Problema 4: Se lanza un objeto que desliza por una superficie. La superficie está inclinada hacia arriba un ángulo α respecto a la horizontal. ¿Qué distancia recorrerá el objeto antes de pararse?

Situación inicial: el objeto ha sido lanzado con rapidez v 0, por un plano que está inclinado un ángulo α respecto a la horizontal v0v0 α

Emisión de hipótesis y análisis cualitativo

La distancia de frenado (D) dependerá de… La rapidez inicial ( v 0 ) La rapidez inicial ( v 0 ) El coeficiente de rozamiento de la superficie (μ) El coeficiente de rozamiento de la superficie (μ) La masa del objeto (m) La masa del objeto (m) La inclinación del plano (α) La inclinación del plano (α) La aceleración de la gravedad (g) La aceleración de la gravedad (g)

Para analizar la influencia de cada variable sobre D, necesitamos realizar un control de variables

Si (μ, m, α, g) permanecen constantes, D depende de v 0 : De forma creciente, pues a mayor rapidez inicial más tiempo tardará en pararse y más distancia recorrerá De forma creciente, pues a mayor rapidez inicial más tiempo tardará en pararse y más distancia recorrerá Si v 0 tiende a cero, D tenderá a cero pues apenas subirá Si v 0 tiende a cero, D tenderá a cero pues apenas subirá Si v 0 tiende a infinito, D tenderá a infinito pues tardará un tiempo infinito en detenerse Si v 0 tiende a infinito, D tenderá a infinito pues tardará un tiempo infinito en detenerse

Si ( v 0, m, α, g) permanecen constantes, D depende de μ : De forma decreciente, pues a mayor coeficiente de rozamiento, mayor fuerza de rozamiento máxima, antes se parará y menos D De forma decreciente, pues a mayor coeficiente de rozamiento, mayor fuerza de rozamiento máxima, antes se parará y menos D Si μ tiende a cero, D tenderá a un valor máximo (pues se encargará de pararlo tan sólo la atracción de la Tierra) Si μ tiende a cero, D tenderá a un valor máximo (pues se encargará de pararlo tan sólo la atracción de la Tierra) Si μ tiende a infinito, D tenderá a cero pues tardará un tiempo casi nulo en detenerse Si μ tiende a infinito, D tenderá a cero pues tardará un tiempo casi nulo en detenerse

Si ( v 0, μ, α, g) permanecen constantes, D depende de m : De forma decreciente, pues a mayor masa mayor fuerza contraria al movimiento (aumenta la componente tangencial del peso, y aumenta la fuerza de rozamiento por estar más apretados el objeto y la superficie), y menos D De forma decreciente, pues a mayor masa mayor fuerza contraria al movimiento (aumenta la componente tangencial del peso, y aumenta la fuerza de rozamiento por estar más apretados el objeto y la superficie), y menos D Si m tiende a cero, D tenderá a infinito Si m tiende a cero, D tenderá a infinito Si m tiende a infinito, D tenderá a cero Si m tiende a infinito, D tenderá a cero

Si ( v 0, μ, m, g) permanecen constantes, D depende de α : De forma decreciente, pues a mayor inclinación mayor será la componente tangencial del peso, que es contraria al movimiento. (Sin embargo, mayor será la fuerza de rozamiento pues estarán menos apretados el objeto y la superficie) De forma decreciente, pues a mayor inclinación mayor será la componente tangencial del peso, que es contraria al movimiento. (Sin embargo, mayor será la fuerza de rozamiento pues estarán menos apretados el objeto y la superficie) Si α tiende a cero, D tenderá a un valor máximo (ver solución del problema 3) Si α tiende a cero, D tenderá a un valor máximo (ver solución del problema 3) Si α tiende a 90º, D tenderá al valor de la altura máxima en un tiro vertical. Si α tiende a 90º, D tenderá al valor de la altura máxima en un tiro vertical.

Si ( v 0, μ, m, α) permanecen constantes, D depende de g : De forma decreciente, pues a mayor aceleración de la gravedad y por tanto mayor fuerza contraria al movimiento (aumenta la componente tangencial del peso, y aumenta la fuerza de rozamiento por estar más apretados el objeto y la superficie), y menos D De forma decreciente, pues a mayor aceleración de la gravedad y por tanto mayor fuerza contraria al movimiento (aumenta la componente tangencial del peso, y aumenta la fuerza de rozamiento por estar más apretados el objeto y la superficie), y menos D Si g tiende a cero, D tenderá a infinito (ni fuerza de rozamiento ni peso) Si g tiende a cero, D tenderá a infinito (ni fuerza de rozamiento ni peso) Si g tiende a infinito, D tenderá a cero Si g tiende a infinito, D tenderá a cero

Estrategia de resolución

Pasos para resolver el problema: 1.Realizar un análisis dinámico para obtener la aceleración 1.Dibujar, nombrar y calcular directamente las fuerzas que están actuando sobre el objeto durante el movimiento 2.Dibujar la dirección tangencial y normal, y descomponer cada una de las fuerzas 3.Sumar (o restar) las fuerzas en cada dirección, e igualar al producto de la masa por la aceleración en esa dirección 2.Elegir sistema de referencia, determinar el signo de la aceleración y escribir ecuaciones: v t, e t. 3.Igualar v t =0, despejar t y sustituir en e t.

1. Análisis dinámico: dibujar, nombrar y calcular… α F T,o =m o ·g Fuerza de atracción de la Tierra sobre el objeto F s,o Fuerza que ejerce el suelo sobre el objeto, y mide lo apretados que están Froz s,o Fuerza de rozamiento por deslizamiento que ejerce el suelo sobre el objeto

1. Análisis dinámico: descomponer cada fuerza… F s,o Froz s,o dir tang dir nor

1. Análisis dinámico: dibujar, nombrar y calcular… α F T,o αα F T,o ·cosα F T,o ·senα

1. Análisis dinámico: descomponer cada fuerza… F s,o Froz s,o dir tang dir nor F T,o ·cosα F T,o ·senα

1. Análisis dinámico: F res en dirección normal… F s,o F T,o ·cosα Movimiento rectilíneo: a nor =0

1. Análisis dinámico: F res en dirección tangencial Froz s,o F T,o ·senα Como hay movimiento, la Froz toma el valor máximo: μ·F s,o

2. Elegir sistema de referencia… v0v0 a tg e 0 =0

3. Igualar v t a cero, despejar…

Análisis de resultados

La ecuación es dimensionalmente homogénea: D tiene las mismas unidades que: La ecuación es dimensionalmente homogénea: D tiene las mismas unidades que: Algunas de nuestras hipótesis son ciertas, pero no todas… Algunas de nuestras hipótesis son ciertas, pero no todas…

Teniendo en cuenta que: D depende de v 0, es creciente y se cumplen los casos límite (ver diapositiva 6) D depende de v 0, es creciente y se cumplen los casos límite (ver diapositiva 6) D depende de μ, es decreciente, y se cumplen los casos límite (si μ=0, D es máxima: D depende de μ, es decreciente, y se cumplen los casos límite (si μ=0, D es máxima:

Teniendo en cuenta que: ¡D no depende de m! Podríamos revisar nuestra resolución, pero quizás nos hemos equivocado en nuestros argumentos parea justificar la hipótesis. Como tantas veces nos ha ocurrido en clase, hemos pensado que el movimiento está relacionado con la fuerza resultante, y no es así: está relacionado con la aceleración. Por tanto, la influencia de m en la Fres (directamente proporcional), desaparece al dividir entre m para obtener la aceleración. ¡D no depende de m! Podríamos revisar nuestra resolución, pero quizás nos hemos equivocado en nuestros argumentos parea justificar la hipótesis. Como tantas veces nos ha ocurrido en clase, hemos pensado que el movimiento está relacionado con la fuerza resultante, y no es así: está relacionado con la aceleración. Por tanto, la influencia de m en la Fres (directamente proporcional), desaparece al dividir entre m para obtener la aceleración.

Teniendo en cuenta que: Nuestro argumento contradictorio sobre la influencia de α se reconoce en que aparece por dos veces en el denominador de la expresión obtenida: por una parte, el denominador es mayor cuanto mayor es α pues el seno aumenta, pero por otra parte en ese caso el coseno disminuye. Nuestro argumento contradictorio sobre la influencia de α se reconoce en que aparece por dos veces en el denominador de la expresión obtenida: por una parte, el denominador es mayor cuanto mayor es α pues el seno aumenta, pero por otra parte en ese caso el coseno disminuye. Cuando α=0, D tiende a un valor máximo: Cuando α=0, D tiende a un valor máximo: Cuando α=90º, entonces: Cuando α=90º, entonces:

Teniendo en cuenta que: D depende de g, es decreciente, y se cumplen los casos límite (ver diapositiva 10) D depende de g, es decreciente, y se cumplen los casos límite (ver diapositiva 10)