Movimiento Rotacional Chapter Opener. Caption: You too can experience rapid rotation—if your stomach can take the high angular velocity and centripetal acceleration of some of the faster amusement park rides. If not, try the slower merry-go-round or Ferris wheel. Rotating carnival rides have rotational kinetic energy as well as angular momentum. Angular acceleration is produced by a net torque, and rotating objects have rotational kinetic energy.

Cantidades angulares Naturaleza vectorial de las cantidades angulares Aceleración angular constante

Cantidades Angulares En el movimiento rotacional puro, todos los puntos del objeto se mueven en círculos alrededor de un eje de rotación (“O”). El radio del círculo es R. Todos los puntos en una línea recta dibujada desde el eje se mueven el mismo ángulo en el mismo tiempo. El ángulo θ en radianes es definido: Donde l es la longitud de arco. Figure 10-1. Caption: Looking at a wheel that is rotating counterclockwise about an axis through the wheel’s center at O (axis perpendicular to the page). Each point, such as point P, moves in a circular path; l is the distance P travels as the wheel rotates through the angle θ.

Cantidades Angulares Ejemplo 1: Aves de presa—en radianes. El ojo de un ave particular puede distinguir objetos que subtienden un ángulo no menor de aproximadamente 3 x 10-4 rad. (a) ¿Cuántos grados son? (b) ¿De qué tamaño es el objeto más pequeño que el ave puede distinguir cuando vuela a una altura de 100 m? Figure 10-3. Caption: (a) Example 10–1. (b) For small angles, arc length and the chord length (straight line) are nearly equal. For an angle as large as 15°, the error in making this estimate is only 1%. For larger angles the error increases rapidly. Solution: a. 0.017° b. 3 cm (assuming the arc length and the chord length are the same)

Cantidades Angulares Desplazamiento Angular: La velocidad angular promedio es definida como el desplazamiento angular total dividido por el tiempo: La velocidad angular instantánea se define como: Figure 10-4. Caption: A wheel rotates from (a) initial position θ1 to (b) final position θ2. The angular displacement is Δθ = θ2 – θ1.

ConcepTest Una catarina hembra está situada en la orilla de una tornamesa, y una catarina macho está a mitad del camino entre ella y el eje de rotación. La tornamesa hace una revolución completa cada segundo. La rapidez angular de la catarina macho es 1. la mitad de la catarina hembra. 2. la misma de la catarina hembra. 3. el doble de la catarina hembra. 4. imposible determinar.

ConcepTest Dos niños estan montados en un carrusel, donde el niño 1 está a una mayor distancia del eje de rotación que el niño 2. ¿Cómo se comparan las rapideces angulares w1, w2 de los dos niños? (a) w1>w2 (b) w1=w2 (c) w1<w2

Cantidades Angulares La aceleración angular promedio, a, de un objeto es definida como la razón del cambio en la rapidez angular al tiempo que le toma al objeto llevar a cabo dicho cambio: t = ti: wi t = tf: wf

Ejemplos: 1. La llanta de una bici gira a 240 rev/min. ¿Cuál es su rapidez angular en radianes/segundo? 2. Si la llanta frena uniformemente hasta el reposo en 5 segundos, ¿cuál es su aceleración angular?

Ejemplos: 3. ¿Cuántas revoluciones hace en estos 5 segundos? Datos: 1. Rapidez angular: 240 rev/min 2. Tiempo t = 5 s Hallar: q = ? 3. ¿Cuántas revoluciones hace en estos 5 segundos? Recordemos que del movimiento lineal: ¿Tal vez hay una expresión similar para cantidades angulares?

Aceleración Angular Constante Las ecuaciones de movimiento con aceleración angular constante son de la misma forma que las del movimiento lineal, con la sustitución de las cantidades lineales por las angulares. Convención de signos: Consideraremos θ, ω y α cantidades positivas cuando ellas actúan en la dirección angular antihorario.

Cinemática Rotacional Si la aceleración angular es constante:

Pregunta Conceptual Las aspas de un ventilador se están frenando. ¿Cuál opción describe a y w? (a) w>0 and a>0; (b) w>0 and a<0; (c) w<0 and a>0; (d) w<0 and a<0. February 18, 2011 Physics 114A - Lecture 23

Ejemplo: Desaceleración de Aspas Conforme el viento se calma, las aspas de un generador que estaban rotando a ω = 2.1 rad/s comienzan a detenerse con una aceleración angular constante de α = -0.45 rad/s2. ¿cuánto le toman a las aspas detenerse completamente?

Ejemplo: Un Cigüeñal Rotando El tacómetro de un carro indica la rapidez angular ω del cigüeñal del motor en rpm. El motor de un auto que se detiene en un semáforo marcha a 500 rpm. Cuando se enciende la luz verde, la rapidez angular del cigüeñal aumenta a una tasa constante de 2,500 rpm en un intervalo de tiempo de 3.0 s. ¿Cuántas revoluciones realiza el cigüeñal en este intervalo de tiempo?

Relación entre Cantidades Angulares y Lineales Desplazamientos Rapideces Aceleraciones

Relación entre Cantidades Angulares y lineales Desplazamientos Rapideces Aceleraciones Todo punto sobre el objeto que gira tiene el mismo movimiento angular Todo punto sobre el objeto que gira no tiene el mismo movimiento lineal

Cantidades Angulares Todo punto de un cuerpo en rotación tiene una velocidad angular ω y una velocidad lineal v. Y están relacionadas por: Figure 10-5. Caption: A point P on a rotating wheel has a linear velocity v at any moment.

Cantidades Angulares Ejemplo Conceptual: Es más rápido un león que un caballo? En un carrusel, un niño se sienta sobre un caballo cerca del borde y otro niño se sienta sobre un león a la mitad desde el centro. (a) ¿Cuál niño tiene la mayor velocidad lineal? (b) ¿Cuál niño tiene la mayor velocidad angular? Answer: The horse has a greater linear velocity; the angular velocities are the same.

Cantidades Angulares Objetos lejos del eje de rotación se mueven más rápido. Figure 10-6. Caption: A wheel rotating uniformly counterclockwise. Two points on the wheel, at distances RA and RB from the center, have the same angular velocity ω because they travel through the same angle θ in the same time interval. But the two points have different linear velocities because they travel different distances in the same time interval. Since RB > RA, then vB > vA (because v = Rω).

La aceleración tiene la misma dirección que Δv. La velocidad puede cambiar de dos formas: Pueden cambiar tanto la Magnitud como la Dirección. v2 Dv v1 v1 v2 Dv r La aceleración tiene la misma dirección que Δv.

Aceleración Centrípeta Un objeto moviéndose en un círculo, aunque tenga rapidez constante, tiene una aceleración (ya que la velocidad cambia de dirección) Esta aceleración se llama centrípeta (“buscando el centro”). La aceleración esta dirigida hacia el centro de la trayectoria circular

Aceleración Centrípeta y Velocidad Angular La velocidad angular y la velocidad lineal están relacionadas (v = ωr) La aceleración centrípeta también puede relacionarse con la velocidad lineal ¡Triángulos Semejantes! Así:

Cantidades Angulares Si la velocidad angular de un objeto girando cambia, tiene aceleración tangencial: Aún si la velocidad angular es constante, cada punto del objeto tiene una aceleración centrípeta: Figure 10-7. Caption: On a rotating wheel whose angular speed is increasing, a point P has both tangential and radial (centripetal) components of linear acceleration. (See also Chapter 5.)

Aceleración Total ¿Qué pasa si la velocidad lineal también cambia? Dos componentes de la aceleración: la componente centrípeta de la aceleración es debida al cambio de dirección la componente tangencial de la aceleración es debida al cambio de la rapidez La aceleración total se halla con estas componentes: slowing-down car

La Centrífuga El peso aparente de un objeto puede incrementarse apreciablemente usando el movimiento circular. Una centrifuga es un dispositivo de laboratorio usando en química, bilogía, y medicina para aumentar la tasa de sedimentación y separación de una muestra manteniéndola a una gran aceleración centrípeta. Aceleraciones del orden de 10,000 g pueden lograrse. Esto da a una muestra de 12 g un peso aparente de alrededor de 1130 N = 250 lb. April 28, 2009 Physics 114B - Lecture 16

Ejemplo: Big Gees Una centrífuga rota a una tasa tal que el fondo del tubo de prueba viaja a una rapidez de 89.3 m/s. El fondo del tubo de prueba está a 8.50 cm del eje de rotación. ¿Cuál es la aceleración centrípeta ac en el fondo del tubo de prueba en m/s y en g (donde 1 g = 9.8 m/s2)?

En el fondo de la oscilación, el péndulo no acelera ni desacelera En el fondo de la oscilación, el péndulo no acelera ni desacelera. ¿En que dirección está apuntando la aceleración? A) B) C) D) E) v La aceleración es cero.

Cantidades Angulares Aquí está la correspondencia entre cantidades lineales y angulares:

Aceleración centrípeta

Cantidades Angulares Ejemplo: Velocidades angular y lineal y aceleraciones. Un carrusel está inicialmente en reposo. En t = 0 se la da una aceleración constante α = 0.060 rad/s2, que incrementa su velocidad angular durante 8.0 s. En t = 8.0 s, determina la magnitud de las siguientes cantidades: (a) la velocidad angular del carrusel; (b) la velocidad lineal de una niña localizada a 2.5 m del centro; (c) la aceleración tangencial (lineal) de la niña; (d) la aceleración centrípeta de la niña; y (e) la aceleración total de la niña. Figure 10-8. Caption: Example 10–3. The total acceleration vector a = atan + aR, at t = 8.0 s. Solution: a. The angular velocity increases linearly; at 8.0 s it is 0.48 rad/s. b. The linear velocity is 1.2 m/s. c. The tangential acceleration is 0.15 m/s2. d. The centripetal acceleration at 8.0 s is 0.58 m/s2. e. The total acceleration is 0.60 m/s2, at an angle of 15° to the radius.

Cantides Angulares La frecuencia es el número completo de revoluciones por segundo: La frecuencia es medida en hertz: El periodo es el tiempo que le toma a una revolución:

Naturaleza Vectorial de las Cantidades Angulares El vector de velocidad angular apunta a lo largo del eje de rotación, con la dirección dada por la regla de la mano derecha. Si la dirección del eje de rotación no cambia, el vector de aceleración angular también apunta en la misma dirección. Figure 10-9. Caption: (a) Rotating wheel. (b) Right-hand rule for obtaining direction of ω.

Cantidades Angulares Ejemplo: Disco duro. El plato de un disco duro gira a 7200 rpm (rpm = revoluciones por minuto = rev/min). (a) ¿Cuál es la velocidad angular (rad/s) del plato? (b) Si la cabeza lectora del disco está ubicada a 3.00 cm del eje de rotación, ¿cuál es la rapidez lineal del punto sobre el plato justo debajo de ella? (c) Si un sólo bit requiere 0.50 μm de longitud a lo largo de la dirección del movimiento, ¿Cuántos bits por segundo puede la cabeza escribir cuando está a 3.00 cm del eje?

Cantidades Angulares Ejemplo: Merry-go-round. El pequeño Juan está en el parque de juegos. A Juan realmente le gusta el merry-go-round. Juan le pregunta a su hermano si empuja el merry-go-round. a) Si el hermano de Juan empuja el merry-go-round desde el reposo hasta una rapidez de 50 rad/s en ocho segundos, ¿cuál es la aceleración angular? b) Si Juan sale volando del merry-go-round de 6 m de diámetro mientras va a 50 rad/s, ¿con qué rapidez sale Juan del merry-go-round? c) ¿Deberá Juan hacer cargos criminales? Solution: First, we need to refer to our list of formulas and find the appropriate formula for solving angular acceleration. Here is what we know: Avo = 0 rad/sec Av = 50 rad/sec t = 8 sec Aa = ? Now we use the formula, Aa=( Av - Avo ) / t, and solve for angular acceleration. Here is the formula with the numbers plugged in, Aa = (50 - 0)/8. So the answer to a) is 6.25 rad/s/s. To solve part B, we must use tangential relationships. The relationship between tangential velocity and angular velocity is quite simple. Just multiply the angular velocity by the radius of the spinning object (the merry-go-round, not Johnny). The merry-go-round has a six meter diameter so its radius is 3 meters. Fifty rad/sec times 3 meters is 150 m/s or 335 miles per hour. As for part C, this is pretty much a judgment call. I'm sure Johnny's brother didn't mean to hurt him...did he?

Cantidades Angulares Ejemplo: Ventilador. Un ventilador puede acelerar a 23 rad/s2. ¿Cuánto tiempo le toma en cambiar la velocidad angular de 45 rad/s hasta 120 rad/s?