@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 U.D. 4 * 3º ESO E.AC. Polinomios.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 U.D. 4 * 3º ESO E.AC. Polinomios

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO2 U.D. 4.9 * 3º ESO E.AC. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO3 FRACCIONES ALGEBRAICAS FRACCIÓN ALGEBRAICA Es el cociente de dos polinomios. P(x) / Q(x) Para operar con fracciones se siguen las leyes aritméticas, con la diferencia ahora que el mcm de los denominadores es el mcm de polinomios, no de números reales. FRACCIONES EQUIVALENTES Dos fracciones, P(x) / Q(x) y M(x) / N(x) son equivalentes si: P(x) M(x) ----- = ------, lo que implica que P(x).N(x) = Q(x).M(x) Q(x) N(x) Ejemplo x 2 – 1 x – 1 ---------------- y -------- x 2 – 2.x + 3 x – 2

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO4 Para que una fracción racional P(x) / Q(x) se pueda simplificar debe haber, al menos un factor común entre P(x) y Q(x). Ejemplo 1 x 3 – 8 (x - 2).(x 2 + 2.x + 4) x 2 + 2.x + 4 --------  Factorizando  ---------------------------- = ------------------- x 2 – 4 (x + 2).(x – 2) x + 2 Si un polinomio está dividido por un monomio, dicho monomio divide a todos y cada uno de los monomios del polinomio. NO SE PUEDE SIMPLIFICAR UN MONOMIO DEL POLINOMIO CON EL MONOMIO DIVISOR x 3 + x 2 + 2.x + 4 ------------------------ = x 3 + 2.x + 4 MUY MAL OPERADO x 2 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO5 EJEMPLO_2 Sea P(x) (x – 2).(x – 3).(x + 3) 2 ------ = -------------------------------- Q(x) (x + 2).(x + 3).(x – 3) 3 Eliminamos de la expresión los factores comunes, quedando: P(x) (x – 2).(x + 3) ------ = ---------------------- Q(x) (x + 2).(x – 3) 2 EJEMPLO_3 Sea P(x) x 5 + x 4 – 8.x 3 – 5.x 2 + 25.x – 14 ------ = -------------------------------------------, que factorizamos: Q(x) x 3 – 4.x 2 + 5.x – 2 P(x) (x – 1) 2.(x – 2 ).(x 2 + 5.x + 7) ------ = ---------------------------------------- = x 2 + 5.x + 7 Q(x) (x – 1) 2.(x – 2 )

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO6 Común denominador Para multiplicar o dividir fracciones NO se precisa realizar el m.c.m. o común denominador de los denominadores. Para sumar o restar fracciones es obligatorio realizar el m.c.m. o común denominador de los denominadores. Para sumar o restar fracciones el común denominador de los denominadores puede ser el producto de los mismos (no el m.c.m.). Pero no es nada recomendable. Para sumar o restar fracciones el común denominador debe ser el m.c.m. de los denominadores. Ejemplo x – 2 x + 4 (x + 2).(x – 2) + (x – 3).(x + 4) ----------- + ------------------- = ----------------------------------------- = ……… (x – 3) 2 (x – 3).(x+2) (x – 3) 2.(x+2)

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO7 Mínimo común múltiplo: MCM MINIMO COMUN MULTIPLO de dos o más polinomios, es el menor de los polinomios múltiplos comunes. Se forma tomando los factores comunes y no comunes a todos los polinomios con el mayor exponente que presenten. Ejemplo_1 Hallar el MCM de los polinomios: P(x) = (x – 3) 2.(x + 2) 3 Q(x) = (x – 3) 3.(x + 2). (x + 1) MCM = (x – 3) 3.(x + 2) 3.(x + 1)

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO8 Ejemplo_2 Hallar el MCM de los polinomios: P(x) = (x – 3) 2.(x + 2) Q(x) = (x + 3) 3.(x – 2). (x + 1) MCM = (x – 3) 2.(x + 2). (x + 3) 3.(x – 2). (x + 1) Ejemplo_3 Hallar el MCM de los polinomios: P(x) = (x – 3) 5 Q(x) = (x – 3). (x + 1) MCD = (x – 3) 5 (x + 1)

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO9 Ejemplo_1 x 4 - x x + 4 - x 4 ------- + -------------- = --------------- = ---------- x – 3 x – 3 x – 3 x – 3 Ejemplo_2 1 x + 2 1 x + 2 ------- + ------------------ = ----------- + ------------------- = x – 3 x 2 – 9 (x – 3) (x + 3).(x – 3) x + 3 x + 2 2.x + 5 2.x + 5 ------------------- + ------------------ = -------------------- = --------------- (x – 3).(x + 3) (x – 3).(x + 3) (x + 3).(x – 3) x 2 – 9 Operaciones con fracciones

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO10 Ejemplo_3 x 7.x - 9 x 7.x - 9 ------- -- ------------------ = ----------- -- -------------------- = x – 3 x 2 – 2x – 3 x – 3 (x – 3).(x + 1) M.c.m. =(x – 3).(x + 1) x. (x+1) - (7.x – 9 ) x 2 + x – 7.x + 9 x 2 - 6.x + 9 = ---------------------------- = ------------------------ = ------------------- = (x – 3).(x + 1) (x – 3).(x + 1) (x – 3).(x + 1) Se factoriza el numerador siempre que sea posible: (x – 3).( x – 3) x – 3 = --------------------- = ----------, que es la solución simplificada. (x – 3).(x + 1) x + 1

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO11 Ejemplo_4 x x 2 – 9 x.(x 2 – 9) x.(x + 3).(x – 3) x.(x + 3) -------. ----------- = ------------------ = --------------------- = --------------- x – 3 x + 1 (x – 3).(x +1) (x – 3).(x +1) x + 1 Ejemplo_5 x 2 – 4 x 2 – 9 (x + 2).(x – 2).(x + 3).(x – 3) ---------. ----------- = --------------------------------------- = (x – 2).(x – 3) x + 3 x + 2 (x + 3).(x +2) Ejemplo_6 x – 4 9 – y 2 (x – 4).(3 + y).(3 – y) 3 – y --------. ------------ = ------------------------------ = ---------- y + 3 x 2 – 16 (y + 3).(x + 4).(x – 4) x + 4

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO12 Ejemplo_7 x – 1 x + 3 (x – 1).(x + 1) x 2 – 1 ------- : ----------- = ------------------ = ---------- x – 3 x + 1 (x – 3).(x + 3) x 2 – 9 Ejemplo_8 x 2 – 4 x – 2 (x + 2).(x – 2).(x + 3).(x – 3) --------- : ----------- = --------------------------------------- = (x + 2).(x + 3) x – 3 x 2 – 9 (x – 3).(x – 2) Ejemplo_9 x – y x 2 – y 2 (x – y).(x + y) 1 ---------- : ----------- = ------------------------------------ = ------------------ y 2 – x 2 x + y (y + x).(y – x).(x + y).(x – y) (y + x).(y – x)