Matemáticas Aplicadas CS I

Presentación del tema: "Matemáticas Aplicadas CS I"— Transcripción de la presentación:

1 Matemáticas Aplicadas CS I
ECUACIONES Y SISTEMAS TEMA 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

2 ECUACIONES POLINÓMICAS
TEMA * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

3 ECUACIONES POLINÓMICAS
Al resolver ecuaciones de grado 3 o mayor se nos pueden presentar varios casos. En todos ellos las raíces del polinomio característico serán las soluciones de la ecuación. PRIMERO: Que haya ecuaciones de grado 3, donde falte el término independiente. Sacaremos factor común a x y factorizamos el cociente resultante. EJEMPLO x x2 + 2.x = 0  x (x x + 2) = 0  x.(x+1).(x+2) = 0   x = 0, x = - 1 y x = - 2 son las tres soluciones. SEGUNDO: Que haya ecuaciones de grado 3, donde no falte el término independiente. Obtenida la raíz existente, factorizamos el cociente resultante si se puede. x x2 + 2.x – 6 = 0  (x – 1) (x2 + 4.x + 6) = 0  x = 1 es la única solución real. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

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TERCERO: Que haya productos de ecuaciones de segundo o tercer grado. Cada factor se trata por separado, aplicando lo visto en los casos anteriores. EJEMPLO (x x2 + 2.x).(x x + 2) =  [ x (x x + 2) ].[(x – 1).(x – 2)] = 0  x.(x+1).(x+2).(x – 1).(x – 2) = 0   x = 0, x = - 1, x = - 2 , x = 1 y x = 2 son las cinco soluciones. CUARTO: Que haya ecuaciones bicuadradas de grado 4 o de grado 6. Se resuelven como veremos a continuación. x x = 0  (x – 3) (x + 3). ( x – 2 ). (x + 2) = 0   x = -3, x = - 2, x = 2 y x = 3 son las cuatro soluciones. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

5 Ecuaciones BICUADRADAS
ECUACIÓNES BICUADRADAS.‑ Son aquellas que, mediante un cambio de variable, se transforman en ecuaciones de segundo grado. Tiene la forma a.x4 + b. x2 + c = 0 Si hacemos x2 = y , tenemos que x4 = y2 quedando: a.y2 + b. y + c = 0 , que es una ecuación de segundo grado. También tienen la forma a.x6 + b. x3 + c = 0 Si hacemos x3 = y , tenemos que x6 = y2 quedando: IMPORTANTE: En ambos casos hay que deshacer el cambio, pues hay que hallar el valor de la variable x , no de la variable y. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

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EJEMPLO_1 DE ECUACIÓNES BICUADRADAS.‑ Sea x x = 0 Si hacemos x2 = y , tenemos que x4 = y2 quedando: y y + 36 = 0 , que es una ecuación de segundo grado. -(-13) +/- √[(-13)2 – ] Resolviéndola: y = = 2.1 13 +/- √[169 – 144] /- √ /- 5 = = = = 9 y 4 Deshacemos el cambio: Si x2 = y = 9  x = +/- √ 9  x = +/- 3  x1 = 3 , x2 = -3 Si x2 = y = 4  x = +/- √ 4  x = +/- 2  x3 = 2 , x4 = -2 Que son las 4 raíces, ceros o soluciones de la ecuación dada. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

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EJEMPLO_2 DE ECUACIÓNES BICUADRADAS.‑ Sea x x = 0 Si hacemos x2 = y , tenemos que x4 = y2 quedando: 3.y y - 25 = 0 , que es una ecuación de segundo grado. -(-74) +/- √[(-74)2 – 4.3.(-25)] Resolviéndola: y = = 2.3 74 +/- √[ ] /- √ /- 76 = = = = 25 y / 3 Deshacemos el cambio: Si x2 = y = 25  x = +/- √ 25  x = +/- 5  x1 = 5 , x2 = - 5 Si x2 = y = - 1/3  x = +/- √ - 1/3  x3 y x4 no son reales Que son las 4 raíces, dos reales y dos no reales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

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EJEMPLO 3 DE ECUACIÓNES BICUADRADAS.‑ Sea x x3 + 8 = 0 Si hacemos x3 = y , tenemos que x6 = y2 quedando: y y + 8 = 0 , que es una ecuación de segundo grado. -(-9) +/- √[(-9)2 – 4.1.8] Resolviéndola: y = = 2.1 9 +/- √[81 – 32] /- √ /- 7 = = = = 8 y 1 Deshacemos el cambio: 3 Si x3 = y = 8  x = √ 8  x = 2  x1 = 2 , x2 y x3 no reales Si x3 = y = 1  x = √ 1  x = 1  x4 = 1 , x5 y x6 no reales Que son las 6 soluciones de la ecuación dada, de ellas sólo 2 son reales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

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EJEMPLO 4 DE ECUACIÓNES BICUADRADAS.‑ Sea x 8 – 81.x4 = 0 Si hacemos x 4 = y , tenemos que x 8 = y quedando: y 2 – 81. y = 0 , que es una ecuación de segundo grado incompleta. Resolviéndola: y.(y – 81) = 0  y = 0  x 4 = 0   x1 = x2 = x3 = x4 = 0 y = 81  x4 = 81  x2 = ± 9  x = ±  x5 = 3 , x6 = – 3 y = 81  x4 = 81  x2 = ± 9  x = ± √(-9)  x7 y x8 no reales Al ser productos notables, se puede factorizar para resolverlo. Factorizando sería: x 8 – 81.x4 = x.x.x.x.(x4 – 81) = x4.(x2 + 9).(x2 – 9) = = x4.(x2 + 9).(x + 3).(x – 3) = 0 (x2 + 9) No se puede descomponer más. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I