Recuerda. Igualdad de figuras Tema: 13 Semejanza: planos, mapas y maquetas 1 Matemáticas 1º Recuerda. Igualdad de figuras B • B´ • A • A´ • Cuando se utiliza una fotocopiadora con el porcentaje 100%, el original y la copia son iguales. (Si se superponen, el original y la copia coinciden en todo). Si dos figuras son iguales, la distancia entre dos puntos y la de sus correspondientes es la misma: AB = A´B´. Esta característica permite definir la igualdad de figuras. Dos figuras son iguales cuando el segmento determinado por dos puntos cualesquiera del original es igual al segmento determinado por sus correspondientes en la copia IMAGEN FINAL

Recuerda. Igualdad de triángulos Tema: 13 Semejanza: planos, mapas y maquetas 2 Matemáticas 1º Recuerda. Igualdad de triángulos Fotocopiamos el triángulo ABC con el porcentaje 100% Los dos triángulos son iguales. Con un compás puedes comprobar que: • Cada lado es igual a su correspondiente. • Cada ángulo es igual a su correspondiente. Regla práctica: Para saber si dos triángulos son iguales basta comprobar que se cumple una de estas tres condiciones: • Tienen los tres lados iguales. • Tienen dos lados iguales y el ángulo que forman igual. • Tienen un lado igual y los ángulos contiguos iguales. IMAGEN FINAL

Tema: 13 Semejanza: planos, mapas y maquetas 3 Matemáticas 1º Ampliación de figuras Cuando se utiliza una fotocopiadora con el porcentaje 100%, el original y la copia son iguales. ¿Qué sucederá cuando el porcentaje es mayor? Original Copia Ampliamos (141%) A´ • A • B´ • B • Si aplicamos un porcentaje mayor que 100% (por ejemplo, 141%), la copia es mayor que el original. La figura se ha ampliado. Los puntos A y B se transforman en A´ y B´, cumpliéndose que: 1,41 es la escala A´B´ = 141% de AB = 1,41 ·AB La escala es el cociente entre un segmento cualquiera de la copia y el segmento correspondiente del original. Coincide con el porcentaje de ampliación o reducción. IMAGEN FINAL

Tema: 13 Semejanza: planos, mapas y maquetas 4 Matemáticas 1º Reducción de figuras Cuando se utiliza una fotocopiadora con el porcentaje 100%, el original y la copia son iguales. ¿Qué sucederá cuando el porcentaje es menor? Original Reducción (70%) A´ • A • B´ • B • Copia Si aplicamos un porcentaje menor que 100% (por ejemplo, 70%), la copia es menor que el original. La figura se ha reducido. Los puntos A´ y B´ se transforman en A y B, cumpliéndose que: 0,7 es la escala AB = 70% de A´B´ = 0,7 ·A´B´ Recuerda que la escala es el cociente entre un segmento cualquiera de la copia y el segmento correspondiente del original. Coincide con el porcentaje de ampliación o reducción. IMAGEN FINAL

Tema: 13 Semejanza: planos, mapas y maquetas 5 Matemáticas 1º Figuras semejantes Se ha utilizado la fotocopiadora con una escala distinta a la de 100% y se ha obtenido el siguiente resultado. Copia Original Escala (?) A B ¿Cómo se calcularía la escala? A´ B´ Elegimos dos puntos A y B del original y sus correspondientes en la copia. Medimos las distancias y calculamos el cociente A´B´ : AB. En este caso la distancia en la copia es doble que el original. Por tanto, la escala es 2 : 1, y el porcentaje de la fotocopiadora, 200%. Dos figuras son semejantes cuando el cociente de los segmentos determinados por un par cualesquiera de puntos y su par de puntos correspondientes es siempre el mismo. El cociente de dos segmentos correspondientes se llama razón de semejanza. La distancia entre dos puntos de la copia es igual al producto de la distancia original por la escala: A´B´= k · AB ( k es la escala). IMAGEN FINAL

Triángulos semejantes Tema: 13 Semejanza: planos, mapas y maquetas 6 Matemáticas 1º Triángulos semejantes Ampliamos el triángulo un 200%. 200% Original Copia Los triángulos ABC y A´B´C´ son figuras semejantes. Por tanto, las medidas de la copia son dobles que las del triángulo original. En particular, los cocientes entre los lados correspondientes serán iguales: (k es la escala) También se puede comprobar (con un compás) que: Dos triángulos son semejantes si tienen los lados correspondientes proporcionales y los ángulos correspondientes iguales.. IMAGEN FINAL

Semejanza de triángulos: Criterio 1 Tema: 13 Semejanza: planos, mapas y maquetas 7 Matemáticas 1º Semejanza de triángulos: Criterio 1 La semejanza de triángulos se puede determinar más fácilmente mediante los criterios de semejanza de triángulos. Vamos a construir dos triángulos cuyos lados sean proporcionales a 4 cm, 5 cm y 6 cm. Pueden valer los siguientes: A´ A 12 8 6 4 B 5 C B´ 10 C´ Midiendo con un transportador puede comprobarse que los ángulos correspondientes son iguales. (Pero no es necesario. Basta con saber que sus lados son proporcionales). Criterio 1 Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales. IMAGEN FINAL

Semejanza de triángulos: Criterio 2 Tema: 13 Semejanza: planos, mapas y maquetas 8 Matemáticas 1º Semejanza de triángulos: Criterio 2 El segundo criterio relaciona la igualdad de ángulos correspondientes (conocida) y la proporcionalidad de lados correspondientes (desconocida). Vamos a construir dos triángulos de distinto tamaño cuyos ángulos midan 50º, 60º y 70º. Pueden valer los siguientes: A´ 70º A 70º 60º 50º 60º 50º B C B´ C´ Midiendo con una regla milimetrada los lados de los triángulos puede comprobarse que los lados correspondientes son proporcionales. Criterio 2 Dos triángulos son semejantes si tienen los tres ángulos iguales. IMAGEN FINAL

Tema: 13 Semejanza: planos, mapas y maquetas 9 Matemáticas 1º ´ Mapas y planos Un mapa es la representación, mediante un dibujo detallado, de una parte de la superficie de la Tierra guardando la semejanza. Por ejemplo, la distancia Madrid–Zaragoza en el mapa es proporcional a la distancia real. Escala 1 : 10 000 000 Un plano es la representación, mediante un dibujo detallado, de un piso, de una habitación, de una ciudad, etc, guardando la semejanza. La constante de proporcionalidad, la razón de semejanza, es la escala. La escala es el cociente entre una longitud medida en el mapa o plano, y la longitud representada, medida en la realidad. IMAGEN FINAL

Tema: 13 Semejanza: planos, mapas y maquetas 10 Matemáticas 1º Ejercicio resuelto Los padres de Elena y Esther han comprado un piso. Su futura habitación está dibujada a escala 1 : 150, en el plano adjunto. ¿Qué dimensiones tiene su cuarto? Se entiende las dimensiones interiores, sin las paredes. Escala 1 : 150 Para calcular sus dimensiones habrá que medir los lados y tener en cuenta la escala. 10 20 30 Con una regla milimetrada medimos el largo y el ancho de la habitación en el plano. 10 20 30 Valores del plano Valores reales Ancho: 30 mm 30 mm · 150 = 4500 mm = 4,5 m Largo: 35 mm 35 mm · 150 = 5250 mm = 5,25 m IMAGEN FINAL

Tema: 13 Semejanza: planos, mapas y maquetas 11 Matemáticas 1º Maquetas Los tres coches que aparecen en la fotografía de la derecha son maquetas a escala de coches que circulan. Las maquetas de los coches suelen tener como escala estándar: Esta otra foto corresponde a la maqueta de un edificio y su entorno. En las maquetas, las tres dimensiones, largo, ancho y alto, del objeto original se amplían o reducen en la misma proporción que da la escala. Una maqueta es una representación de una escultura, edificio, coche, etc., que guarde la misma forma, es decir, que es semejante al original. IMAGEN FINAL

Ejercicio resuelto 13 Lalo tiene en su casa una magnífica réplica Tema: 13 Semejanza: planos, mapas y maquetas 12 Matemáticas 1º Ejercicio resuelto Lalo tiene en su casa una magnífica réplica del Jaguar modelo “E” (1961) a escala . La dimensiones de esta maqueta son: largo: 25,5 cm; ancho: 9,7 cm; alto: 6,5 cm. ¿Cuáles son las dimensiones reales del Jaguar “E”? La escala significa 1 a 18; esto es: las medidas reales son 18 veces mayores que las de la maqueta. Valores de la maqueta Valores reales Largo: 25,5 cm 25,5 cm · 18 = 459 cm = 4,59 m Ancho: 9,7 cm 9,7 cm · 18 = 174,6 cm = 1,747 m Alto: 6,5 cm 6,5 cm · 18 = 117 cm = 1,17 m IMAGEN FINAL

Técnicas y estrategias Tema: 13 Semejanza: planos, mapas y maquetas 13 Matemáticas 1º Técnicas y estrategias Para resolver un triángulo: DIBUJAR A ESCALA Una parcela tiene forma triangular y sus dimensiones son 90 m, 100 m y 70 m. Se pide el valor aproximado de los ángulos y del área. Dibujamos a escala 1 : 1000 la parcela real. 70 m : 1000 = 0,07 m = 7 cm Los lados del triángulo serán: 90 m : 1000 = 0,09 m = 9 cm 100 m : 1000 = 0,10 m = 10 cm A En el dibujo a escala medimos los ángulos y la altura. • Con un transportador se obtienen los ángulos: 43º 43º, 77º, 60º (Estos valores coinciden con los reales) 10 cm 9 cm • Con una regla graduada medimos la altura: · vale 6,1 cm 61 m reales 6,1 cm ×1000 60º 77º Área de la parcela = B C 7 cm IMAGEN FINAL