2. Programación lineal : Formulación matemática del problema Jorge Eduardo Ortiz Triviño jeortizt@unal.edu.co

Objetivos del Capítulo Fijar los requerimientos para establecer un modelo de programación lineal. Representación gráfica de un modelo de programación lineal. Ventajas del modelo de programación lineal: * Obtención de una solución óptima única. * Obtención de soluciones alternativas * Modelos no acotados. * Modelo no factibles. .

Conceptos de análisis de sensibilidad: * Reducción de costos. * Rango de optimalidad. * Precios sombra. * Rango de factibilidad. * Holgura complementaria. * Agregar restricciones/variables. Obtención de una solución por métodos computacionales:

Introducción a la Programación Lineal Un modelo de programación lineal busca maximizar o minimizar una función lineal, sujeta a un conjunto de restricciones lineales. Un modelo de programación lineal esta compuesto de lo siguiente: * Un conjunto de variables de decisión * Una función objetivo * Un conjunto de restricciones

PROGRAMACIÓN LINEAL Es un método matemático que se emplea para resolver problemas de optimización. En palabras simples la P.L. busca asignar recursos limitados, entre actividades que compiten, de la forma mas óptima posible. Supuestos de la P.L. Proporcionalidad Aditividad Divisibilidad Certidumbre Objetivo único No negatividad

PROGRAMACIÓN LINEAL

La importancia de la programación lineal: * Ciertos problemas se describen fácilmente a través de la programación lineal. * Muchos problemas pueden aproximarse a modelos lineales. * La salida generada por el programa que resuelve el modelo de programación lineal entrega información útil para responder nuevas condiciones sobre el “qué pasa si”.

Formulación matemática básica en un problema de I.O. (PL) Ejemplo: Una multinacional minera extrae un tipo de mineral de dos minas diferentes, el cuales es sometido a un proceso de trituración, con tres grados: alto , medio y bajo. La compañía han firmado un contrato para proveer de mineral a una planta de fundición, cada semana, 12 toneladas de mineral de grado alto, 8 toneladas de grado medio y 24 toneladas de grado bajo. Cada una de las minas tiene diferentes procesos de fabricación.  Mina Costo por día (miles de Euros) Producción(toneladas/día) Alto Medio Bajo X 180 6 3 4 Y 160 1 1 6  ¿Cuántos días a la semana debería operar cada mina para cumplir el contrato con la planta de fundición con el que se comprometió la multinacional?

Traducción del problema en términos matemáticos Formulación matemática básica en un problema de I.O. Es necesario buscar una solución que minimice el costo de producción global de la empresa, sujeta a las restricciones impuestas por los proceso productivos asociados a cada mina así como el contrato con la planta de fundición.  Traducción del problema en términos matemáticos definir las variables las restricciones el objetivo

Formulación matemática básica en un problema de I.O. Restricciones Se recomienda primero plantear las restricciones con palabras antes de pasar a su formulación matemática. Restricción 1. refleja el balance entre las limitaciones productivas de la fábrica y el contrato con la plante de fundición Grado Alto 6Dx+1Dy12 Medio 3Dx+1Dy8 Bajo 4Dx+6Dy24 Restricción 2. días de trabajo disponibles a la semana Dx5 y Dy5 Variables Representan las decisiones que puede tomar la empresa: Dx = número de días a la semana que la mina X produce Dy= número de días a la semana que la mina Y produce Notar que Dx0 y Dy0 Objetivo Como objetivo buscamos minimizar el costo 180Dx+160Dy

Formulación matemática básica en un problema de I.O. La representación completa del problema tomaría la siguiente forma: Minimizar 180Dx+160Dy s.a. 6Dx+1Dy12 3Dx+1Dy8 4Dx+6Dy24 Dx5, Dy5 Dx0, Dy0

PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos PROBLEMA DE LA MEZCLA DE PRODUCTOS Una compañía fabrica dos tipos de componentes electrónicos: transistores y bobinas. Cada transistor requiere un minuto de tiempo en el departamento de ensamble, dos minutos de tiempo en el departamento de Control de Calidad y un minuto de tiempo en empaque. Cada bobina requiere dos minutos de tiempo en ensamble, un minuto de tiempo en Control de Calidad y dos minutos en empaque. Existe un total de 300 minutos en Ensamble, 400 minutos en C. Calidad y 400 minutos en Empaque disponibles cada día. Tanto los transistores como las bobinas contribuyen en un dólar a la utilidad. La compañía desea determinar la mezcla de productos optima que maximice la utilidad total.

PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos Solución: Formulación Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar Maximizar las utilidades de la compañía (U).{dólares/día} Paso 2: Identificar las variables de decisión que se desea determinar X….Cantidad de transistores a fabricar por día {unds./día} Y….Cantidad de bobinas a fabricar por día {unds./día} Paso 3: Identificar las restricciones del modelo R1) Tiempo disponible en el depto. de Ensamble por día 300 min. R2) Tiempo disponible en el depto. de C. Calidad por día de 400 min. R3) Tiempo disponible en el depto. de Empaque por día de 400 min. R4) No Negatividad.

PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos Paso 4: Construcción del modelo matemático F.Objetivo MAX { U = X + Y } Sujeto a : R1) X + 2Y  300 R2) 2X + Y  400 R3) X + 2Y  400 R4) X , Y  0

Métodos de Resolución Método Gráfico Empleado principalmente para PPL con dos variables de decisión. Este método se basa en la idea de obtener regiones de soluciones factibles (RSF), en las cuales se encontraría la combinación de variables de decisión que optimizan el modelo. Método Algebraico (SIMPLEX) Empleado principalmente para PPL con más de dos variables de decisión. Este método se desarrollo con base en el método gráfico y corresponde a un sistema heurístico, por lo cual requiere de una solución inicial factible para empezar a funcionar. 8 8

Problemas típicos Problema del transporte Problema de flujo con coste mínimo en red Problema de asignación Problema de la mochila (knapsack) Problema del emparejamiento (matching) Problema del recubrimiento (set-covering) Problema del empaquetado (set-packing) Problema de partición (set-partitioning) Problema del coste fijo (fixed-charge) Problema del viajante (TSP) Problema de rutas óptimas

Problema del transporte Minimizar el coste total de transporte entre los centros de origen y los de destino, satisfaciendo la demanda, y sin superar la oferta xij: unidades a enviar de origen i a destino j cij: coste unitario de transporte de i a j ai: unidades de oferta en el punto origen i bj: unidades de demanda en el punto destino j Se supone oferta total igual a demanda total

Algunas reflexiones Hemos pasado de la definición del problema a su formulación matemática. Error de especificación, el error más frecuente consiste en descuidar las limitaciones (restricciones, características de las variables, etc,) En el ejemplo anterior: Todas las variables son continuas (admitimos fracciones de día) Existe un único objetivo (minimizar los costes) El objetivo y las restricciones son lineales Las tres consideraciones anteriores nos llevan a lo que denominamos un problema de Programación Lineal PL

Algunas reflexiones El ejercicio anterior plantea un PROBLEMA DE DECISIÓN Se ha tomado una situación real y se ha construido su equivalente matemático MODELO MATEMÁTICO Durante la formulación del modelo matemático se considera el método cuantitativo que (esperanzadamente) nos permitirá resolver el modelo numéricamente ALGORITMO El algoritmo es un conjunto de instrucciones que siguiendo de manera gradual producen una solución numérica Otra definición de I.O. Ciencia para la representación de problemas reales mediante modelos matemáticos que junto con métodos cuantitativos nos permiten obtener una solución numérica a los mismos

Dificultades Dificultades de este tipo de enfoques: Identificación del problema (debemos ignorar partes o tratar el problema entero). Elección del modelo matemático adecuado así como el algoritmo adecuado para resolverlo (validación del algoritmo). Dificultades en la implementación. Velocidad (costes) que supone llegar a una solución. Calidad de la solución. Consistencia de la solución.