@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 U.D. 5 * 3º ESO E.Ap. Polinomios.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 U.D. 5 * 3º ESO E.Ap. Polinomios

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO2 U.D. 5.7 * 3º ESO E.Ap. REGLA DE RUFFINI

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO3 REGLA DE RUFFINI Cuando se trate de dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x - a), siendo a un número, la división de puede realizar de esta forma: 1. ‑ Se reduce el dividendo. 2. ‑ Se ordena el dividendo forma decreciente. 3. ‑ Si el dividendo es incompleto, poner ceros. 4. ‑ Se colocan en fila los coeficientes del dividendo, incluídos los ceros. 5.-Se coloca a la izquierda el valor del número a. 6.-Se aplicar el algoritmo correspondiente de Ruffini. 7. ‑ Los números obtenidos son los coeficientes del cociente, salvo el último que es el resto de la división. 8.-Se puede comprobar el resultado, pues siempre se cumplirá: D(x) = d(x).c(x) + r(x). División y ceros de polinomios

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO4 Ejemplo_1 de división por Ruffini Sea ( x 3 + 4.x 2 - 5 ) : ( x - 3 ), donde a = 3 1 4 0 - 5 + 3 3 21 63 1 7 21 58 C(x) = 1.x 2 + 7.x + 21 R(x) = 58 Podemos comprobar la división: (x 3 + 4.x 2 - 5) = (x - 3).(x 2 + 7.x + 21) + 58

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO5 Ejemplo_2 de división por Ruffini Sea ( x 3 + 4.x 2 - 5 ) : ( x + 5 ), donde a = - 5 1 4 0 - 5 + - 5 - 5 5 - 25 1 - 1 5 - 30 C(x) = 1.x 2 - 1.x + 5 R(x) = - 30 Podemos comprobar la división: (x 3 + 4.x 2 - 5) = (x + 5 ).(x 2 - x + 5) + (- 30)

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO6 Ejemplo_3 de división por Ruffini Sea ( 4.x 3 + 5.x - 3 ) : ( x + 2 ), donde a = - 2 4 0 5 - 3 + - 2 - 8 16 - 42 4 - 8 21 - 45 C(x) = 4.x 2 - 8.x + 21 R(x) = - 45 Podemos comprobar la división: ( 4.x 3 + 5.x - 3 ) = ( x + 2 ).(4.x 2 - 8.x + 21) + (- 45)

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO7 Método escalonado de Ruffini 1 - 3 3 - 1 + 1 1 - 2 1 1 - 2 1 0 1 1 - 1 1 - 1 0 1 1 1 0 Sea P(x) = x 3 - 3 x 2 + 3.x - 1 Hallar los ceros o raíces. PRE = {1, -1}, P(1) = 0 El 1 es un cero o raíz. ¿Y los otros dos?. Utilizamos el método escalonado de Ruffini. P(x) = x 3 - 3 x 2 + 3.x - 1 P(x) = (x – 1). ( x 2 – 2.x + 1) P(x) = (x – 1).(x – 1).(x – 1) P(x) = (x – 1) 3 La raíz es triple.

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO8 Método escalonado de Ruffini 1 3 0 - 4 + 1 1 4 4 1 4 4 0 - 2 - 2 - 4 1 2 0 - 2 - 2 1 0 Sea P(x) = x 3 + 3. x 2 - 4 Hallar los ceros o raíces. PRE = {1, -1, 2, -2, 4, -4}, P(1) = 0 El 1 es un cero. ¿Y los otros dos?. Utilizamos el método escalonado de Ruffini. P(x) = x 3 + 3. x 2 - 4 P(x) = (x – 1). ( x 2 + 4.x + 4) P(x) = (x – 1).(x + 2).(x + 2) x = – 2 es una raíz doble.

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO9 Método escalonado de Ruffini 1 3 0 - 4 + 1 1 4 4 1 4 4 0 - 2 - 2 - 4 1 2 0 - 2 - 2 1 0 Sea P(x) = x 4 + 3. x 3 - 4.x Hallar los ceros o raíces. Al no tener término independiente extraigo x como factor común: P(x) = x.(x 3 + 3. x 2 - 4) x=0 es un cero o raíz de P(x) El polinomio entre paréntesis es el mismo que en el ejercicio anterior. Luego tengo: P(x) = x.(x 3 + 3. x 2 - 4) P(x) = x.(x – 1). ( x 2 + 4.x + 4) P(x) = x.(x – 1).(x + 2).(x + 2) Es lo mismo x que (x – 0)

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO10 Sea P(x) = x 4 – 3.x 3 – 7.x 2 + 27.x – 18 Halla las raíces y factoralizalo. PRE={1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 9, -9, 18, -18} P(1) = 1 – 3 – 7 + 27 – 18 = 0 P(– 1) = – 48 <> 0  x = - 1 no es raíz. P(2) = 16 – 24 – 28 + 54 – 18 = 0  x = 2 es otra raíz. Dividimos P(x) entre (x – 1) y (x – 2) por la Regla de Ruffini: 1 - 3 - 7 27 -18 1 1 - 2 - 9 18 -------------------------------------------- 1 - 2 - 9 18 0 2 2 0 -18 -------------------------------------- 1 0 - 9 0  C(x) = x 2 – 9  C(x) = (x + 3).(x – 3) Quedaría: P(x) = (x – 1).(x – 2).(x + 3).(x – 3) Método escalonado de Ruffini