@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS1 DISTRIBUCIÓN NORMAL MATEMÁTICAS A. CS II Tema 13.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS1 DISTRIBUCIÓN NORMAL MATEMÁTICAS A. CS II Tema 13

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS2 PARÁMETROS TEMA 13.2 * 2º B CS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS3 El área que nos interese se calculará: Por el cálculo integral. Ocasionalmente por métodos geométricos elementales. O mediante tablas ya elaboradas para este fin.

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS4 EJERCICIO_1 Sea la función: f(x) = 1 / 4, si x є [0, 4] 0, si x є [0, 4] Comprueba que es una función de densidad. Calcula P(1,6 ≤ x ≤ 5,2) Área del rectángulo: A=b.h = 4. ¼ = 1 P(1,6 ≤ x ≤ 5,2) = (4 – 1,6). ¼ = = 2,4. ¼ = 0,6 0 1 2 3 4 Pi 0,25 1,6

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS5 EJERCICIO_2 Sea la función: f(x) = 2.x, si x є [0, 1] 0, si x є [0, 1] Comprueba que es una función de densidad. Calcula P(0,6 ≤ x ≤ 0,9) Área del rectángulo: A=b.h / 2 = 1. 2 / 2 = 1 Área del trapecio = P P(0,6 ≤ x ≤ 0,9) = = [(1,8 + 1,2) / 2 ].(0,9 – 0,6) = = 1,5.0,3 = 0,45 0 1 x Pi 2 Calculamos las ordenadas: f(1) = 2.1 = 2 f(0) = 2.0 = 0 f(0,6) = 2.0,6 = 1,2 f(0,9) = 2.0,9 = 1,8

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS6 Ejercicio_3 Sea la función: f(x) = (1/3).x - 1, si x є [3, a] 0, si x є [3, a] Hallar el valor de a para que f(x) sea una función de densidad. Calcula P(3,1 ≤ x ≤ 4,2) 0 3 6 x Pi f(a) Calculamos las ordenadas: f(a) = 0,33.a - 1 f(0) = 0,33.0 – 1 = - 1 f(3,1) = 0,33.3,1 – 1 = 0,033 f(4,2) = 0,33.4,2 – 1 = 0,4 Área del triángulo = 1 (a – 3).(a / 3 – 1) / 2 = 1 (a – 3) 2 = 6  a – 3 = 2,45  a = 5,45 P(3,1 ≤ x ≤ 4,2) = [(0,4+0,033) / 2].(4,2 – 3,1)= 0,2383 3,1 4,3 5,45

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS7 Ejercicio_4 Sea la función: f(x) = (1/2).x - 3, si x є [6, a] 0, si x є [6, a] Hallar el valor de a para que f(x) sea una función de densidad. Calcula P(6,1 ≤ x ≤ 6,2) 6 8 9 10 x Pi f(a) Calculamos las ordenadas: f(a) = 0,5.a - 3 f(0) = 0,5.0 – 3 = - 3 f(6,1) = 0,5.6,1 – 3 = 0,05 f(6,2) = 0,5.6,2 – 3 = 0,10 Área del triángulo = 1 (a – 6).(a / 2 – 3) / 2 = 1 (a – 6) 2 = 4  a – 6 = 2  a = 8 P=Área del trapecio. P(6,1 ≤ x ≤ 6,2) = [(0,10+0,05) / 2].(6,2 – 6,1)= 0,0075 6,1 6,2

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS8 PARÁMETROS Si X es una variable aleatoria que toma valores en el intervalo [a, b], y f(x) es su función de densidad: MEDIA O ESPERANZA MATEMÁTICA, μ, de la variable X b μ = ∫ x.f(x) dx a Que es una medida de centralización. LA DESVIACIÓN TÍPICA, σ, de la variable X Que será la raíz cuadrada positiva de la varianza. b σ = + √ [ ∫ (x – μ) 2.f(x) dx ] a Que es una medida de dispersión.

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS9 EJERCICIO_1 Sea la función de densidad: f(x) = 1 / 4, si x є [0, 4] 0, si x є [0, 4] Hallar la media y la desviación típica. b 4 4 μ = ∫ x.f(x) dx = ∫ x.1/4 dx = [x 2 / 8] = (16 / 8) – 0 = 2 a 0 0 b 4 σ = + √ [ ∫ (x – μ) 2.f(x) dx ] = √ [ ∫ (x – 2) 2.1/4 dx ] = a 0 4 4 = √ [ (1/4).∫ (x 2 – 4.x + 4 ) dx ] = (1/2).√ [x 3 / 3 – 4. x 2 / 2 + 4.x ] = = (1/2). √ [64/3 – 32 + 16 ] = (1/2). √ 16/3 = (4/2)/ √3 = 2√3 / 3 Cálculo de los parámetros

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS10 EJERCICIO_2 Sea la función de densidad: f(x) = 2.x, si x є [0, 1] 0, si x є [0, 1] Hallar la media y la desviación típica. b 1 1 μ = ∫ x.f(x) dx = ∫ x.2x dx = 2.[x 3 / 3] = (2 / 3) – 0 = 2 / 3 a 0 0 b 1 σ = + √ [ ∫ (x – μ) 2.f(x) dx ] = √ [ ∫ (x – 2/3) 2.2x dx ] = a 0 1 1 = √ [ 2.∫ (x 2 – (4/3).x + 4/9).x dx ] = √ 2.[x 4 / 4 – (4/9). x 3 + (2/9). x 2 ] = = √ 2.[1/4 – 4/9 + 2/9] = √ 2.[9/36 – 16/36 + 8/36] = √2.(1/36)= √2 / 6 Cálculo de los parámetros

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS11 EJERCICIO_3 Sea la función de densidad: f(x) = 2.x – 2, si x є [1, 2] 0, si x є [1, 2] Hallar la media y la desviación típica. Media b 2 2 μ = ∫ x.f(x) dx = ∫ x.(2x – 2) dx = 2. ∫ (x 2 – x) dx = a 1 1 2 = 2. [x 3 / 3 – x 2 /2 ] = 2.[(8/3 – 4/2) – (1/3 – ½)] = 1 = 2.[4/6 – (– 1/6)] = 2.5/6 = 10/6 = 5/3 Desviación típica … Cálculo de los parámetros

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS12 … EJERCICIO_3 Sea la función de densidad: f(x) = 2.x – 2, si x є [1, 2] 0, si x є [1, 2] Hallar la media y la desviación típica. Desviación típica b 2 σ = + √ [ ∫ (x – μ) 2.f(x) dx ] = √ [ ∫ (x – 5/3) 2.(2x – 2) dx ] = a 0 2 = √ [ ∫ (x 2 – (10/3).x + 25/9).(2x – 2) dx ] = 1 2 = √ [2. ∫ (x 3 – (10/3). x 2 + (25/9).x – x 2 + (10/3).x – 25/9) dx ] = 1 2 = √ [2. ∫ (x 3 – (13/3). x 2 + (55/9).x – 25/9) dx ] = 1

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS13 … EJERCICIO_3 2 = √ (2. [ (x 4 / 4 – (13/3). x 3 / 3 + (55/9).x 2 / 2 – (25/9).x ] = 1 = √ (2. { [ (16 / 4 – (13/3). 8 / 3 + (55/9). 4 / 2 – (25/9). 2 ] – – [ (1 / 4 – (13/3). 1/ 3 + (55/9). 1 / 2 – (25/9) ] = = √ (2. [ 16 / 4 – 104/9 + 110/9 – 50/9 ] – – [ 1 / 4 – 13/9 + 55/18 – 25/9 ] ) = = √ (2. [16 / 4 – 44 / 9] – [1 / 4 – 21/18] ) = = √ (2. [144 / 36 – 176 / 36] – [9 / 36 – 42/36] ) = = √ (2. [ – 32 / 36] – [– 33/36] ) = = √ (2. [ – 32 / 36 + 33/36] ) = √ (2. [ 1 / 36] ) = √2 / 6