Repaso de estadística descriptiva

Repaso de estadística descriptiva
Dr. Isaac Leobardo Sánchez Juárez

Variables y gráficas Capítulo 1

Estadística La estadística se ocupa de los métodos científicos que se utilizan para recolectar, organizar, resumir, presentar y analizar datos así como para obtener conclusiones válidas y tomar decisiones razonables. El término estadística también se usa para denotar los datos o los números que se obtienen de esos datos; por ejemplo, los promedios.

Universo y muestra A todo un grupo de características de individuos u objetos lo denominamos universo y una parte de dicho grupo lo llamamos muestra. Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas. Finitas son por ejemplo todos los pernos producidos por una fábrica en un día. Mientras que infinitas es la población que consta de todos los resultados (cara o cruz) que se pueden obtener lanzando una y otra vez una moneda.

Variables discretas y continuas
Una variable es un símbolo; por ejemplo, X, Y, H, x o B, que puede tomar cualquiera de los valores determinados conjunto al que se le conoce como dominio de la variable. A una variable que sólo puede tomar un valor se le llama constante. Una variable que puede tomar cualquiera de los valores entre dos números dados es una variable continua; de lo contrario es una variable discreta. Ejemplo: La cantidad N de hijos que tiene una familia puede tomar los valores 0, 1, 2, 3,…, pero no puede tomar valores como 2.5; ésta es una variable discreta.

Funciones Si a cada valor que puede tomar la variable X le corresponde un valor de una variable Y, se dice que Y es función de X y se escribe Y=f(X) para indicar esta dependencia funcional. La variable X es la variable independiente y la variable Y es la variable dependiente. La dependencia (o correspondencia) funcional entre variables puede describirse mediante una tabla. Pero también puede indicarse mediante una ecuación que relaciona las variables, por ejemplo, Y=2X-3, a partir de la cual podemos determinar el valor de Y que corresponde a diversos valores de X.

Coordenadas rectangulares
En la figura 1 se muestra un diagrama de dispersión con 4 puntos. Este diagrama de dispersión está formado por dos rectas mutuamente perpendiculares llamadas ejes X y Y. El eje X es horizontal y el Y es vertical. Estos dos ejes se cortan en un punto llamado origen. Estas dos rectas dividen al plano XY en 4 regiones que se denotan I, II, III y IV, a las que se les conoce como primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes. Al eje de las X lo conocemos como abscisa y al de la Y como ordenada. Las ideas anteriores pueden ampliarse construyendo un eje Z a través del origen y perpendicular al plano XY. En este caso las coordenadas de cada punto se denotan (X,Y,Z).

Figura 1

Figura 2

Gráficas Una gráfica es una representación visual de la relación entre las variables. En estadística, dependiendo de la naturaleza de los datos y del propósito que se persiga, se emplean distintos tipos de gráficas: gráficas de barras, de pastel, pictogramas, etc.

Ecuaciones Las ecuaciones son expresiones de la forma A=B, donde A es el miembro izquierdo de la ecuación y B es el lado derecho. Si se aplican las mismas operaciones a ambos lados de una ecuación se obtienen ecuaciones equivalentes. Así, si a ambos miembros de una ecuación se suma o resta un mismo número se obtiene una ecuación equivalente; también, si ambos lados se multiplican por un mismo número o se dividen entre un mismo número, con excepción de la división entre cero que no es válida, se obtiene una ecuación equivalente.

Ecuaciones Dada la ecuación 2X+3=9, se resta 3 a ambos lados: 2X+3-3=9-3 o 2X=6. Se dividen ambos miembros entre 2; 2X/2=6/2 o X=3. Este valor de X es una solución de la ecuación dada, como puede verse sustituyendo X por 3, con lo que se obtiene 2(3)+3=9, o 9=9 que es una identidad. Al proceso de obtener las soluciones de una ecuación se le conoce como resolver la ecuación. Las ideas anteriores pueden extenderse a hallar soluciones de dos ecuaciones en dos incógnitas, de tres ecuaciones en tres incógnitas, etc. A tales ecuaciones se les conoce como ecuaciones simultáneas.

Desigualdades Los símbolos < y > significan “menor que” y “mayor que”, respectivamente. Los símbolos ≤ y ≥ significan “menor o igual a” y “mayor o igual a”, respectivamente. Todos estos símbolos se conocen como símbolos de desigualdad. A las relaciones en las que intervienen signos de desigualdad se les llama desigualdades. Así como se habla de miembros de una ecuación, también se habla de miembros de una desigualdad. Por lo tanto, en la desigualdad 4 < Y ≤ 6, los miembros son 4 Y y 6.

Logaritmos Si x > 0, b > 0 y b ≠ 1, y=logbx si y solo si logby=x. Un logaritmo es un exponente. Es la potencia a la que hay que elevar la base b para obtener el número del que se busca el logaritmo. Las dos bases más utilizadas son el 10 y la e, que es igual a … A los logaritmos base 10 se les llama logaritmo comunes y se escriben log10x o simplemente log(x). A los logaritmos base e se les llama naturales y se escriben ln(x).

Propiedades de los logaritmos
Las propiedades más importantes de los logaritmos son las siguientes: 1. logbMN=logbM + logbN 2. logbM/N=logbM – logbN 3. logbMp=plogbM

Ecuaciones logarítmicas
Para resolver ecuaciones logarítmicas: 1. Todos los logaritmos se aíslan en un lado de la ecuación. 2. La suma o diferencias de logaritmos se expresan como un solo logaritmo. 3. La ecuación obtenida en el paso 2 se expresa en forma exponencial. Se resuelve la ecuación obtenida en el paso 3. Se verifican las soluciones.

Log4(x+5)=3. Primero, se expresa esta ecuación en forma exponencial como x+5=43=64. A continuación se despeja x como sigue, x=64- 5=59. Por último se verifica la solución, log4(59+5)=log4(64)=3 ya que 43=64.

Resuelva la ecuación logarítmica siguiente log(6y-7)+logy=log(5). La suma de logaritmos se reemplaza como el logaritmo del producto, log(6y-7)y=log(5). Se iguala (6y-7)y y 5. El resultado es 6y2-7y=5 o y2-7y-5=0. Se factoriza esta ecuación cuadrática como (3y-5)(2y+1)=0. Las soluciones son y=5/3 y y=-1/2. El -1/2 se descarta como solución, ya que los logaritmos de números negativos no están definidos. Y=5/3 demuestra ser una solución cuando se sustituye en la ecuación original. Por lo tanto, la única solución es y=5/3.

Distribuciones de frecuencias
Capítulo 2

Datos en bruto Los datos en bruto son los datos recolectados que aún no se han organizado. Por ejemplo, las estaturas de 100 estudiantes tomados de la lista alfabética de una universidad.

Ordenaciones Ordenación se le llama a los datos numéricos en bruto dispuestos en orden creciente o decreciente de magnitud. A la diferencia entre el número mayor y el número menor se le conoce como rango de los datos. Por ejemplo, si la estatura mayor en los 100 estudiantes es 74 pulgadas (in) y la menos es 60 in, el rango es 74 – 60 = 14 in.

Distribuciones de frecuencia
Al organizar una gran cantidad de datos en bruto, suele resultar útil distribuirlos en clases o categorías y determinar la cantidad de datos que pertenece a cada clase; esta cantidad se le conoce como la frecuencia de clase. A la disposición tabular de los datos en clases con sus respectivas frecuencias de clase se le conoce como distribución de frecuencias o tabla de frecuencias.

Distribuciones de frecuencia
Tabla 2.1 La primera clase (o categoría) consta de las estaturas que van de 60 hasta 62 in. Como hay cinco estudiantes cuyas estaturas pertenecen a esta clase, la frecuencia de clase correspondiente es 5. Estatura (in) Cantidad de estudiantes 60-62 5 63-65 18 66-68 42 69-71 27 72-74 8 Total 100

Intervalos de clase y límites de clase
Al símbolo que representa una clase, como 60-62, se le conoce como intervalo de clase. A los números de los extremos, 60 y 62, se les conoce como límites de clase; el número menor (60) es el límite inferior de clase, y el número mayor (62) es el límite superior de clase. Los términos clase e intervalo de clase se suelen usar indistintamente, aunque el intervalo de clase en realidad es un símbolo para la clase. Un intervalo de clase que, por lo menos teóricamente, no tenga indicado el límite de clase superior o el límite de clase inferior, se conoce como intervalo de clase abierto. Por ejemplo, al considerar grupos de edades de personas, un intervalo que sea “65 años o mayores” es un intervalo de clase abierto.

Fronteras de clase Si las estaturas se registran a la pulgada más cercana, el intervalo de clase comprende teóricamente todas las mediciones desde hasta in. Estos números que se indican brevemente mediante los números 59.5 y 62.5 son las fronteras de clase o límites de clase reales; el menor de los números (59.5) es la frontera inferior de clase y el número mayor (62.5) es la frontera superior de clase. En la práctica, las fronteras de clase se obtienen sumando el límite superior de un intervalo de clase al límite inferior del intervalo de clase inmediato superior y dividiendo entre 2. En la tabla anterior, las clases pueden ser , , etc. Para evitar ambigüedades cuando se usa esta notación, las fronteras de clase no deben coincidir con las observaciones.

Tamaño o amplitud de un intervalo de clase
El tamaño, o la amplitud, de un intervalo de clase es la diferencia entre sus fronteras superior e inferior. Si en una distribución de frecuencia todos los intervalos de clase tienen la misma amplitud, esta amplitud común se denota c. En este caso, c, es igual a la diferencia entre dos límites inferiores de clases sucesivas o entre dos límites superiores de clases sucesivas. Por ejemplo, en los datos de la tabla, el intervalo de clase c= = =3.

La marca de clase La marca de clase es el punto medio del intervalo de clase y se obtiene sumando los límites de clase inferior y superior y dividiendo entre 2. Así, la marca de clase del intervalo es (60+62)/2=61. A la marca de clase también se le conoce como punto medio de clase.

Reglas generales para formar una distribución de frecuencias
1. En el conjunto de los datos en bruto, se determina el número mayor y el número menor y se halla, así, el rango (la diferencias entre los números mayor y menor). 2. Se divide el rango en una cantidad adecuada de intervalos de clase de una misma amplitud. Si esto no es posible, se usan intervalos de clase de diferentes amplitudes o intervalos de clase abiertos. La cantidad de intervalos suele ser de 5 a 20, dependiendo de los datos. Los intervalos de clase, también suelen elegirse de manera que las marcas de clase coincidan con los datos observados. Esto tiende a disminuir el error de agrupamiento. En cambio, las fronteras de clase no deben coincidir con datos observados. 3. Se determina la cantidad de observaciones que caen dentro de cada intervalo; es decir, se encuentran las frecuencias de clase. Eviews realiza esto por nosotros (véase capítulo 4 del manual base).

Histogramas y polígonos de frecuencias
Los histogramas y los polígonos de frecuencia son dos representaciones gráficas de las distribuciones de frecuencias. 1. Un histograma o histograma de frecuencias consiste en un conjunto de rectángulos que tienen: a) sus bases sobre un eje horizontal (X), con sus centros coincidiendo con las marcas de clase de longitudes iguales a la amplitud del intervalo de clase, y b) áreas proporcionales a las frecuencias de clase. 2. Un polígono de frecuencias es una gráfica de línea que presenta las frecuencias de clase graficas contra las marcas de clase. Se puede obtener conectando los puntos medios de las partes superiores de los rectángulos de un histograma.

Histogramas y polígonos de frecuencias

Distribuciones de frecuencias relativas
La frecuencia relativa de una clase es la frecuencia de la clase dividida entre la suma de las frecuencias de todas las clases y generalmente se expresa como porcentaje. Por ejemplo, en la tabla 2.1, la frecuencia relativa de la clase es 42/100=42%. Por supuesto, la suma de las frecuencias relativas de todas las clases es 1, o 100%. Si en la tabla 2.1 las frecuencias se sustituyen por frecuencias relativas, la tabla que se obtiene se una distribución de frecuencias relativas, distribución porcentual o tabla de frecuencias relativas. Las gráficas de las distribuciones de frecuencias relativas se obtienen a partir de los histogramas o polígonos de frecuencias, cambiando únicamente, en la escala vertical, las frecuencias por las frecuencias relativas y conservando la gráfica exactamente igual.

Distribuciones de frecuencias acumuladas y ojivas
A la suma de todas las frecuencias menores que la frontera superior de un intervalo de clase dado se le llama frecuencia acumulada hasta ese intervalo de clase inclusive. Por ejemplo, en la tabla, la frecuencia acumulada hasta el intervalo de clase inclusive es =65, lo que significa que 65 estudiantes tienen una estatura menor a in. A una tabla en la que se presentan las frecuencias acumuladas se le llama distribución de frecuencias acumuladas. Se presenta en la siguiente tabla 2.2 para la distribución de las estaturas de los estudiantes de la tabla 2.1

Estatura (in) Cantidad de estudiantes Menos de 59.5 Menos de 62.5 5 Menos de 65.5 23 Menos de 68.5 65 Menos de 71.5 92 Menos de 74.5 100

Una gráfica que muestra las frecuencias acumuladas menores de cada frontera superior de clase respecto a cada frontera superior de clase se le conoce como gráfica de frecuencias acumuladas u ojiva.

Distribuciones de frecuencias acumuladas relativas y ojivas porcentuales
La frecuencia acumulada relativa o frecuencia acumulada porcentual es la frecuencia acumulada dividida entre la suma de todas las frecuencias (frecuencia total). Por ejemplo, la frecuencia acumulada relativa de las estaturas menores que 68.5 in es 65/100=0.65 o 65%, lo que significa que 65% de los estudiantes tienen estaturas menores a 68.5 in. Si en la tabla 2.2 se emplean las frecuencias acumuladas relativas en lugar de las frecuencias acumuladas, se obtiene una distribución de frecuencias acumuladas relativas y una gráfica de frecuencias acumuladas relativas.

Curvas de frecuencias y ojivas suavizadas
Suele considerarse que los datos recolectados pertenecen a una muestra obtenida de una población grande. Como de esta población se pueden obtener muchas observaciones, teóricamente es posible (si son datos continuos) elegir intervalos de clase muy pequeños y, a pesar de eso, tener un número adecuado de observaciones que caigan en cada clase. De esta manera, cuando se tienen poblaciones grandes puede esperarse que los polígonos de frecuencias estén formados por una gran cantidad de pequeños segmentos de recta de manera que sus formas se aproximen a las de unas curvas, a las cuales se les llama curvas de frecuencias. Es razonable esperar que estas curvas teóricas puedan ser aproximadas suavizando los polígonos de frecuencias, esta aproximación mejorará a medida que aumenta la muestra.

Tipos de curvas de frecuencias
Las curvas de frecuencias que surgen toman ciertas formas:

1. Las curvas simétricas o en forma de campana se caracterizan porque las observaciones equidistantes del máximo central tienen la misma frecuencia. Las estaturas tanto de hombres como de mujeres adultos tienen distribuciones en forma de campana. 2. Las curvas que tienen colas hacia la izquierda se dice que son sesgadas hacia la izquierda. Las curvas de la cantidad de años que viven hombres y mujeres son sesgadas a la izquierda. Pocos mueren jóvenes y la mayoría muere entre los 60 y 80 años. En general, las mujeres viven en promedio diez años más que los hombres.

3. Las curvas que tiene colas hacia la derecha se dice que son sesgadas hacia la derecha. Las curvas de las edades a las que se casan tanto hombres como mujeres son sesgadas hacia la derecha. La mayoría se casa entre los veinte y los treinta años y pocos se casan alrededor de los cuarenta, cincuenta, sesenta o setenta años. 4. Las curvas que tienen aproximadamente las mismas frecuencias para todos sus valores se dice que son curvas distribuidas uniformemente. Por ejemplo, las máquinas dispensadoras de refresco lo hacen de manera uniforme entre 15.9 y 16.1 onzas.

5. Las curvas de frecuencias en forma de J o en forma de J inversa son curvas en las que el máximo se presenta en uno de sus extremos. 6. Las curvas de frecuencias en forma de U son curvas que tienen máximo en cada extremo y un mínimo en medio. 7. Las curvas bimodales son curvas que tienen dos máximos. 8. Las curvas multimodales tienen más de dos máximos.

Media, mediana, moda y otras medidas de tendencia central
Capítulo 3

Índices o subíndices El símbolo, Xj (que se lee “X subíndice j”) representa cualquiera de los N valores X1, X2, X3,…, XN que puede tomar la variable X. A la letra j que aparece en Xj representando a cualquiera de los números 1, 2, 3,…N se la llama subíndice o índice. En lugar de j se puede usar i, k, p, q o s.

Sumatoria El símbolo se emplea para denotar la suma de todas las Xj desde j=1 hasta j=N; por definición, Cuando no puede haber discusión, esta suma se denota simplemente como ∑X, ∑Xj o ∑jXj. El símbolo ∑ es la letra griega mayúscula sigma y denota suma.

Sumatoria Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Si a, b y c son constantes

Promedio o medidas de tendencia central
Un promedio es un valor típico o representativo de un conjunto de datos. Como estos valores típicos tienden a encontrarse en el centro de los conjuntos de datos, ordenados de acuerdo con su magnitud, a los promedios se les conoce también como medidas de tendencia central. Se pueden definir varios tipos de promedios, los más usados son la media aritmética, la mediana, la moda, la media geométrica y la media armónica.

Media aritmética La media de un conjunto de N números X1, X2, X3,…,XN se denota así: X barra y está definida como 1) Ejemplo 4 La media aritmética de los números 8, 3, 5, 12 y 10 es

Media aritmética Si los números X1, X2,…XK se presentan f1, f2,…,fK veces, respectivamente (es decir, se presentan con frecuencias f1, f2,…,fK), su media aritmética es 2) Donde N=∑f es la suma de las frecuencias (es decir, la cantidad total de casos=.

Media aritmética Ejemplo 5
Si 5, 8, 6 y 2 se presentan con frecuencias 3, 2, 4 y 1, respectivamente, su media aritmética es

Media aritmética ponderada
Algunas veces, a los números X1, X2,…, XK se les asigna ciertos factores de ponderación (o pesos) w1, w2,…,wK, que dependen del significado o importancia que se les asigna a estos números. En este caso, a 3) Se le llama media aritmética ponderada.

Media aritmética ponderada
Ejemplo 6 Si en una clase, al examen final se le da el triple de valor que a los exámenes parciales y un estudiante obtiene 85 en el examen final, y 70 y 90 en los dos exámenes parciales, su puntuación media es

Propiedades de la media aritmética
1. En un conjunto de números, la suma algebraica de las desviaciones de estos números respecto a su media aritmética es cero. Ejemplo 7 Las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12 y 10 de su media aritmética 7, 6, son , 3 – 7.6, 5 – 7.6, 12 – 7.6 y 10 – 7.6 o bien 0.4, -4.6, -2.6, 4.4 y 2.4, cuya suma algebraica es – =0. 2. En un conjunto de números Xj, la suma de los cuadrados de sus desviaciones respecto a un número a es un mínimo si y solo si

3. Si la media de f1 números es m1, la media de f2 números es m2,…, la media de fK números es mK, entonces la media de todos estos números es 4) Es decir, una media aritmética ponderada de todas las medias.

4. Si se cree o se supone que un número A (que puede ser cualquier número) es la media aritmética y si dj=Xj-A son las desviaciones de Xj de A, entonces las ecuaciones (1) y (2) se convierten respectivamente en 5) 6) Donde las ecuaciones anteriores se resumen en

Cálculo de la media aritmética para datos agrupados
Cuando se presentan los datos en una distribución de frecuencias, se considera que todos los datos que caen en un intervalo de clase dado coinciden con la marca o punto medio del intervalo. Para datos agrupados, interpretando a las Xj como las marcas de clase, a las fj como las correspondientes frecuencias de clase, a A como cualquier marca de clase supuesta y dj=Xj-A como la desviación de Xj respecto de A, las ecuaciones 2 y 6 son válidas. A los cálculos empleando las ecuaciones 2 y 6 se les suele conocer como método largo y método abreviado, respectivamente.

Cálculo de la media aritmética para datos agrupados
Si todos los intervalos de clase son de una misma amplitud c, las desviaciones dj=Xj-A se pueden expresar como cuj, donde uj puede tener valores enteros positivos o negativos o cero (es decir, 0, ±1, ±2, ±3,…) con lo que ecuación 6 se convierte en Lo que es equivalente a la ecuación A esta ecuación se le conoce como método codificado para calcular la media. Observése que en el método codificado los valores de la variables X se transforman en valores de la variable u de acuerdo con X=A+cu

La mediana La mediana de un conjunto de números acomodados en orden de magnitud (es decir, en una ordenación) es el valor central o la media de los dos valores centrales. Ejemplo 8 La mediana del conjunto de números 3, 4, 5, 6, 8, 8, 8 y 10 es 6. Ejemplo 9 La mediana del conjunto de números 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15 y 18 es 1/2(9+11)=10

La mediana En datos agrupados, la mediana se obtiene por interpolación, como se expresa por la ecuación Donde L1 es la frontera inferior de la clase mediana (es decir, de la clase que contiene la mediana). N número de datos (es decir, la frecuencia total). (∑f)1 suma de las frecuencias de todas las clases anteriores a la mediana. fmediana frecuencia de la clase mediana. c es la amplitud del intervalo de la clase mediana.

La mediana Geométricamente, la mediana es el valor de X (abscisa) que corresponde a una recta vertical que divide al histograma en dos partes que tienen la misma área. A este valor de X se le suele denotar

La moda La moda de un conjunto de números es el valor que se presenta con más frecuencia; es decir, es el valor más frecuente. Puede no haber moda y cuando la hay, puede no ser única. Ejemplo 10 La moda del conjunto 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12 y 18 es 9. Ejemplo 11 El conjunto 3, 5, 8, 10, 12, 15 y 16 no tiene moda. Ejemplo 12 El conjunto 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7 y 9 tiene dos modas 4 y 7, por lo que se llama bimodal.

La moda En el caso de datos agrupados, para los que se ha construido una curva de frecuencia que se ajuste a los datos, la moda es el valor (o los valores) de X que corresponden al punto (o puntos) máximos de la curva. A este valor de X se le suele denotar En una distribución de frecuencia o en un histograma la moda se puede obtener mediante la ecuación

La moda L1 es la frontera inferior de la clase modal (es decir, de la clase que contiene la moda). Δ1 exceso de frecuencia modal sobre la frecuencia en la clase inferior inmediata. Δ2 exceso de frecuencia modal sobre la frecuencia en la clase superior inmediata. c amplitud del intervalo de la clase modal.

Relación empírica entre la media, mediana y moda
En las curvas de frecuencias unimodales que son ligeramente sesgadas (asimétricas), se tiene la relación empírica siguiente media-moda=3(media-mediana) En las figuras que siguen se muestran las posiciones relativas de la media, mediana y moda en curvas de frecuencias sesgadas hacia la derecha o a la izquierda, respectivamente. En las curvas simétricas, la media, mediana y moda coinciden.

Relación empírica entre la media, mediana y moda

Media geométrica G La media geométrica G de N números positivos X1, X2, X3,…, XN es la raíz n-ésima del producto de los números: Ejemplo 13 La media geométrica de los números 2, 4 y 8 es

Media armónica H La media armónica H de un conjunto de N números X1, X2, X3,…,Xn es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de los números Puede expresarse también como

Media armónica H Ejemplo 14 La media armónica de los números 2, 4 y 8 es Si X1, X2, X3,…, son las marcas de clase de una distribución de frecuencias y f1, f2, f3,…, son sus frecuencias correspondientes, la media armónica es

Relación entre las medias aritmética, geométrica y armónica
La media geométrica de un conjunto de números positivos X1, X2,…,XN es menor o igual que su media aritmética, pero mayor o igual que su media armónica. En símbolos La igualdad es válida sólo cuando todos los números X1, X2,…,XN son idénticos. Ejemplo 15 La media aritmética de los números 2, 4 y 8 es 4.67, su media geométrica es 4 y su media armónica es 3.45.

Raíz cuadrada media La raíz cuadrada media (RCM) o media cuadrática de un conjunto de número X1, X2,…,XN suele denotarse y se define Ejemplo La raíz cuadrada media del conjunto 1, 3, 4, 5 y 7 es

Cuartiles, deciles y percentiles
En un conjunto de datos en el que éstos se hallan ordenados de acuerdo con su magnitud, el valor de en medio (o media aritmética de los dos valores medios), que divide al conjunto en dos partes iguales, es la mediana. Continuando con esta idea se puede pensar en aquellos valores que dividen el conjunto de datos en cuatro partes iguales. Estos valores, denotados Q1, Q2 y Q3 son el primero, segundo y tercer cuartiles, respectivamente; el valor Q2 coincide con la mediana.

Cuartiles, deciles y percentiles
De igual manera, los valores que dividen al conjunto en diez partes iguales son los deciles y se denotan D1, D2,…,D9, y los valores que dividen al conjunto en 100 partes iguales son los percentiles y se les denota P1, P2,…,P99. El quinto decil y el percentil 50 coinciden con la mediana. Los percentiles 25 y 75 coinciden con el primero y tercer cuartiles, respectivamente. A los cuartiles, deciles, percentiles y otros valores obtenidos diviendo al conjunto de datos en partes iguales se les llama en conjunto cuantiles. Para el cálculo de estos valores cuando se tienen datos agrupados

Desviación estándar y otras medidas de dispersión
Capítulo 4

Dispersión o variación
El grado de dispersión de los datos números respecto a un valor promedio se llama dispersión o variación de los datos. Existen varias medidas de dispersión; las más usadas con el rango, la desviación media, el rango semiintercuartil, el rango percentil y la desviación estándar.

Rango El rango de un conjunto de números es la diferencia entre el número mayor y el número menor del conjunto. Ejemplo 1 El rango del conjunto 2, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 10, 12 es 12-2=10. Algunas veces el rango se da mediante el número menor y el número mayor; así, por ejemplo, en el caso del conjunto anterior, simplemente se indica 2 a

Desviación media La desviación media, o desviación promedio, de un conjunto de N números X1, X2,…,XN se abrevia DM y está definida así: Donde X barra es la media aritmética de los números y Xj-X es el valor absoluto de la desviación de Xj respecto de X barra.

Desviación media Ejemplo 2 Encuentre la desviación media del conjunto 2, 3, 6, 8, 11.

Desviación media Si X1, X2,…,XK se presentan con frecuencias f1, f2,…,fK, respectivamente, la desviación media puede expresarse como: Esta ecuación es útil para datos agrupados, donde las Xj representan las marcas de clase y las fj las correspondientes frecuencias de clase.

Rango semiintercuartil
El rango semiintercuartil o desviación cuartil, de un conjunto de datos se denota Q y está definido por: Donde Q1 y Q3 son el primero y tercer cuartiles en los datos. Algunas veces se usa el rango intercuartil Q3-Q1; sin embargo, el rango semiintercuartil es más usado como medida de dispersión.

Rango percentil 10-90 El rango percentil de un conjunto de datos está definido por Rango percentil 10-90=P90-P10 El rango semipercentil 10-90, ½(P90-P10), también puede usarse, pero no es muy común.

Desviación estándar La desviación estándar de un conjunto N de números X1, X2,…,XN se denota como s y está definida por Donde x representa la desviación de cada uno de los números Xj respecto a la media. Por lo tanto, s, es la raíz cuadrada de la media (RCM) de las desviaciones respecto de la media, o, la desviación raíz- media-cuadrado.

Desviación estándar Si X1, X2,…,XN se presentan con frecuencias f1, f2,…,fK, respectivamente, la desviación estándar puede expresarse como

Varianza La varianza de un conjunto de datos se define como el cuadrado de la desviación estándar y, por lo tanto, corresponde al valor s2 en las ecuaciones anteriores. Cuando es necesario distinguir la desviación estándar de una población de la desviación estándar de una muestra, se suele emplear s para la última y σ (sigma) para la primera. De manera que s2 y σ2 son la varianza muestral y poblacional respectivamente.

Propiedades de la desviación estándar
1. La desviación estándar se puede definir como Donde a es un promedio cualquiera además de la media aritmética. De todas las desviaciones estándar, la mínima es aquella en la que a=X barra.

2. En las distribuciones normales se encuentra que: a) 68.27% de los casos está comprendido entre O sea una desviación estándar a cada lado de la media. b) 95.45% de los casos está comprendido entre O sea dos desviaciones estándar a cada lado de la media. c) 99.73% de los casos está comprendido entre O sea tres desviaciones estándar a cada lado de la media.

3. Supóngase que dos conjuntos que constan de N1 y N2 números (o dos distribuciones de frecuencia con frecuencias totales N1 y N2) tienen varianzas s12 y s22, respectivamente, y una misma media X barra. Entonces, la varianza combinada de los dos conjuntos (o de las dos distribuciones de frecuencia) está dada por Obsérvese que ésta es una media aritmética ponderada de las dos varianzas. Esta ecuación puede generalizarse a tres o más conjuntos.

4. El teorema de Chebyshev establece que para k >1, por lo menos (1- (1/k2))x100% de la distribución de probabilidad de cualquier variable está a no más de k desviaciones estándar de la media. En particular, para k=2, por lo menos (1-(1/22))x100% o bien 75% de los datos están en el intervalo (x-2S, x+2S); para k=3, por lo menos (1-(1/32))x100% u 89% de los datos están en el intervalo (x-3S, x-3S), y para k=4, por lo menos (1-(1/42))x100% o bien 93.75% de los datos está en el intervalo (x-4S, x-4S)

Relaciones empíricas entre las medidas de dispersión
Para las distribuciones moderadamente sesgadas, se tiene la relación empírica. Desviación media=4/3(desviación estándar) Rango semiintercuartil=2/3(desviación estándar) Esto es consecuencia de que en una distribución normal se encuentre que la desviación media y el rango semiintercuartil son iguales, respectivamente, a y veces la desviación estándar.

Dispersión absoluta y relativa; coeficiente de variación
La variación real determinada mediante la desviación estándar u otra medida de dispersión se le conoce como dispersión absoluta. Sin embargo, una variación o dispersión de 10 pulgadas (in) en una distancia de 1,000 pies (ft) tiene un significado muy diferente a la misma variación de 10 in en una distancia de 20 ft. Este efecto se puede medir mediante la dispersión relativa, que se define como

Dispersión absoluta y relativa; coeficiente de variación
Si la dispersión absoluta es la desviación estándar (s) y el promedio es la media (X barra), entonces a la dispersión relativa se le llama coeficiente de variación o coeficiente de dispersión, se denota por V y es Por lo general se le expresa como porcentaje. V es independiente de las unidades que se emplean. V es útil cuando se trata de comparar distribuciones en las que las unidades son diferentes. Una desventaja es que no es útil cuando el valor de la media es cercano a cero.

Variable estandarizada; puntuaciones estándar
A la variable que mide la desviación respecto a la media en términos de unidades de desviaciones estándar se le llama variable estandarizada y es una cantidad adimensional (es decir, independiente de las unidades empleadas) y está dada por Si las desviaciones respecto a la media se dan en términos de unidades de desviación estándar, se dice que las desviaciones se expresan en unidades o puntuaciones estándar. Las unidades estándar son de gran valor para comparar distribuciones.

Momentos, sesgo y curtosis
Capítulo 5

Momentos Dados N valores X1, X2,…,XN que toma la variable X, se define la cantidad 1) A la que se le llama r-ésimo momento. El primer momento, en el que r=1 es la media aritmética

Momentos El r-ésimo momento respecto a la media se define como
Si r=1, entonces m1=0. Si r=2, entonces m2 es la varianza

Momentos El r-ésimo momento respecto a cualquier origen A se define de la siguiente manera Donde d=X-A son las desviaciones de las X respecto de A. Si A=0, la ecuación se reduce a la ecuación 1. Debido a esto a la ecuación 1 se le llama r-ésimo momento respecto de cero.

Momentos para datos agrupados
Si X1, X2,…,XK se presentan con frecuencias f1, f2,…,fK respectivamente, los momentos anteriores están dados por

Momentos para datos agrupados
Donde Estas expresiones se emplean para el cálculo de momentos de datos agrupados.

Sesgo El sesgo de una distribución es su grado de asimetría o el grado en el que se aleja de la simetría. Si una curva de frecuencias (polígono de frecuencias suavizado) de una distribución tiene una cola más larga hacia la derecha del máximo central que hacia la izquierda, se dice que la distribución es sesgada a la derecha, o que tienen un sesgo positivo. Si ocurre lo contrario, se dice que es sesgada a la izquierda o que tiene un sesgo negativo.

Sesgo En las distribuciones sesgadas, la media tiende a encontrarse del mismo lado que la cola más larga opuesto al de la moda. Por lo tanto, una medida de simetría (o sesgo) se obtiene mediante la diferencia: media-moda. Esta medida se puede hacer adimensional dividiendo entre una medida de dispersión, como la desviación estándar, lo que conduce a

Sesgo Para evitar el uso de la moda se puede utilizar la ecuación empírica del capítulo 3 y se define A las ecuaciones anteriores se les llama, primer coeficiente de sesgo de Pearson y segundo coeficiente de sesgo de Pearson.

Sesgo Otras medidas del sesgo, que se definen en términos de cuartiles y percentiles son:

Curtosis La curtosis indica qué tan puntiaguda es una distribución; esto por lo regular es en relación con la distribución normal. A una distribución que tiene un pico relativamente alto se la llama leptocúrtica, en tanto que si es relativamente aplastado se dice platicúrtica. Una distribución normal, que no es ni puntiaguda ni muy aplastada se la llama mesocúrtica.

Curtosis En una medida de la curtosis se emplea el cuarto momento respecto de la media, expresada en forma adimensional, esta medida se encuentra dada por: El cual suele denotar por b2. En las distribuciones normales b2=a4=3. A esto se debe que la curtosis suela definirse mediante (b2-3), que tiene signo positivo en una distribución leptocúrtica, negativo en una distribución platicúrtica y cero en las distribuciones normales (mesocúrtica).

Teoría necesaria de la probabilidad
Capítulo 6

Definiciones de probabilidad
Suponga que un evento E puede ocurrir en h de n maneras igualmente posibles. Entonces la probabilidad de que ocurra el evento (a la que se le llama éxito) se denota como La probabilidad de que no ocurra el evento (a la que se la llama fracaso) se denota como

Por lo tanto

Cuando se lanza un dado, éste puede caer de seis maneras distintas Un evento E de que caiga un 3 o un 4 es

Y la probabilidad de E es 2/6 o bien 1/3. La probabilidad de no obtener un 3 o un 4 es 1-Pr {E}=2/3. Obsérvese que la probabilidad de un evento es un número entre 0 y 1. Si un evento no puede ocurrir su probabilidad es 0. En cambio, si se trata de un evento que tiene que ocurrir (es decir, que es seguro que ocurra) su probabilidad es 1.

Si p es la probabilidad de que ocurra un evento, las posibilidades u oportunidades a favor de su ocurrencia son p:q (que se lee “p a q”); las posibilidades en contra de que ocurra son q:p. Por lo tanto, las posibilidades en contra de que en un solo lanzamiento de un dado caiga un 3 o un 4 son q:p=2/3:1/3=2:1 (es decir 2 a 1).

Definición de frecuencia relativa
La probabilidad estimada o probabilidad empírica de un evento es la frecuencia relativa de ocurrencia del evento cuando la cantidad de observaciones es muy grande. La probabilidad misma es el límite de esta frecuencia relativa a medida que la cantidad de observaciones aumentan de manera indefinida. Ejemplo: Si en 1,000 lanzamientos de una moneda se obtienen 529 caras, la frecuencia relativa con la que se obtienen caras es 529/1,000= Si en otros 1,000 lanzamientos se obtienen 493 caras, la frecuencia relativa en los 2,000 lanzamientos es ( )/2,000=0.51. De acuerdo con la definición estadística, cada vez se estaría más cerca de un número que representa la probabilidad de que caiga cara en un lanzamiento de una sola moneda. Según los resultados este número sería 0.5 a una cifra significativa.

Probabilidad condicional; eventos independientes y dependientes
Si E1 y E2 son dos eventos, la probabilidad de que ocurra E2, dado que E1 ha ocurrido se denota Pr{E2|E1} o Pr{E2 dado E1} y se conoce como la probabilidad condicional de E2, dado que E1 ha ocurrido. Si la ocurrencia o no ocurrencia de E1 no afecta la probabilidad de ocurrencia de E2, entonces Pr{E2|E1}=Pr{E2} y se dice que E1 y E2 son eventos independientes, de lo contrario se dice que son eventos dependientes.

Si se denota con E1E2 el evento de que “tanto E1 como E2 ocurran”, evento al que suele llamarse evento compuesto, entonces En particular

En general, si E1, E2, E3,…, En son n eventos independientes que tienen probabilidades p1, p2, p3,…,pn entonces la probabilidad de que ocurra E1 y E2 y E3 y … En es p1p2p3…pn. Ejemplo: Si la probabilidad de que A esté vivo en 20 años es 0.7 y la probabilidad de que B esté vivo en 20 años es 0.5, entonces la probabilidad de que ambos estén vivos en 20 años es (0.7)(0.5)=0.35.

Eventos mutuamente excluyentes
Se dice que dos o más eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno cualquiera de ellos excluye la ocurrencia de los otros. Entonces, si E1 y E2 son eventos mutuamente excluyentes, Pr{E2E1}=0. Si E1 + E2 denotan el evento “ocurre E1 o E2 o ambos”, entonces

En particular Por extensión se tiene que si E1, E2,…,En son n eventos mutuamente excluyentes que tienen probabilidades p1, p2,…, pn entonces la probabilidad de que ocurran E1 o E2… En es p1 + p2+ … pn.

Si E1 es el evento “de una baraja se extrae un as” y E2 es el evento “de una baraja se extrae un rey”, entonces Pr{E1}=4/52=1/13 y Pr{E2}=4/52=1/13, y la probabilidad de en una sola extracción se extrae un as o un rey es Ya que en una sola extracción o se extrae un as o se extrae un rey, y por lo tanto estos eventos son mutuamente excluyentes.

Distribuciones de probabilidad
Discretas Si una variable X toma un conjunto discreto de valores X1, X2,…,XK con probabilidades respectivas p1, p2,…pK, donde p1+p2+…+pK=1, esto se define como una distribución de probabilidad discreta de X. La función p(X), que tiene los valores p1, p2,…,pK para X=X1, X2,…XK, respectivamente se le llama función de probabilidad o función de frecuencias de X. Como X puede tomar ciertos valores con determinadas probabilidades, suele llamársele variable aleatoria discreta. A las variables aleatorias también se les conoce como variables estocásticas.

Ejemplo: Se lanza un par de dados; sea X la suma de los puntos obtenidos en estos dos dados. La distribución de probabilidad es la que se muestra enseguida. Por ejemplo, la probabilidad de que la suma sea 5 es 4/36=1/9; así que de 900 veces que se lancen los dos dados se espera que en 100 la suma de los puntos sea 5. X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 p(X) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36

Continua Las ideas anteriores pueden extenderse al caso en el que la variable X puede tomar un conjunto continuo de valores. El polígono de frecuencias relativas de la muestra se convierte en una curva continua cuya ecuación es Y=p(X). El área total limitada por el eje X, bajo esta curva, es igual a 1, y el área entre las recta X=a y X=b corresponde a la probabilidad de que X se encuentre entre a y b, lo que se denota como Pr(a< X <b).

A p(X) se le conoce como función de densidad de probabilidad y cuando se da una de esta funciones se dice que define como una distribución de probabilidad continua para X; a la variable X suele llamársele variable aleatoria continua.

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