Tema V Programación Lineal

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1 Tema V Programación Lineal
MATEMÁTICAS A. CS II Tema V Programación Lineal @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

2 PRODUCCIÓN Y TRANSPORTE
TEMA * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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REBAJAS DE ENERO Un comercio ofrece un lote A de 2 camisas y un pantalón, y otro lote B de 3 camisas y dos pantalones. Cada lote de A le reporta un beneficio de 20 € y por cada lote B le reporta un beneficio de 40 €. Dispone de 600 camisas y 400 pantalones. Determina los lotes de tipo A y de B que debe vender para maximizar sus beneficios. 1.- Función objetivo Sea x = Nº de lotes de tipo A. Sea y = Nº de lotes de tipo B. F(x,y) = 20.x + 40.y 2.- Restricciones del problema 2.x + 2.y <= 600 , pues no puede vender más de 600 camisas. x + 2.y <= 400 , pues no tiene más de 400 pantalones. x >=0 , pues debe ser una cantidad positiva y >=0 , pues debe ser una cantidad positiva @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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3.- Determinamos la región factible 2x + 2y ≤ 600 y ≤ 500/3 – (2/3)x Tabla: x = 0  y = 300 x = 300  y = 0 x + 2y ≤ 400 y ≤ 200 – (1/2)x x = 0  y = 200 x = 400  y = 0 Vértices A(0,0) B(0,200) C(200,100) D(300,0) Y 300 200 100 B C D A X @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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4.- Hallamos los valores que dan el máximo beneficio MODO GRÁFICO: Dibujamos la recta 20.x + 40.y = 0 y = – (20 / 40).x Tabla x y 200 – 100 Y hacemos pasar paralelas a ella por todos vértices de la región factible. Vemos que la paralela por el vértice B coincide con la paralela por el vértice C Solución: Todos los puntos del segmento BC (de coordenadas enteras por la naturaleza del enunciado) Y 300 200 100 B C D A X @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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5.- Hallamos los valores que dan el máximo beneficio MODO ANALÍTICO: Calculamos el valor de la función en los vértices F(x,y) = 20.x + 40.y F(A)=F( 0,0 ) = = = 0 F(B)=F( 0,200 ) = = = = 80000 F(C)=F( 200,100 ) = = = = = 80000 F(D)=F( 300, 0 ) = = = = 60000 Vemos que el los vértices B y C se obtiene la máxima ganancia, la misma. Solución: 0 ≤ x ≤ 200 lotes de tipo A 100 ≤ y ≤ 200 lotes de tipo B Y 300 200 100 B C D A X @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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VENTA DE LIBROS Las ventas de libros producen 200 € por cada título que sale al mercado. Pero los gastos de la edición se elevan al doble del cuadrado de títulos publicados. Si por cada título edita 20 ejemplares vende un mínimo de 1200 libros. Pero si por cada título edita 30 ejemplares vende un máximo de 2400 libros. Hallar el número de títulos que debe sacar al mercado anualmente para obtener el máximo beneficio. 1.- Función objetivo: F(x) = 200.x – 2.x2 Siendo x el número de títulos a la venta. 2.- Restricciones: Región factible: 20.x >= 1200 30.x <= 2400 Es decir x >= 60 x <= 80 Y X @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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4.- Hallamos el punto o puntos de la región factible que nos da el máximo beneficio. A.- MODO GRÁFICO En este caso el único posible, pues No hay vértices. Dibujamos la función objetivo y sus ¿paralelas? por los vértices F(x) = 200.x – 2.x2 200.x – 2.x2 = 0 2.x.(100 – x) = 0 Parábola convexa de vértice: x = – 200/(– 4) = 50 y = – = 5000 Pc(0, 0) y Pc(100, 0) Vemos que el vértice de la parábola queda fuera de la región factible. Solución: x = 60 títulos. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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LOGÍSTICA Una empresa de transportes de personas posee 7 autocares de 52 plazas cada uno y 4 autocares mini de 35 plazas cada uno. Los conductores, dos en cada autocar grande y uno en cada autocar pequeño, cobran 300 € el viaje. Los autocares consumen en combustible 350 € y 200 € en cada viaje respectivamente. Se dispone que el número de autocares mini sea siempre menor que el de autocares normales. Determina el número de autocares y de mini-autocares que deben poner en funcionamiento, en el supuesto de tener un viaje para 270 personas, para que los gastos sean mínimos. 1.- Función objetivo Sea x = Nº de autocares. Sea y = Nº de mini-autocares. F(x,y) = ( ).x + ( ).y = 950.x y @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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2.- Restricciones del problema 52.x + 35.y ≥ 270 , pues se debe poder llevar al menos a 270 personas. x <= 7 , pues a lo sumo hay 7 autocares. y <= 4 , pues a lo sumo hay 4 mini-autocares x >=0 , pues debe ser una cantidad positiva y >=0 , pues debe ser una cantidad positiva. 3.- Determinamos la región factible y ≥ (270 – 52.x) / 35  y ≥ 7,71 – 1,5.x Tabla: x = 0  y = 7,71 x = 1  y = 6,21 x ≤ 7 y ≤ 4 7,5 5 2,5 , ,5 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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Calculamos los vértices teóricos Vértice A 0 = 7,71 – 1,5.x x = 7,71 / 1,5 = 5,14 A(5,14 , 0) Vértice B y = 7,71 – 1,5.x y = 4 4 = 7,71 – 1,5.x 1,5.x = 3,71 x = 3,71 / 1,5 = 2,47 B(2,47, 4) Vértice A real Vértice C A(5 , 1) C(7 , 4) Vértice B real Vértice D B(3,4) D(7, 0) 7,5 5 2,5 B C A D , ,5 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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4.- Hallamos los valores que dan el mínimo gasto MODO GRÁFICO: F(x,y) = 950.x y Dibujamos la recta 850.x y = 0 y = – (850 / 500).x = – 1,7.x Tabla x y 3 – 5,1 Y hacemos pasar paralelas a ella por todos vértices de la región factible. Vemos que la paralela por el vértice B es la que menor ordenada presenta en el corte con el eje. Solución: B(2,47 , 4) x = 3 autocares normales y = 4 mini-autocares 7,5 5 2,5 B C A D , ,5 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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5.- Hallamos los valores que dan el mínimo gasto MODO ANALÍTICO: Calculamos el valor de la función en los vértices F(x,y) = 950.x y F(A)=F(5,1) = = 5250 F(B)=F(3,4) = = = = 4850 F(C)=F(7,4) = = = = 8650 F(D)=F(7,0) = = 6650 Vemos que el vértices B es el que presenta el menor gasto. Solución: x = 3 autocares normales y = 4 mini-autocares Podría pensarse que el vértice real A(5, 1) es en realidad A(6,0). Comprobemos: F(A) = F(6,0) = = 5700, mayor que los 4850 € 7,5 5 2,5 B C A D , ,5 Ojo: El punto P(4,2) es la verdadera solución @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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Comentario importante al problema de logística La solución es: 3 autocares y 4 mini-autocares. El gasto realizado por la empresa ha sido: F(B)=F(3,4) = = = 4850 El número de plazas disponibles para 270 personas es: Plazas = = = 296 , 26 más de las necesarias. Casi un mini-autocar de sobra. Atención: Supuesto de solución real: Con 4 autocares y 2 mini-autocares. El gasto realizado por la empresa habría sido: F(4,2) = = = 4800 Plazas = = = 278 , sólo 8 más de las necesarias. Como se ve, al no ser coordenadas enteras, la solución puede ser falsa. El punto P(4,2) cumple mejor las condiciones del ejercicio que el B(3,4). Por lo tanto, cuando las coordenadas de los vértices no son enteras como lo exige la naturaleza del ejercicio, hay que tener especial cuidado. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.