Principio aditivo o de adición o regla de suma

Presentación del tema: "Principio aditivo o de adición o regla de suma"— Transcripción de la presentación:

1 Principio aditivo o de adición o regla de suma
Técnicas de Conteo Principio aditivo o de adición o regla de suma Si una tarea tiene diferentes alternativas / formas de realizarse o de ocurrir y estas son mutuamente exclusivas (cuando selecciona una alternati- va, haciendo que las otras queden descartadas, esto es, una a la vez), y cada una de las formas, tiene diversos pasos a efectuar, entonces, la suma de las diferentes maneras de cómo se realiza esta tarea, será el total de maneras en que puede ocurrir la misma Diagramas de Venn Si A y B son conjuntos finitos, entonces: Sean A, B y C conjuntos finitos, entonces Ejemplo: Una compañía necesita 25 programadores para tareas de programación de sistemas, y a para programación de aplicación. De estos empleados se espera que 10 realicen las 2 tareas. Cuántos programadores deberá contratar? A B A B B A C

2 Principio aditivo o de adición o regla de suma
Técnicas de Conteo Principio aditivo o de adición o regla de suma Si una tarea tiene diferentes alternativas / formas de realizarse o de ocurrir y estas son mutuamente exclusivas (cuando selecciona una alternati- va, haciendo que las otras queden descartadas, esto es, una a la vez), y cada una de las formas, tiene diversos pasos a efectuar, entonces, la suma de las diferentes maneras de cómo se realiza esta tarea, será el total de maneras en que puede ocurrir la misma Diagramas de Venn Si A y B son conjuntos finitos, entonces: Sean A, B y C conjuntos finitos, entonces Ejemplo: Una compañía necesita 25 programadores para tareas de programación de sistemas, y a para programación de aplicación. De estos empleados se espera que 10 realicen las 2 tareas. Cuántos programadores deberá contratar? A B A B B A C

3 Técnicas de Conteo Permutaciones: Suponga que S es un conjunto y que el valor absoluto de S es |S| y que es igual a n, en donde n es el tamaño de |S| y es un entero positivo. A un arreglo determinado de los elementos de S en una sucesión de longitud n generalmente se le llama permutación. Ejemplo 1: Sea S = {a,b,c}. Entonces las posibles permutaciones de S son las sucesiones: abc, acb, bca, cab y cba. Ejemplo 2: Sea S = {1,2,3,4} algunas permutaciones de S tomadas de 3 en 3 son: 123,124,234,2,1,3,341,431,432,.. Si se toman de 2 en 2, algunas serán: 12,13,14,15, etc. Entonces: permutación es todo arreglo de objetos o de elementos distintos de un conjunto, en donde es importante la posición que ocupa cada elemento. De manera que todas las permutaciones posibles de cualquier número n de cosas u objetos tomados r cada vez, cuando n > r están dadas por: En donde, P(n,r) = nPr es el número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez. n! = factorial de n (n-r)! = factorial de la diferencia entre n y r

4 Técnicas de Conteo Permutaciones con repetición: -- Cuando un maestro selecciona 9 alumnos de un grupo de 20 para una tarea determinada, esto puede expresarse matemáticamente como: “ hacer una combinación de 20 cosas tomando nueve cada vez”. -- Cuando el maestro asigna un número a cada uno de los nueve alumnos seleccionados, del 1 al 9 y los sitúa en el orden numérico se puede decir que “hace una permutación de las mismas 20 cosas de las que ha tomado 9 cada vez”. - Las combinaciones, por lo tanto, son agrupaciones sin orden específico. - Las permutaciones son la disposición de las mismas en orden consecutivo determinado. - por lo general hay mas posibles permutaciones que posibles combinaciones Ejemplo 1: Suponga que se tiene 3 objetos, por ejemplo 3 cuadros: A, B y C. La única posible agrupación de los 3 que se pueden hacer de una vez, sin tener en cuanta el orden de colocación es la combinación A y B y C. pero se puede disponer esta combinación, por ej: colgando los cuadros en las paredes adyacentes en cualquier orden de sucesión de las permutaciones posibles de 3 cosas, tomadas todas las 3 a la vez ABC, BAC, CAB ACB, BCA, CBA. Más aun, se pueden agrupar estos mismos objetos, tomando 2 cada vez, sin tener en cuenta el orden de colocación, en cualquiera de estas combinaciones A y C, B y C, C y A En cambio, se tiene estas permutaciones: AB, BA, CA AC, BC, CB

5 Técnicas de Conteo Permutaciones y combinaciones: Sea S = {a,b,c}. Entonces las posibles permutaciones de S son las sucesiones: abc, acb, bca, bac, cab y cba. De manera que todos estos arre-- glos son diferentes. Existe un procedimiento para obtener permutaciones de n objeto,cuando entre esos objetos hay algunos que son iguales, p.ej: Obtenga todas las permutaciones posibles con la palabra ESE. a) Es necesario suponer que todas las letras de la palabra ESE son diferentes b) Para diferenciar las letras, se colocarán subíndices a las letras E, esto es, E1 S E2. c) En esas condiciones las permutaciones serían: 3P3 = 3! = 6 y los arreglos son: E1SE2, E2SE1, E1E2S, E2E1S, SE1E2 y SE2E1 d) Pero como E1 = E2, el número de permutaciones reales de la palabra ESE, son: ESE, EES, y SEE. e) Entonces para tener arreglos reales es necesario partir de la siguiente expresión: , por tqnto, la fórmula sería: donde, es el número de permutaciones que es posible obtener de n objetos, ente los que existen una cantidad x1 de objetos iguales, x2, todos iguales y xk iguales también.

6 Técnicas de Conteo Pruebas, muestras ordenadas o muestreo ordenado: Muchos problemas de técnicas de conteo y en probabilidad y estadística, tienen que ver con elegir un objeto de un conjunto S que contiene n elemen- tos (o bien, una carta de una baraja o una persona de una población). Cuando se elige un elemento después de otro en un conjunto S, por ejemplo, r veces, a la elección de la muestra se le llama “elección de la muestra ordenada de tamaño r “. Esta elección se puede realizar de 2 formas: a) Muestreo ordenado o pruebas ordenadas con sustitución o con reemplazo Aquí se escoge un objeto de un recipiente o de una urna y se regresa antes de tomar el siguiente, y así sucesivamente hasta que se han elegido los r objetos de la prueba. Entonces el número de pruebas ordenadas de tamaño r con reemplazo o con sustitución está dado por: Ejemplo: una urna contiene 8 esferas de diferentes colores. ¿de cuantas maneras se pueden obtener 3 esferas con sustitución? n = 8, r = = 83 = 512 maneras b) Muestreo ordenado o pruebas ordenadas sin sustitución o sin reemplazo En este caso, los objetos seleccionados no regresan a la urna, es decir, cada vez que se elige un objeto, el total de objetos de la urna va disminuyendo. De manera que sise tienen n objetos en la urna, y se van a escoger r objetos sin sustituirlos, el número de pruebas ordenadas de tamaño r sin reemplazo será:

7 Permutaciones circulares:
Técnicas de Conteo Permutaciones circulares: A una disposición de cosas en cadena cerrada o anillo se le llama permutación circular o cíclica. Esto es, cuando se ordenan objetos en una curva cerrada (por ejemplo, en una mesa redonda, en un llavero, la rueda de la fortuna, etc.) Generalmente se usa PCn para representar el número de permutaciones circulares de n objetos tomados todos a la vez, y se calcula con la fórmula: Nota: esta fórmula se obtiene siempre que se fije cualquiera de los n objetos en el arreglo circular, los restantes n -1 objetos se consideran como una permutación lineal,la cual es posible hacer de (n-1)! maneras. Ejemplo: de cuántas maneras pueden sentarse 6 ejecutivos en una mesa redonda, si sólo importan las posiciones relativas entre ellos y además 2 de los ejecutivos tiene que hacerlo juntos. Solución: Suponga que los 2 ejecutivos son W y X, El arreglo puede ser WX o XW (2 formas) Quitando el arreglo WX, quedan 5 objetos para permutar Por tanto, PCn = 2PC5 = 2 (5-1)! = 48

8 Las combinaciones de n objetos o cosas tomando r de ellas a la vez,
Técnicas de Conteo combinaciones: Las combinaciones de n objetos o cosas tomando r de ellas a la vez, representan el número de subconjuntos diferentes, de tamaño r, que se pue- den obtener con esos n objetos. A diferencia de las permutaciones, el orden de aparición es irrelevante. Las notaciones para combinaciones de n objetos tomados r a la vez, son: Las permutaciones de n en r, divididas entre r! son iguales a las combinaciones de n en r, esto es: Ejemplo: En un centro de trabajo se van a seleccionar personas para integrar una comisión de evaluación. Si el centro tiene 20 trabajadores, de cuántas mane- ras pueden ser seleccionadas: Las tres personas Las tres personas si el comité estará formado por presidente, tesorero y secretario. Solución: a) n = 20 , r = 3, b) n = 20 ; r = 3 y En este caso intersa el orden de los puestos: presidente, secretario y tesorero para formar el comité, por lo que se utiliza el concepto de permutaciones para obtener las maneras de formar el comité

9 maneras para el tercer alumno
Técnicas de Conteo Particiones ordenadas: Sea S un conjunto de no vacío. Una partición de S es una subdivisión S en en un subconjuntos no vacíos y que no se superponen. Los subconjuntos se llaman celdas. El siguiente es un diagrama de Venn, de una partición del conjunto rectangular S de cinco celdas, A1, A2, A3, A4, A5 . Ejemplo1: considere el siguiente conjunto S={1,2,3,4,5,...9}: a) { (1,3,5), (2,6), (4,8,9) } (no es partición, el 7 no pertenece a ninguna celda) b) { (1,3,5), (2,4,6,8), (5,7,9) } (no es partición, el 5 está en dos celdas) c) { (1,3,5), (2,4,6,8), (7,9) } (si es partición de S) Ejemplo 2: ¿Cuántas maneras hay de repartir 10 libros diferentes entre tres alumnos, si al primero del damos 2, al segundo 3 y el resto al tercer alumno? maneras para el primer alumno maneras para el segundo alumno maneras para el tercer alumno que es igual a la fórmula de permutaciones con repetición * * Sólo se usa cuando se reparten todos los objetos A5 A1 A2 A3 A4