto. Por ejemplo, Lord Kelvin (Lord William Thomson, Cambridge, 1862) la usó para estimar la edad de la Tierra Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz7

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz8 Otra ley de los procesos irreversibles: Navier (1822), Poisson (1829) y Stokes (1845) Relaciona el gradiente del vector velocidad con el esfuerzo para el roce viscoso en un fluido Si – u, v, w son las componentes del vector velocidad – p es la presión, ρ es la densidad del fluido – ν es la viscosidad cinemática Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz8 Ecuación de Navier – Stokes para un fluido incompresible Vector aceleración de gravedad

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz9 Al igual que Fourier Navier y Poisson estudiaron en la École Polytechnique – En ella se desarrolló fuertemente la física matemática desde su fundación (1794) hasta Stokes es posterior, pero británico, fundador de las Matemáticas Aplicadas en el Reino Unido. – Resolvió la ecuación anterior usando una extensión de los métodos de Fourier Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz9

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz10 Ley de Stokes para el roce A partir de su estudio sobre el movimiento del péndulo (1851), postuló que para una esfera que se mueve en un fluido – Si r es el radio de la esfera – v es la velocidad (constante) F es la fuerza necesaria para mantener el movimiento Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz10 OJO: falta tomar en cuenta la turbulencia a través del roce

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz11 Fluidos newtonianos Son los fluidos que obedecen la ecuación de Navier - Stokes, como por ejemplo: – Miel – Asfalto – Agua – Gases ideales rarificados Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz11

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz12 Una 3a ecuación fenomenológica para la difusión: Adolf Fick (1855) Fick trató de deducir su ecuación de la hipótesis de que existía una atracción gravitacional entre las moléculas de una mezcla. – Esta idea no dio resultado. Finalmente, la postuló simplemente por analogía con la ley de Fourier Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz12

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz13 Ley de Fick para un sistema binario Si J i es el flujo másico por unidad de área de un compuesto i – c es la concentración del compuesto i – D es el coeficiente de difusión Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz13

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz14 Para sistemas multicomponentes Stefan (1871) extendió la ecuación de Fick a una mezcla de ν constituyentes α (α = 1,2,…ν):

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz15 Entonces Las 3 leyes (Fourier, Navier-Stokes, y, Fick), se han mantenido vigentes por casi 2 siglos. Prueban su utilidad día tras día para ingenieros que construyen: – Intercambiadores de calor – Aeroplanos – Centrífugas para separar mezclas de gases – Plantas de tratamiento de aguas contaminadas – Equipos de descontaminación de gases y material particulado – Etc Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz15

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz16 Desventajas de todas las ecuaciones No son perfectas desde un punto de vista matemático, pero los ingenieros viven con ello. Todas conducen a ecuaciones diferenciales parabólicas del tipo: – de la ecuación de calor para la temperatura (paradoja de la ecuación de conducción del calor) Ha dado origen a la formulación de la termodinámica extendida – velocidad – y, concentración Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz16

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz17 Fenómenos de Transporte Las tres ecuaciones si se generalizan a tres dimensiones, dan origen a: – Ecuación de transporte de energía (desde Fourier) – Ecuación de transporte de momento (desde Navier - Stokes), y – Ecuación de transporte de masa (desde Fick) Asignatura más importante en las ciencias de la ingeniería para: – Metalúrgicos, químicos, mecánicos, biotecnólogos, industriales, ambientales, etc Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz17

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz18 Transporte de calor en 3D: difusividad térmica Si – α es el coeficiente de difusión térmica (cal/g/ º C) – C p es la capacidad calorífica del fluido a presión constante (cal/g/ º C) – ρ es la densidad del fluido

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz19 Ecuación de calor en 3D Si u, v, w son las componentes del vector velocidad en los ejes x, y, z Si “S” representa cualquier fuente o sumidero de energía (radiación de onda corta (sol), onda larga (radiador), calor liberado o absorbido en reacciones químicas)

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz20 Ecuación de Navier – Stokes en 3D Componente x del momento Componente y del momento Componente z del momento

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz21 Ecuación de transporte de masa en 3D Si “S” es el término de fuente o sumidero (flujo por unidad de volumen). Para transferencia entre fases: Donde CE es la concentración de equilibrio después de un largo tiempo y k es el coeficiente de transferencia de masa. Si es una reacción química de primer orden k es la constante de velocidad de reacción (CE = 0)

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz22 Transporte de masa adimensional Definiendo las siguientes variables adimensionales: Longitudes de referencia Velocidades de referencia

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz23 Ecuación de difusión adimensional Reemplazando en ecuación dimensional: Números de Péclet Número de Reacción o de Sherwood (para Transferencia de Masa)

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz24 Transporte de energía adimensional Si ΔT es una diferencia de temperatura apropiada Donde los Números de Péclet usan valores de α en lugar de D

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz25 Transporte de momento adimensional Para la componente x – Se definen por ejemplo para un canal P r es una presión de referencia El 0 es la elevación del fondo de un canal L es una longitud de referencia Convirtiendo la componente x de la fuerza de gravitación por unidad de masa g x a la usada para una superficie de agua

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz26 Ecuación de Navier – Stokes (x) Si Número de Reynolds Número de Froude Número de Euler

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz27 Transferencia de masa en suelos Si se supone equilibrio termodinámico local en la adsorción en el suelo, y ρb es la densidad a granel del medio poroso, ε es la porosidad del mismo, y Kd es el coeficiente de reparto entre el fluido y la adsorción en el medio poroso Factor de Retardo (agua percola más rápido que el contaminante)

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz28 Primeras ideas sobre irreversibilidad Si se desplaza un sistema del estado de equilibrio, sus parámetros varían con el tiempo. – Al cabo de un cierto tiempo, volverá a su estado inicial (debido a la 1ª Ley) Relajación: proceso de pasar de un estado fuera del equilibrio a otro en equilibrio se denomina relajación. El tiempo asociado se designa como tiempo de relajación (τ=Tau)

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz29 Transformación cuasiestática Si la velocidad en el proceso es mucho menor que la velocidad media de relajación para un parámetro A Cuasiestática: Se dice que el parámetro A varía en forma infinitamente lenta, experimentando una serie de estados de equilibrio

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz30 Transformación no equilibrada Si, por el contrario, la velocidad de variación del parámetro A con el tiempo es mayor o igual a la velocidad media de la relajación Se trata de un proceso no-equilibrado

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz31 Termodinámica clásica y transformaciones irreversibles El 2º principio de la Termodinámica persigue establecer la relación en las dos formas de transmitir energía (Q: calor; W: trabajo) – El paso de transformar calor en trabajo necesita de compensación, pero el proceso inverso no (progreso logrado a partir del primer tercio del siglo XX)

Dr.-Ing. fernando Corvalán Quiroz32 Compensación e irreversibilidad Irreversible: el retorno del estado final al inicial es imposible sin efectuar algún cambio en el entorno. Reversible: toda transformación cuasiestática es reversible, debido a que en todo instante el sistema se encuentra en equilibrio, y no se modificará el entorno