Minimización de Costos

Una empresa minimiza costos si produce cualquier cantidad de su producto, Y ³ 0, al menor costo posible. C(Y) es el menor costo posible de producir Q unidades. C(Y) e la función de costo total.

Si la empresa se enfrenta a los precios de los factores w = (w1,w2,…,wn) entonces la función de costo total se puede escribir como CT(w1,…,wn,Y).

El problema de la minimización de costos Suponga una empresa que emplea 2 factores para obtener un cierto producto. La función de producción es Y = f(x1,x2). Asumimos el nivel de producción Y ³ 0 como dado. Dados los precios de los factores w1 y w2, el costo de la canasta de factores (x1,x2) es w1x1 + w2x2.

Dados w1, w2 y dado Y, el problema de minimización de costos es Sujeto a

x1*(w1,w2,Y) y x2*(w1,w2,Y) es la demanda condicional de factor del bien 1 y el bien 2. El menor costo de producir Y unidades es entonces

Demanda condicional de factor Dados w1, w2 y dado Y, ¿cuál es la canasta de factores de menor costo? ¿Y cómo se estima el costo total?

Rectas Iso-Costo La recta que contiene todas las canastas de factores que tienen el mismo costo es una recta iso-costo. En otras palabras, dados w1 y w2, la recta isocosto para un CT de $100 es

La recta iso-costo es La pendiente es - w1/w2.

x2 C” º w1x1+w2x2 C’ º w1x1+w2x2 C’ < C” x1

x2 pendiente = -w1/w2. C” º w1x1+w2x2 C’ º w1x1+w2x2 C’ < C” x1

La isocuanta de producción x2 De todas las canastas de factores Que producen Q unidades ¿cuál es la de menor costo? f(x1,x2) º Y x1

La minimización de costos x2 f(x1,x2) º Y x1

x2 f(x1,x2) º Y x1

x2 f(x1,x2) º Y x1

x2 x2* f(x1,x2) ºY x1* x1

En la canasta de factores de costo mínimo se cumple: x2 x2* f(x1,x2) ºY x1* x1

pendiente isocosto=pendiente isocuanta Y : pendiente isocosto=pendiente isocuanta x2 x2* f(x1,x2) ºY x1* x1

Es decir: x2 x2* f(x1,x2) º Y x1* x1

Ejemplo de minimización de costos con una función de producción Cobb-Douglas La función de producción Cobb-Douglas es Los precios de los factores son w1 y w2. ¿Cuáles son las demandas condicionales de factor?

es la demanda Condicional del Factor 1

Es la demanda condicional del factor 2

Así la canasta de factores de menor costo Para producir Q unidades es

Curvas de Demanda Condicional de Factor Dados w1 y w2. Y’’’ Y’’ Y’

dados w1 y w2.

dados w1 y w2.

dados w1 y w2.

dados w1 y w2. Ruta expansión producción

ruta expansión producción Demanda cond. factor 2 dados w1 y w2. ruta expansión producción Demanda cond. Factor 1

Ejemplo de minimización de costos con la función de producción Cobb-Douglas Dada la función de producción La canasta de factores de menor costo que genera y unidades es

En consecuencia, la función de costo total de la empresa es

Ejemplo de minimización de costos con complementos perfectos La función de producción de la empresa es Los precios de los factores están dados, w1 y w2. ¿Cuáles son las demandas condicionales de los factores? ¿Cuál es la función de costo total de la empresa?

x2 4x1 = x2 min{4x1,x2} º y’ x1

x2 4x1 = x2 min{4x1,x2} º y’ x1

x2 ¿dónde está la canasta de factores de costo mínimo para producir y’ unidades? 4x1 = x2 min{4x1,x2} º y’ x1

x2 ¿dónde está la canasta de factores de costo mínimo para producir y’ unidades? 4x1 = x2 x2* = y min{4x1,x2} º y’ x1* = y/4 x1

La demanda condicional de factores es y

y Entonces la función de costos es:

y

Costo Medio Para niveles positivos de Y, el costo medio de producción es

Retornos a escala y costo medio Las propiedades de los retornos a escala determinan cómo cambian los costos medios con el nivel de producción. La empresa está produciendo y’ unidades. ¿cómo cambia el costo medio si la empresa produce 2y’ unidades?

Retornos Constantes a Escala y Costo Medio Si la empresa presenta retornos constantes a escala entonces al duplicar la producción tiene que duplicar el empleo de los factores.

Si la empresa presenta retornos constantes a escala, entonces si se duplica la producción, de y’ a 2y’, se requiere duplicar todos los factores. El costo total se duplica.

El costo medio no cambia.

Retornos decrecientes a escala y costo medio Si la empresa presenta retornos decrecientes a escala, entonces si se duplica la producción, de y’ a 2y’, se requiere más del doble de todos los factores.

El costo total es más del doble.

El costo medio se incrementa.

Retornos crecientes a escala y costo medio Si la empresa presenta retornos crecientes a escala, entonces si se duplica la producción, de y’ a 2y’, se requiere menos del doble de todos los factores.

El costo total es menos del doble.

El costo medio disminuye.

Retornos a escala y costo medio CMe(y) r.a.e. decrecientes r.a.e. constantes r.a.e. crecientes y

Retornos a Escala y Costo Total ¿Qué implica esto en la forma de la función de costos?

El CMe se incrementa si la empresa presenta retornos a escala decrecientes. $ c(2y’) pendiente = c(2y’)/2y’ = CMe(2y’). pendiente = c(y’)/y’ = CMe(y’). c(y’) y’ 2y’ y

$ c(y) c(2y’) c(y’) y’ 2y’ y El CMe se incrementa si la empresa presenta retornos a escala decrecientes. $ c(y) c(2y’) pendiente = c(2y’)/2y’ = CMe(2y’). pendiente = c(y’)/y’ = CMe(y’). c(y’) y’ 2y’ y

El CMe disminuye si la empresa presenta retornos a escala crecientes. $ c(2y’) pendiente = c(2y’)/2y’ = CMe(2y’). c(y’) pendiente = c(y’)/y’ = CMe(y’). y’ 2y’ y

$ c(y) c(2y’) c(y’) y’ 2y’ y El CMe disminuye si la empresa presenta retornos a escala crecientes. $ c(y) c(2y’) pendiente = c(2y’)/2y’ = CMe(2y’). c(y’) pendiente = c(y’)/y’ = CMe(y’). y’ 2y’ y

$ c(y) c(2y’) =2c(y’) c(y’) y’ 2y’ y El CMe es constante si la empresa presenta retornos a escala constantes. $ c(y) c(2y’) =2c(y’) pendiente = c(2y’)/2y’ = 2c(y’)/2y’ = c(y’)/y’ entonces CMe(y’) = CMe(2y’). c(y’) y’ 2y’ y

Costos en el corto y en el largo plazo En el largo plazo la empresa puede variar la cantidad que emplea de todos los factores. Suponga una empresa que no puede cambiar la cantidad que emplea del factor 2, x2’ unidades. ¿Cómo es el costo de producir Y unidades en el corto plazo, comparado con el costo de producir Y unidades en el largo plazo?

El problema de minimización de costos en el largo plazo es El problema de minimización de costos en el corto plazo es Sujeto a Sujeto a

El problema de minimización de costos en el largo plazo es el problema de minimización de costos en el largo plazo, sujeto a la restricción adicional que x2 = x2’. Si el óptimo en el largo plazo para x2 es x2’ entonces la restricción x2 = x2’ no es realmente una restricción y los costos de producir Y unidades en el corto plazo y en el largo plazo son los mismos.

El problema de minimización de costos en el corto plazo es, en consecuencia, el problema de minimización de costos en el largo plazo, sujeto a la restricción adicional que x2 = x2”. Pero, si el óptimo en el largo plazo es x2 ¹ x2” entonces la restricción x2 = x2” impide que la empresa alcance en el corto plazo los costos del largo plazo y provoca que el costo del corto plazo sea mayor que el costo del largo plazo.

Asuma tres niveles de producción. x2 x1

En el largo plazo cuando la empresa es libre de escoger la cantidad a emplear de ambos factores, la canasta de factores de menor costo es ... x2 x1

x2 Ruta expansión de la producción en el largo plazo x1

x2 x1 Los costos en el largo plazo son Ruta expansión de la producción en el largo plazo x1

Ahora suponga que la empresa está sujeta a la restricción de corto plazo x1 = x1”.

Los costos de largo plazo son x2 Ruta expansión en el corto plazo x1

Los costos de largo plazo son x2 Ruta expansión en el corto plazo x1

x2 x1 Los costos de largo plazo son Ruta expansión en el corto plazo corto plazo son x1

x2 x1 Los costos de largo plazo son Ruta expansión en el corto plazo corto plazo son x1

x2 x1 Los costos de largo plazo son Ruta expansión en el corto plazo corto plazo son x1

x2 x1 Los costos de largo plazo son Ruta expansión en el corto plazo corto plazo son x1

El costo de corto plazo es mayor al costo de largo plazo excepto en el nivel de producción donde la restricción de corto plazo es igual al óptimo del largo plazo. Esto significa que la curva de costo total de largo plazo siempre tiene un punto en común con cada curva de costos de corto plazo.

La curva de costos de corto plazo siempre tiene un punto en común con la curva de costos de largo plazo y en el resto de otros puntos es mayor que la curva de costos de largo plazo. $ cs(y) c(y) y