UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA LICENCIATURA EN INGENIERÍA CIVIL UNIDAD DE APRENDIZAJE: HIDRÁULICA 1 (créditos: 9) “Hidrostática: primera parte ” Por: Laura Ramírez Revueltas octubre 2015

Guión Explicativo El presente documento expone un tema fundamental en la formación del ingeniero civil, siendo parte del curso de Hidráulica 1, dicho tema proporciona la teoría básica de la Hidrostática y su aplicación. El propósito de esta unidad de competencia es que el alumno sea capaz de aplicar la ecuación fundamental de hidrostática en la solución de problemas de fluidos en reposo. Explicar y usar el principio de Pascal en la solución de problemas.

La aplicación de la fórmula referida se hará por medio de exposición presencial de ejercicios teórico-prácticos con la finalidad de que el alumno adquiera los conocimientos significativos de dicho tema. Finalmente se comprobará la adquisición de conocimiento, correspondientes a la primera parte del curso de hidrostática, mediante ejercicios caseros y exámenes parciales.

Hidrostática Es la parte de la Hidráulica que estudia las leyes del equilibrio de los líquidos en reposo, principalmente del agua.

Las fuerzas que desarrollan los líquidos en reposo sobre las paredes que los confinan y en el seno de ellos se llaman presiones hidrostáticas, y son efecto de su acción molecular, que es una modalidad de la energía que contienen.

No existen esfuerzos cortantes en los fluidos en reposo, por lo que solamente están presentes las fuerzas normales de presión. Las fuerzas normales producidas por los fluidos en reposo son a menudo muy importantes. Por ejemplo, tienden a reventar presas de hormigón, recipientes a presión y romper las compuertas de las esclusas en los canales. Evidentemente para diseñar semejantes instalaciones, se necesita calcular la magnitud y la posición de las fuerzas normales de presión.

Figura 1. Los empujes hidrostáticos se presentan en depósito que contengan algún líquido, como es el caso de esta alberca.

La Presa está conformada por una enorme cortina de concreto y rocas con una altura de 187 metros. Las aguas que forman su embalse alcanzan un volumen de 6,950 millones de metros cúbicos que se extiende a lo largo de 50 kilómetros sobre el río Santiago y 20 kilómetros sobre el río Huaynamota. La fuerza hidráulica de estos ríos impulsa tres gigantescas turbinas con una potencia de 960 megawatts que generan 2,131 kw/h medios anuales, siendo de las más importantes del país en cuanto a producción de energía eléctrica. Existe un embarcadero de acceso libre desde el cual puede internarse en sus aguas. Figura 2. Presa Hidroeléctrica de Aguamilpa (Tepic, México)

Presa Chicoasen, situada en Chiapas, México Presa Chicoasen, situada en Chiapas, México. Allí se encuentra una enorme planta hidroeléctrica que usa la fuerza motriz de agua para la generación de energía eléctrica. Su nombre competo es Presa Manuel Moreno Torres “Chicoasen”, y se sitúa al final del Parque Nacional Cañón del Sumidero, con una espectacular cortina de 262 metros de altura. Figura 3. Presa hidroeléctrica de Chicoasen está considerada dentro de las 10 más grandes del mundo

La intensidad media de la presión p se define como la fuerza ejercida sobre una unidad de área. Si F representa la fuerza de presión normal total sobre una unidad de área finita A, mientras que dF representa la fuerza sobre un área infinitesimal dA, la presión viene dada por 𝑝= 𝑑𝐹 𝑑𝐴

𝑝= 𝐹 𝐴 Si la presión es uniforme sobre todo el área, entonces En el sistema internacional (SI) la unidad de presión que se utiliza comúnmente es el pascal (Pa = N/m2). Anteriormente, en el sistema métrico, se utilizaban los bares y milibares para medir la presión; 1mbar = lOOPa.

Presión en un punto igual en todas direcciones Las únicas fuerzas entre superficies adyacentes son las fuerzas de presión normales a las superficies. Por tanto, el valor de la presión en cualquier punto en un fluido en reposo es igual en todas direcciones.

Esto se puede comprobar examinando la figura 4, que representa un elemento muy pequeño de fluido en reposo con forma de cuña cuyo espesor normal al plano del papel es constante e igual a dy. Se llamará p a la presión media en cualquier dirección en el plano del papel,  tendrá el significado indicado en la figura, px y pz serán las presiones medias en las direcciones horizontal y vertical. Figura 4. Elemento de fluido

Las fuerzas que actúan sobre el elemento de fluido, con excepción de aquellas en la dirección y en las dos caras paralelas al plano del papel, se han representado en la figura. No es preciso tener en cuenta las fuerzas en la dirección y porque se cancelan mutuamente. Debido a que el fluido está en reposo, no están implicadas fuerzas tangenciales. Como ésta es una condición de equilibrio, la suma de las componentes de fuerza en el elemento en una dirección dada debe ser igual a cero.

𝑝𝑑𝑙𝑑𝑦𝑐𝑜𝑠𝛼− 𝑝 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧=0 𝑑𝑧=𝑑𝑙𝑐𝑜𝑠𝛼 Escribiendo la ecuación para los componentes en la dirección x, 𝑝𝑑𝑙𝑑𝑦𝑐𝑜𝑠𝛼− 𝑝 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧=0 Como 𝑑𝑧=𝑑𝑙𝑐𝑜𝑠𝛼

Entonces 𝑝𝑑𝑦𝑑𝑧− 𝑝 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧=0 Por lo que: 𝑝= 𝑝 𝑥

De la misma manera, sumando las fuerzas en la dirección z obtenemos El tercer término es de orden superior a los otros dos términos por lo que se puede despreciar. Se deduce de esto que    

Se puede demostrar también que considerando un caso tridimensional. Los resultados son independientes de , siendo la presión en cualquier punto de un fluido en reposo igual en todas direcciones.  

Presión absoluta y presión manométrica La presión hidrostática se clasifica en: Absoluta: es la suma de la presión atmosférica mas la relativa, la cual se utiliza en investigación. Relativa: es la presión debida a las capas de líquido que se encuentran sobre el punto en cuestión; también se conoce como presión manométrica. En ingeniería se le llama presión hidrostática.

Presión unitaria y total Unitaria: cuando su intensidad se refiere a la unidad de área. La presión hidrostática unitaria se mide en unidades de fuerza entre unidades de área (N/m2) Total: cuando se refiere a toda una superficie y representa el empuje hidrostático. La presión hidrostática total o empuje hidrostático se mide en unidades de fuerza (N).

Figura 5. Unidades y escalas para la medición de presiones Presión absoluta Presión manométrica Succión (presión manométrica negativa 1atm 760 mm de mercurio 10.34 m de agua 101.325 kPa Presión atmosférica a nivel del mar Cero absoluto Figura 5. Unidades y escalas para la medición de presiones

Variación de la presión en un fluido en reposo Si un fluido está en equilibrio, cada porción del fluido está en equilibrio. Es decir tanto la fuerza neta como el momento neto sobre cada elemento del fluido debe ser cero. Se considera un pequeño elemento de volumen de fluido sumergido dentro del cuerpo del fluido, además se propone que este elemento tenga la forma de un disco delgado y esté a una distancia y arriba de algún nivel de referencia.

pA (dm)g (p+dp)A Área A Espesor dy y dy (a) (b) (c) Nivel de referencia y = 0 Figura 6. Elemento de volumen de fluido sumergido dentro del cuerpo del fluido

El espesor del disco es dy y cada cara tiene un área A El espesor del disco es dy y cada cara tiene un área A. La masa de este elemento es: 𝑑𝑚=𝜌𝑑∀=𝜌𝐴𝑑𝑦 Su peso es 𝑑𝑚 𝑔=𝜌𝑔𝐴𝑑𝑦

Las fuerzas ejercidas sobre el elemento por el fluido que lo rodea son perpendiculares a su superficie en cada punto (fig. 6b). La fuerza horizontal resultante es cero porque el elemento no tiene aceleración horizontal. Las fuerzas horizontales se deben únicamente a la presión del fluido y por simetría la presión debe ser la misma en todos los puntos comprendidos en un plano horizontal en y.

El elemento del fluido no estará acelerado en dirección vertical, de modo que la fuerza vertical resultante sobre él debe ser cero. En la figura (6c) se muestra un diagrama de cuerpo libre del elemento de fluido. Las fuerzas verticales son debidas no sólo a la presión del fluido que lo rodea en sus caras, sino también al peso del elemento.

Si se toma a p como la presión en la cara inferior y p+dp como la presión en su cara superior, la fuerza hacia arriba es pA, y las fuerzas hacia abajo son (p+dp)A y el peso del elemento (dm)g=gAdy . De aquí que el equilibrio vertical, 𝐹 𝑦 =𝑝𝐴− 𝑝+𝑑𝑝 𝐴−𝜌𝑔𝐴𝑑𝑦=0 de donde se obtiene 𝑑𝑝 𝑑𝑦 =−𝜌𝑔 (1)

Esta ecuación muestra cómo varía la presión con la elevación sobre cierto nivel de referencia en un fluido en equilibrio estático. Al aumentar la elevación (dy positiva), la presión disminuye (dp negativa); La causa de la variación de esta presión es el peso por unidad de área de la sección transversal de las capas del fluido que están entre los puntos cuya diferencia de presión está siendo medida.

Si p1 es la presión en la elevación y1 y p2 es la presión en la elevación y2 sobre algún nivel de referencia la integración de la ecuación 1 resulta 𝑝 1 𝑝 2 𝑑𝑝 = 𝑦 1 𝑦 2 −𝜌𝑔𝑑𝑦 O sea 𝑝 2 − 𝑝 1 = 𝑦 1 𝑦 2 −𝜌𝑔𝑑𝑦 (2)

En los líquidos que son casi incompresibles, r es prácticamente constante, y las diferencias de nivel raramente son tan grandes que haya de considerarse algún cambio en g. Así, tomando a r y a g como constantes, se obtiene (3) para un líquido homogéneo. 𝑝 1 − 𝑝 2 =−𝜌𝑔( 𝑦 2 − 𝑦 1 )

Si un líquido tiene una superficie libre, ésta es el nivel natural desde el cual se miden las distancias (fig. 7). Sea y2 la elevación de la superficie, en cuyo punto la presión p2 que actúa sobre el fluido es usualmente la ejercida por la atmósfera de la tierra p0. Se considera que y1 está en cualquier nivel del fluido, y se representa a la presión de ese lugar como p. Entonces, 𝑝 0 −𝑝=−𝜌𝑔( 𝑦 2 − 𝑦 1 ) (3)

po y2 p Nivel de referencia SLA h = y2 - y1 y1 p po SLA Figura 7. El nivel natural desde el cual se miden las distancias para calcular las presiones manométricas es la superficie libre del agua

Pero y2-y1, es la profundidad h bajo la superficie en la cual la presión es p (fig. 7), de modo que 𝑝= 𝑝 0 +𝜌𝑔ℎ (4)

Esto demuestra claramente que en un líquido la presión aumenta con la profundidad, pero es la misma en todos los puntos situados a la misma profundidad. El segundo término a la derecha de la ecuación (4) da la contribución en un punto del líquido debida al peso del fluido de altura h sobre ese punto.

Dispositivos para medición de presiones hidrostáticas Se han utilizado varios dispositivos para la medición de las presiones producidas por un líquido en reposo en base en la ecuación (4).

Manómetros simples Dentro de estos se encuentran el barómetro el tubo piezométrico.

Barómetro Este es un dispositivo para medir la presión atmosférica local Figura 8. Barómetro

La presión atmosférica, ejercida sobre la superficie del mercurio en el recipiente, la fuerza a elevarse dentro del tubo hasta alcanzar la columna una altura h que equilibra la presión atmosférica, expresándose de la siguiente manera (5) 𝑝 𝑎 = 𝛾 𝐻𝑔 ℎ

Tubo piezométrico El tubo piezométrico (fig. 9) se utiliza para medir presiones estáticas moderadas de un líquido que fluye dentro de una tubería.

Figura 9. Tubo piezométrico

Manómetros diferenciales El manómetro diferencial abierto consiste en un tubo transparente en forma de U, parcialmente lleno de un líquido pesado (comúnmente mercurio). Uno de sus extremos conecta de manera perpendicular a la pared que confina el flujo del recipiente que lo contiene. El otro extremo puede estar abierto a la atmósfera o bien conectado con otro punto de la pared, en cuyo caso el manómetro mide la diferencia de presiones entre los dos puntos. La diferencia de niveles de la columna del líquido en el manómetro diferencial indica la diferencia de las cargas de presión ejercidas sobre los extremos de la columna.

Figura 10. Manómetro diferencial abierto

Siendo pA la presión manométrica en el punto A del recipiente, la presión en la sección de contacto B de los líquidos es: además 𝑝 𝐵 = 𝑝 𝐴 +𝛾 𝑧 1 (6) (7) 𝑝 𝐵 = 𝛾 2 𝑧 2

igualando las dos expresiones anteriores entonces (8) 𝑝 𝐴 +𝛾 𝑧 1 = 𝛾 2 𝑧 2 𝑝 𝐴 = 𝛾 2 𝑧 2 −𝛾 𝑧 1

Manómetros cerrados Los manómetros cerrados son aparatos comerciales provistos de un sistema mecánico de aguja y carátula graduada donde se leen directamente las presiones. Figura 11. manómetros comerciales

EJERCICIOS

Despreciando la presión sobre la superficie y la compresibilidad del agua. ¿Cuál es la presión en KPa a 4Km por debajo de la superficie del océano? El peso específico del agua del océano bajo condiciones normales es 10.05 kN/m3.

La lectura de un medidor de presión es 63 kN/m2, estando situado a una profundidad de 4m en el lado de un depósito industrial que contiene un líquido. La lectura en otro medidor de presión a una profundidad de 7.5m es 90.2 kN/m2. Calcule el peso específico y densidad del líquido

Si la presión atmosférica es 860 mbar y un medidor conectado a un depósito señala una lectura de 370 mm Hg de vacío. ¿Cuál es la presión absoluta dentro del depósito?

Se mide la diferencia de presión entre un tubo de aceite y uno de agua con un manómetro de doble fluido, como se muestra en la figura. Para las alturas y las densidades relativas dadas de los fluidos calcule la diferencia de presión pB-pA en kPa, en m de agua y en m de mercurio.

Figura 12. Manómetro diferencial de mercurio

Dos recipientes están conectados a un manómetro diferencial de mercurio (s = 13.56), estando el tubo de conexión lleno de agua, el recipiente de mayor presión tiene una elevación 1.5m menor que el otro. La temperatura es la temperatura ambiente. Si la lectura de mercurio es 100 mm a) ¿Cuál es la diferencia de presión en m de agua y en kPa? B) Si se utilizase tetracloruro de carbono (DR = 1.59) en lugar de mercurio, ¿cuál sería la lectura del manómetro para la misma diferencia de presión?

Principio de Pascal "La presión aplicada a un fluido confinado se transmite íntegramente a todas las partes del fluido y a las paredes que lo contienen“ Es decir si se aumenta en un lugar la presión sobre un fluido en una cantidad p, cualquier otra parte del fluido experimenta el mismo aumento de presión.

El principio de Pascal es la base de la operación de todos los mecanismos transmisores de fuerza hidráulica, tales como los que podrían encontrarse en la maquinaria para movimiento de tierras o en el sistema de frenos de un automóvil. Ello permite amplificar una fuerza aplicada relativamente pequeña para elevar un peso mucho más grande (como en la plataforma de elevación de automóviles o en la silla del dentista) y para transmitir fuerzas a grandes distancias de los alerones que se usan en los aeroplanos).

Figura 13. Mecanismos que hacen uso del Principio de Pascal

F h pext p P Figura 14. Depósito que confina un líquido y al que se le aplica una fuerza externa

Suponiendo que la presión externa aumenta en una cantidad ∆p, quizá por haber añadido algo de más peso sobre el émbolo. Como se está trabajando con un líquido incompresible su densidad r permanece constante. El cambio en la presión del fluido que se deduce de la ecuación (9): (9)

(10) puesto que el líquido es incompresible, la densidad es constante, y el segundo término a la derecha de la ecuación (10) es igual a cero. En este caso se obtiene: (11)

El cambio de presión en cualquier punto del fluido es sencillamente igual al cambio de la presión externa aplicada. Este resultado confirma el principio de Pascal y demuestra que se deduce directamente de la consideración previa de la presión estática en un fluido. El principio de Pascal se cumple en todos los casos de fluidos reales (compresibles), ya sean gases o líquidos.

Empuje Hidrostático; sobre superficies planas En la figura 9, LM representa una superficie plana sumergida que al prolongarse corta a la superficie libre en O bajo un ángulo . Considerando O como origen y OM como el eje de las y, la fuerza de la presión dP sobre un área elemental dA es:

M M Figura 15. Empuje hidrostático sobre una superficie plana

La fuerza total de la presión o empuje que obra sobre el área LM, es entonces: Si y es la distancia del centro de gravedad de la superficie a O,

y y con (12) 𝑃=𝛾 ℎ𝐴

Centro de presión Es el punto de la superficie sumergida en que actúa la resultante de la presión. Como la intensidad de la presión aumenta con la profundidad, el centro de presión se encuentra debajo del centro de gravedad. La distancia yP, desde O a la proyección sobre OM del centro de presión, paralelamente a la superficie libre, se halla partiendo de la suma de los momentos de las fuerzas elementales, respecto a dicho eje, como sigue:

(13) La cual, por lo anterior, puede escribirse de la forma (14)

El numerador de la fracción anterior es el momento de inercia de la superficie LM respecto al eje perpendicular al plano del dibujo que pasa por O. Este momento de inercia es igual a Ak2+Ay2, siendo k el radio de giro de la superficie. El denominador es igual a Ay. Sustituyendo estos valores en la ecuación (14) y reduciendo, (15) 𝑦 𝑝 = 𝑦 + 𝑘 2 𝑦

Figura 16. Centros de gravedad, área y radios de giro de las figuras más usuales Fuente: Hidráulica general. Sotelo

Figura 17. Empuje hidrostático sobre superficies planas: vertical y horizontal

Figura 18. Empuje hidrostático absoluta sobre superficie plana vertical; en el inciso b solo se calcula la presión hidrostática

Figura 18. Empuje hidrostático absoluta sobre superficie plana inclinada

Figura 19. Cuña o prisma de presiones

Ejercicios Calcule la fuerza que actúa en una tronera de 30cm de diámetro de un barco si el centro de aquélla se encuentra 10m por debajo del nivel del agua.

4m 45° 60° 4m Una piscina se llena con 2m de agua. Su fondo es cuadrado y mide 4m por lado. Dos lados opuestos son verticales; un extremo está a 45° y el otro forma un ángulo de 60° con la horizontal. Calcule la fuerza del agua en: El fondo, el extremo a 45°, un lado vertical y el extremo a 60°.

La parte superior de las compuertas mostradas en la figura queda a 4m por debajo de la superficie del agua. Halle la ubicación y magnitud de la fuerza que actúa en una cara suponiendo una orientación vertical.

La compuerta rectangular mostrada en la figura es de 3m de ancho La compuerta rectangular mostrada en la figura es de 3m de ancho. Calcular la fuerza P necesaria para mantenerla en la posición mostrada

Un automóvil pesado se sumergió en un lago por accidente y quedó sobre sus ruedas. La puerta mide 1.2m de altura y 1m de ancho, y el borde superior de la misma está 8m por debajo de la superficie libre de agua. Determine la fuerza hidrostática sobre la puerta y la ubicación del centro de presión, y determine si el conductor puede abrir la puerta, si se considera que una persona puede levantar 100kg (alrededor de 1kN de peso)

Bibliografía Sotelo, G. “HIDRÁULICA I “. Ed. Limusa. México. 1996. Resnic. “FÍSICA, Vol. 1”. 5a edición. CECSA. México. 2005. Potter, M et all. “MECÁNICA DE FLUIDOS”. Thomson. México. 2001. Cengel, Y et all. “MECÁNICA DE FLUIDOS”. Mc. Graw Hill. México. 2006. Mott, R. “MECÁNICA DE FLUIDOS APLICADA”. Prentice Hall. México. 1996. Levi, E. “EL AGUA SEGÚN LA CIENCIA”. CONACYT, Ediciones Castell Mexicana, S.A. México. 1989. Franzini, J. “MECÁNICA DE FLUIDOS: con aplicaciones en Ingeniería”. Mc. Graw Hill.1999.