[ Sistemas Operativos ]

Presentación del tema: "[ Sistemas Operativos ]"— Transcripción de la presentación:

1 [ Sistemas Operativos ]
Universidad de Magallanes Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Computación [ Sistemas Operativos ] MIC3181 Algebra de Boole … continuación Eduardo Peña J. Präsentation Edopena Microprocesadores

2 [ Algebra de Boole ] Temario: Métodos de minimización
Indice Temario: Métodos de minimización Método mapas de Karnaugh Método tabular Quine McCluskey Información extraída de: Edopena Microprocesadores Präsentation

3 [ Algebra de Boole ] Suma de Productos SUMA DE PRODUCTOS
Suma de productos es una forma de representación de funciones booleanas constituida por operaciones lógicas o sobre un conjunto de términos formados por la operación. Edopena Microprocesadores

4 [ Algebra de Boole ] Producto de Suma PRODUCTO DE SUMA
El producto de sumas es otra forma de representación de funciones booleanas caracterizadas por la aplicación de operación sobre un conjunto de operaciones o sobre las entradas Edopena Microprocesadores

5 [ Algebra de Boole ] Minterms MINTERMS
Un minterm es un término producto que vale 1 en al menos un punto del dominio de una función booleana. Es definido por un producto (AND) donde cada variable aparece al menos una vez directa o complementada. Edopena Microprocesadores

6 [ Algebra de Boole ] Maxterms MAXTERMS
Un maxterm es un término suma que vale 0 en al menos un punto del dominio de la función. Es determinado por una adición (OR) donde cada variable aparece al menos una vez, directa o complementada. Edopena Microprocesadores

7 [ Algebra de Boole ] Formas canónicas FORMAS CANÓNICAS
Una tabla de verdad es una firma que identifica inequívocamente una función booleanas. Expresiones booleanas diferentes pueden representar una misma función booleana. Edopena Microprocesadores

8 [ Algebra de Boole ] Formas canónicas FORMAS CANÓNICAS DE DOS NIVELES
Las formas canónicas son representaciones únicas de funciones booleanas. Ej. Una suma de productos es una forma canónica. Edopena Microprocesadores

9 [ Algebra de Boole ] Formas canónicas
Las formas canónicas son representaciones únicas de funciones booleanas. Ej. Un producto de sumas es otra forma canónica. Edopena Microprocesadores

10 [ Algebra de Boole ] Formas canónicas Notación para suma de minterms.
Notación para producto de maxterms. Edopena Microprocesadores

11 [ Algebra de Boole ] Formas canónicas
SIMPLIFICACION DE SUMAS DE MINTERMS Edopena Microprocesadores

12 [ Algebra de Boole ] Formas canónicas MINTERMS X MAXTERMS
Es posible obtener un producto de maxterms a partir de una suma de minterms o viceversa aplicando De Morgan sobre el complemento de la función. Edopena Microprocesadores

13 [ Algebra de Boole ] Funciones Incompletas FUNCIONES INCOMPLETAS
Estas son las funciones para las cuales algunas combinaciones de valores de entrada nunca ocurren. Ej. Decodificador de display de 7 segmentos para dígitos BCD. Edopena Microprocesadores

14 [ Algebra de Boole ] Funciones Incompletas
Las funciones incompletas mapean puntos del dominio de una función en tres valores posibles. Los dominios de puntos donde F vale {0 , 1 X} son denominados, respectivamente, de: F puede ser descrita definiendo dos de sus tres conjuntos. Edopena Microprocesadores

15 [ Algebra de Boole ] Minimización lógica de dos niveles
Manipulación Algebraica: Difícil de determinar un orden y qué transformaciones aplicar. Cómo sabes si se localizó una mejor solución. Herramientas de auxilio: No consiguen tratar problemas de forma exacta. Se basan en heurísticas y criterios de costo. Métodos manuales, al menos para fines didácticos y funciones muy simples Edopena Microprocesadores

16 [ Algebra de Boole ] Minimización lógica de dos niveles
Idea base: Aplicación de distribución y complemento. Edopena Microprocesadores

17 [ Algebra de Boole ] Cubos CUBOS
Un espacio booleano n-dimensional puede ser visualizado espacialmente. Los productos de literales son llamados cubos. Edopena Microprocesadores

18 [ Algebra de Boole ] Cubos VISUALIZACIÓN DE CUBOS
Puntos adjacentes difieren en un bit. Todos los puntos de la función están en una cara. Y y Z varían mientras que X permanece inalterable: Y y Z pueden ser eliminados de la expresión. Edopena Microprocesadores

19 [ Algebra de Boole ] Mapas de Karnaugh MAPAS DE KARNAUGH
Visualización del dominio de una función en forma matricial. Puntos del dominio están dispuestos siguiendo el código Gray, pares adjacentes difieren en un bit. Edopena Microprocesadores

20 [ Algebra de Boole ] Mapas de Karnaugh ADJACENCIA DEL MAPA DE KARNAUGH
Los elementos extremos de las columnas y filas son adjacentes. Edopena Microprocesadores

21 [ Algebra de Boole ] Mapas de Karnaugh
El cubo obtenido es definido por las variables que no cambian de cara en todos sus minterms. Edopena Microprocesadores

22 [ Algebra de Boole ] Mapas de Karnaugh
La agrupación obtenida es definida por las variables que no cambian de cara en todos sus minterms. Edopena Microprocesadores

23 [ Algebra de Boole ] Mapas de Karnaugh Edopena Microprocesadores

24 [ Algebra de Boole ] Mapas de Karnaugh COMPLEMENTO DE UNA FUNCIÓN
Edopena Microprocesadores

25 [ Algebra de Boole ] Mapas de Karnaugh Edopena Microprocesadores

26 [ Algebra de Boole ] Mapas de Karnaugh KARNAUGH DE CUATRO VARIABLES
Edopena Microprocesadores

27 [ Algebra de Boole ] Mapas de Karnaugh Edopena Microprocesadores

28 [ Algebra de Boole ] Mapas de Karnaugh MINIMIZACIÓN CON IRRELEVANTES
Los puntos irrelevantes pueden ser considerados como un 1 o un 0 en el mapa de Karnaugh. Son utilizados para formar agrupaciones mayores, simplificando una función. Edopena Microprocesadores

29 [ Algebra de Boole ] Mapas de Karnaugh EJEMPLO COMPARADOR DE DOS BITS
Edopena Microprocesadores

30 [ Algebra de Boole ] Mapas de Karnaugh EJEMPLO COMPARADOR DE DOS BITS
Edopena Microprocesadores

31 [ Algebra de Boole ] Mapas de Karnaugh EJEMPLO COMPARADOR DE DOS BITS
Edopena Microprocesadores

32 [ Algebra de Boole ] Mapas de Karnaugh
MINIMIZACIÓN LÓGICA EN DOS NIVELES La minimización de dos niveles busca obtener las sumas del producto con un número mínimo de productos y literales. Minimizándose el número de productos se está reducido la altura de la implementación y, por consiguiente, su área. Estando reducido el número de literales, se reduce el número de transistores de la implementación digital, lo que minimiza la potencia disipada. Ej Sumador de 1 bit Edopena Microprocesadores

33 [ Algebra de Boole ] Mapas de Karnaugh Conceptos Básicos
Implicante: una agrupación c es un implicante de una función f si para todo vector x donde c(x) = 1, tenemos que f(x) = 1. O sea c Æ f En álgebra Booleana “²” es una relación de orden parcial, análoga a relación "está contenido en" entre conjuntos. Puede ser definida como “un conjunto de minterms de c está contenido en f”. Edopena Microprocesadores

34 [ Algebra de Boole ] Mapas de Karnaugh Conceptos Básicos
Implicante primo: es una agrupación que no está contenida en ninguna otra agrupación de la función (o, no puede ser mas expandido) Implicante primo esencial: es un implicante primo que contiene al menos un minterm que no está contenido en ningún otro implicante de la función. Edopena Microprocesadores

35 [ Algebra de Boole ] Mapas de Karnaugh
Una cobertura de una función f y una suma de productos que contienen todos los minterms de f (cobre f) Una cobertura prima es aquella compuesta apenas por implicantes primos Una cobertura irredundante es aquella en que ninguno de las dos agrupaciones puede ser removida sin alterar la función. Edopena Microprocesadores

36 [ Algebra de Boole ] Mapas de Karnaugh Ejemplos
Edopena Microprocesadores

37 [ Algebra de Boole ] Mapas de Karnaugh COBERTURA MÍNIMA CON MAPA DE
Seleccione un minterm mi de la función. Expanda mi en todas las direcciones posibles, generando así todos los implicantes primos que cubren mi . Repita los pasos anteriores para todos los minterms de la función, generando todos los implicantes primos posibles. Identifique y separe los implicantes esenciales. Los minterms cubiertos por ellos pueden ser considerados como puntos irrelevantes. Seleccione un conjunto mínimo de implicantes que cubra los minterms restantes. Edopena Microprocesadores

38 [ Algebra de Boole ] Mapas de Karnaugh Ejemplo
Edopena Microprocesadores

39 [ Algebra de Boole ] Mapas de Karnaugh Continuación Ejemplo
Edopena Microprocesadores

40 [ Algebra de Boole ] Quine McClusky MÉTODO DE QUINE McCLUSKY
Tome los minterms de la función y expanda sucesivamente los minterms en todas direcciones posibles (variables en espacio Booleano). Obtener así todos los implicantes primos de la función. Seleccione un subconjunto que cubra la función que tenga un costo mínimo. Detección y remoción de primos esenciales. Dominancia de línea y de columna. Branch and bound cuando no hay dominancia. Edopena Microprocesadores

41 [ Algebra de Boole ] Quine McClusky x1·x3' -> 1-0 x3 -> --1
McCluskey: Representar los implicantes en notación binaria : X= {x1, x2, x3} x1·x3' > x > x1'·x2'·x > Tabular los implicantes en grupos de mismo peso (1's) para reducir el número de comparaciones . Edopena Microprocesadores

42 [ Algebra de Boole ] Quine McClusky
Expansión de minterms Ejemplo: F = S (1, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15) Expansión de los minterms de los implicantes. Edopena Microprocesadores

43 [ Algebra de Boole ] Quine McClusky Implicantes Primos: p1 = x1·x0
p5 = x3·x1'·x0' p7 = x3·x2·x1' p2 = x2·x0 p4 = x3'·x0 p6 = x3·x2'·x0' Edopena Microprocesadores

44 [ Algebra de Boole ] Quine McClusky Cobertura de función
Edopena Microprocesadores

45 [ Algebra de Boole ] Cobertura de función Quine McClusky
Dominancia de Línea: si todos los minterms de una línea lx están contenidos en una línea ly, entonces ly domina a lx y lx puede ser removida de la tabla esto indica que el implicante py cubre al implicante px Edopena Microprocesadores

46 [ Algebra de Boole ] Cobertura de función Quine McClusky
Dominancia de columna: si todos los minterms de una columna cx están contenidos en una columna cy, entonces cy domina a cx y cy puede ser removida de la tabla cubriendo el minterm mx automáticamente se cubre my Edopena Microprocesadores

47 Problemas con el método de Quine:
[ Algebra de Boole ] Quine McClusky CAD PARA MINIMIZACIÓN Problemas con el método de Quine: Computacionalmente es ineficiente Genera todos los implicantes primos Complejidad de: (3 ^ n)/n Parte de los minterms de la función Complejidad de: 2n-1 Edopena Microprocesadores

48 [ Algebra de Boole ] RESUMEN Resumen
Punto de partida: una suma de productos (no mintermos) Respete iterativamente la secuencia de operaciones: Expand: Expande los implicantes hasta su tamaño máximo Extraer esenciale primos Cobertura Irredundante: generar una cobertura irredundante Reducir: reduzca los implicantes hasta su tamaño mínimo Respete los pasos anteriores hasta no obtener ganancias Last gasp: la inserción de un primo cualquiera no puede llevar a eliminación de dos primos de la cobertura Edopena Microprocesadores

49 [ Algebra de Boole ] Resumen Edopena Microprocesadores

50 [ Algebra de Boole ] Resumen Edopena Microprocesadores

51 [ Algebra de Boole ] Resumen Edopena Microprocesadores