Jocs d’atzar Angel Corberán i Francisco Montes Departament d’Estadística i I. O. Universitat de València.

Presentación del tema: "Jocs d’atzar Angel Corberán i Francisco Montes Departament d’Estadística i I. O. Universitat de València."— Transcripción de la presentación:

1

2 Jocs d’atzar Angel Corberán i Francisco Montes Departament d’Estadística i I. O. Universitat de València

3 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents2 Probabilitat i jocs d’atzar (1) La Probabilitat li ho deu tot als jocs d’atzar, pot ser l’afirmació us semble una mica exagerada, però així és. Si el Cavaller de Meré no li hagués posat a Pascal aquells dos famosos problemes, tot seguit en parlem, i aquest no li hagués fes partícip a Fermat de l’assumpte...

4 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents3 Probabilitat i jocs d’atzar (2) Parlarem doncs de jocs d’atzar, d’alguns d’ells és clar. En farem una mica d’història, obtindrem les probabilitats associades i, si cal, alguna anècdota.

5 Els origens. El cavaller de Méré

6 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents5 Els origens. El Cavaller de Méré (1) L’any 1654 Antoine Gombauld, cavaller de Méré, va proposar a Pascal dos famosos problemes. Varen donar lloc a una fructífera correspondència entre Pascal i Fermat que és per a molts autors l’origen del Càlcul de Probabilitats modern.

7 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents6 Els origens. El Cavaller de Méré (2) “Un problema relatiu als jocs d’atzar, proposat a un auster janseniste per un home de món, ha estat l’origen del Càcul de Probabilitats.” (Poisson, Recherches sur la Probabilité, 1837)

8 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents7 Blaise Pascal 1623-1662 Pierre Fermat 1601-1665 Els origens. El Cavaller de Méré (3) Heus aquí als personatges:

9 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents8 Els origens. El Cavaller de Méré (3) I heus aquí el lloc:

10 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents9 Pierre Remond de Montmort, al seu assaig sobre les jocs d’atzar conta l'història i recull part de la correspondència entre Pascal i Fermat. Els origens. El Cavaller de Méré (4)

11 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents10 “En 1654 van proposar al Sr. Pascal aquests dos problemes. 1er. A dos jugadors els falten un cert nombre de punts es volen conèixer les seus sorts. 2on. Es vols conèixer en quants llançaments de dos daus es pot aconseguir avantatge d’obtenir sonnés”: Els origens. El Cavaller de Méré (5)

12 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents11 Anem a pams. Parlem primer del segon problema, de la seua solució i dels comentaris que Pascal i Fermat en creuaren. Aquest problema es també conegut en la literatura com la Paradoxa del cavaller de Méré. Veureu per què. Els origens. El Cavaller de Méré (6)

13 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents12 Del que es tractava era de trobar el número mínim de llançament de dos daus per tal que la probabilitat d’obtenir al menys un doble 6 (sonnés) siga més gran (avantatge) que la de no obtenir-ne cap. Es a dir, que siga superior a 0.5 solució La paradoxa del cavaller de Méré (1)

14 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents13 La solució no li va agradar al cavaller de Méré. Llegiu el que conta Montmort al respecte. La paradoxa del cavaller de Méré (2)

15 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents14 I no li va agradar perquè el bon cavaller pensava que la probabilitat devia seguir les regles de l’Aritmètica.regles Pascal li ho explica a Fermat en aquesta carta. La paradoxa del cavaller de Méré (3) Carta de Pascal a Fermat el 29 de juliol de 1654

16 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents15 El comentari final de Pascal és... “... és un bon esperit, però no és Geòmetra; la qual cosa és, com sabeu, un gran defecte.” La paradoxa del cavaller de Méré (4) Carta de Pascal a Fermat el 29 de juliol de 1654

17 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents16 El problema dels punts (1) El 1er problema que de Mèrè proposa a Pascal està lligat, al seu torn, a un altre: com repartir- se l’aposta quan el joc s’atura sense que cap dels jugadors haja assolit el nombre de punt necessaris per a guanyar. Proposa Pascal que la manera justa de repartir- se l’aposta és fer-ho proporcionalment a la probabilitat que cada jugador té de guanyar el joc si aquest es reprengués.

18 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents17 El problema dels punts (2) Podem enunciar el problema de la següent manera: Dos jugadors A i B juguen a un joc consistent en un número indeterminat de partides. La probabilitat de guanyar en cada partida es p per a A i 1-p per a B. Aquell dels dos que abans arriba a vencer en r partides guanya el joc i l’aposta que feren. Si el joc es interromput abans de finalitzar, com hauria de repartir-se l’aposta?

19 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents18 El problema dels punts (3) Vejam la solució i una taula de com repartir-se l’aposta en funció de p i r i els punts que li falten a cada jugador en interrompre’s el joc.solució

20 El joc del Tretze

21 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents20 El joc del Trezte (1)

22 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents21 El joc del Trezte (2) En essència el joc consisteix en que el jugador que per sorteig té la mà alça 13 cartes a l’atzar d’un baralla, una rere l’altra. Si en cap ocasió carta i ordre coincideixen paga a la resta de jugadors el que cadascun haja apostat i passa la mà al de la seua dreta. En cas contrari, guanya les apostes dels altres i comença de nou el compte d’1 a 13.

23 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents22 El joc del Trezte (3) Al seu assaig sobre el jocs d’atzar, Montmort estudia el joc del Trezte i planteja i resol diferents problemes, que no són més que variants del jocs. Aquest joc ha donat lloc al que en la literatura actual anomemen problema de les coincidències i que té múltiples versions.

24 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents23 El joc del Trezte (4) Neutra.- Probabilitat de que al permutar aleatòriament els n primers números cap d’ells coincideisca amb el seu ordre natural. Laboral.- Una secretaria introdueix a l’atzar n cartes adreçades a n clients en n sobres que tenen escrites les adreçes, probabilitat de que cap d’elles arribe al seu destinatari. Lúdica.- En eixir d’una festa n convidats agafen els seus n barrets a l’atzar, probabilitat de que cap d’ells haja agafat el seu barret.

25 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents24 El problema de les coincidències (1) Vegem les solucions i algunes curiositats relacionades amb el problema: la que va proposar el propi Montmortproposar a partir del principi d’inclusió-exclusióprincipi emprant probabilitats condicionadescondicionades

26 La Primitiva

27 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents26 La Primitiva (1) En què consisteix el joc? En endevinar total o parcialment els número de la combinació guanyadora, consistent en 6 números trets a l’atzar sense reemplaçament d’entre el 49 primers enters. Hi ha una també extracció d’un número complementari d’entre els 43 que no formen part de la combinació guanyadora.

28 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents27 La Primitiva (2) Els premis: CategoriaNúmeros encertats 1ª6 2ª5 + C 3ª5 4ª4 3ª3

29 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents28 La Primitiva (3) Com de difícil és encertar alguns dels premis? Prou més del que ens agradaria com veure’m tot seguit. Vegem-hoVegem-ho.

30 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents29 La Primitiva (4) No cal dir que per a la resta de jocs de la família, Bonoloto i Gordo de La Primitiva, les probabilitats són les mateixes. Tots tres jocs són un pou sense fons a l’hora de proveir material d’estudi i exemples.

31 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents30 La Primitiva (5) La gent juga perquè els premis son sucosos i perquè confia en el que el LAE diu: “el sorteig és a l’atzar” Pot ser el primer que caldria fer es comprovar-ho. Hi moltes maneres de fer-ho. Vegem-ne algunes.

32 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents31 La Primitiva (6) La primera i més obvia és veure si els números apareixen com cal. Es a dir, si les extraccions són de debò aleatòries. Quantes vegades han apareguts el 49 números en la combinació guanyadora al llarg del temps? Comprovem si les freqüències són les que caldria esperar.

33 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents32 La Primitiva (7) Si parlem de “... les freqüències que caldria esperar” és perquè sabem la probabilitat de que qualsevol del 49 números aparega en qualsevol de les 6 extraccions de cada sorteig. Tenim clar que aquesta probabilitat es 1/49? A partir d’aquí caldrà fer una mica d’Estadística amb les dades que segueixen.

34 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents33 Freqüències dels 49 números en els 5088 sorteigs de La Primitiva, Bonoloto i Gordo (des de 17/10/1985 fins a 08/6/2003)

35 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents34 Sorteigs de La Primitiva, Bonoloto i Gordo (des de 17/10/1985 fins a 08/6/2003) 5088 sorteigs

36 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents35 La Primitiva (10) Una segona podiem dir-li “La comprovació del desconfiat” És la d’aquell que juga sempre el mateixos 6 números i un bon dia se’n adona que fa un bon grapat de setmanes que algun d’ells no ha eixit. D’aquí a la desconfiança del “... ja savia jo que això de que tots el números eixen per igual...” no hi ha res. VegemVegem fins a quin punt en té motius.

37 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents36 La Primitiva (11) Sumas Podríem també emprar la suma del números de la combinació guanyadora per a comprovar que el joc és “correcte”.

38 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents37 La Primitiva (12) Sumas

39 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents38 La Primitiva (13) Sumas

40 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents39 La Primitiva (14) Sumas

41 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents40 La Primitiva (15) Però el joc dona també per a moltes curiositats, particularment aquells relacionades amb com juga la gent. Trien els jugadors les seues apostes a l’atzar o ho fan deixant-se dur per Deu sap què?

42 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents41 Una estadística sobre els encertants de totes les categories en els 5088 sorteigs La Primitiva (16)

43 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents42 … i dels encerts dels 6 números La Primitiva (17)

44 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents43 I si la gent és capritxosa i una mica maniàtica a l’hora de jugar? Com són les combinacions amb molts encertants? Heus aquí algunes d’elles. La Primitiva (18)

45 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents44 Freqüència dels 49 números en les combinacions encertades La Primitiva (19)

46 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents45 … i en les que no hi ha cap encertant La Primitiva (20)

47 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents46 Els més jugatsEls menys jugats La Primitiva (21)

48 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents47 I les dates de naixement? La Primitiva (22)

49 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents48 Quant deuria costar una aposta de La Primitiva? El que s’asigna per a premis és aproximadament el 61% de la recaudació La Primitiva (23)

50 Jocs de guerra No cal exgerar, digam-li Sorteigs per a la guerra

51 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents50 Excedentes de cupo del 98 en España (1) A finales de 1997 se celebró un sorteo para elegir a los llamados excedentes de cupo del reemplazo del 98. El sorteo no fue equiprobable y los mozos no gozaron de la garantía de igualdad de oportunidades exigible.

52 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents51 Excedentes de cupo del 98 en España (2) El sorteo Los mozos implicados eran 165.342 y 16.442 habían de ser declarados excedentes de cupo. Se trataba de extraer un número entre el 1 (0) y el 165.342 (165.341) y designar excedentes a su poseedor y a los 16.441 siguientes (lista circular). El sorteo se efectuó con 6 bombos que contenían bolas numeradas tal como se indica: B 1 ={0,1}, B k ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, k=2,…,6

53 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents52 Excedentes de cupo del 98 en España (3) Mecánica del sorteo

54 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents53 Excedentes de cupo del 98 en España (4) Probabilidades de extracción La tabla anterior sugiere establecer la partición siguiente, constituida por subconjuntos en los que sí hay equiprobabilidad

55 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents54 Excedentes de cupo del 98 en España (5) Probabilidades de extracción

56 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents55 Excedentes de cupo del 98 en España (6) Probabilidades de extracción

57 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents56 Excedentes de cupo del 98 en España (7) Probabilidad de formar parte del excedente de cupo Un mozo cualquiera n será declarado excedente de cupo si y solo si el número extraído pertenece al conjunto J n ={n-16.441, n}, con el extremo inferior igual a 165.341-|n-16.441| si n-16.441<0, dado el carácter circular de la lista. Si mediante J n designamos también el suceso, el número extraído pertenece al conjunto J n, entonces P(n excedente)=P(J n )

58 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents57 Excedentes de cupo del 98 en España (8) Probabilidad de formar parte del excedente de cupo

59 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents58 Excedentes de cupo del 98 en España (9) Probabilidad de formar parte del excedente de cupo

60 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents59 Excedentes de cupo del 98 en España (10) Conclusiones Las probabilidades obtenidas confirman lo que decíamos al principio y el diseño del sorteo hacía sospechar. Posibles alternativas hubieran podido ser: -Declarar excedentes a los 16.442 primeros, puesto que la asignación de números había sido aleatoria -Efectuar extracciones de los bombos sin restricción alguna hasta conseguir un número inferior al 165.342 (la probabilidad de repetir la extracción es 0.17)

61 I per acabar... La versió moderna del jugador professional

62 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents61

63 Novembre 2003Matemàtiques Omnipresents62