INECUACIONES Factor

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1 INECUACIONES Factor 𝑋+1<0 𝑋+1>0 𝑋+1≤0 𝑋+1≥0 Menor Mayor Menor o igual Mayor o igual Resolver: 3𝑥+1−𝑥>6+𝑥 Para que el factor sea cero ¿Cuánto vale x? 3𝑥 −𝑥 −𝑥 +1 −6 >0 5 𝑥−5 >0 Punto Crítico Menor o igual Mayor o igual −∞ +∞ − 5 + Menor Mayor 𝑅𝑝𝑡𝑎: < 𝟓,+∞ > 2𝑥−5+4𝑥−𝑥+1<3𝑥−8 Para que el factor sea cero ¿Cuánto vale x? 2𝑥 +4𝑥 −𝑥 −3𝑥 −5 +1 +8 <0 −2 2𝑥 +4 <0 𝑅𝑝𝑡𝑎: < −∞,−𝟐 > −∞ +∞ − −2 +

2 Resolver: 8𝑥+10−13𝑥≥16−7𝑥 Para que el factor sea cero ¿Cuánto vale x? 8𝑥 −13𝑥 +7𝑥 +10 −16 ≥0 3 2𝑥−6 ≥0 −∞ +∞ − 3 + 𝑅𝑝𝑡𝑎: [ 3,+∞ > 𝑥−5+3𝑥−2𝑥+3≥5𝑥−8 Para que el factor sea cero ¿Cuánto vale x? 𝑥 +3𝑥 −2𝑥 −5𝑥 −5 +3 +8 ≥0 2 −3𝑥 +6 ≥0 −∞ +∞ − 2 + Cambiamos de signo a toda la inecuación La desigualdad cambia de sentido 𝑅𝑝𝑡𝑎: < −∞,𝟐 ] 3𝑥−6≤0 Teorema: cuando cambie de signo a toda una desigualdad, la desigualdad cambia de sentido

3 𝑥 2 −6𝑥+2<0 𝑥 2 −6𝑥= (𝑥− ) 2 −9 +2<0 (𝑥−3) 2 − 7 ( ) 2 (𝑥−3 +
INECUACIONES CUADRÁTICAS 𝑥 2 −6𝑥+2<0 Para que el primer factor sea cero ¿Cuánto vale x? 3− 7 𝑥 2 −6𝑥= (𝑥− ) 2 −9 3 +2<0 Para que el segundo factor sea cero ¿Cuánto vale x? (𝑥−3) 2 − 7 ( ) 2 3+ 7 (𝑥−3 + 7 ) (𝑥−3 − 7 ) <0 Se procede igual que las inecuaciones lineales solo que ahora tiene dos puntos críticos −∞ +∞ + 3− 7 − 3+ 7 + 𝑅𝑝𝑡𝑎: < 3− 7 ,3+ 7 >

4 𝑥 2 −4𝑥−5>0 𝑥 2 −4𝑥= (𝑥− ) 2 2 −4 −5>0 (𝑥−2) 2 − 9 (𝑥−2 + 3)
Para que los factores sean cero ¿Cuánto vale x? 𝑥 2 −4𝑥= (𝑥− ) 2 2 −4 −5>0 𝑥=−1; 𝑥=5 (𝑥−2) 2 − 9 (𝑥−2 + 3) (𝑥−2 − 3) >0 −∞ + −1 − 5 + +∞ (𝑥−5) (𝑥+1) Se procede igual que las inecuaciones lineales solo que ahora tiene dos puntos críticos 𝑅𝑝𝑡𝑎: < −∞,−1 > ∪ < 5,+∞ > 𝑥 2 −6𝑥−7≤0 𝑥 2 −6𝑥= (𝑥− ) 2 3 −9 −7≤0 (𝑥−3) 2 − 16 −∞ +∞ + −1 − 7 + (𝑥−3 + 4) (𝑥−3 − 4) ≤0 [ ] 𝑹𝒑𝒕𝒂: −1,7 (𝑥+1) (𝑥−7)

5 𝑥 4 −4𝑥 3 −7𝑥 2 +22𝑥+24>0 < > < > < > [ ] [ ]
INECUACIONES POLINÓMICAS 𝑥 4 −4𝑥 3 −7𝑥 2 +22𝑥+24>0 Después que aplica la teoría (Descartes y Gauss) ha llegado a formar los factores: (𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+1)(𝑥−4)>0 Para que cada factor se haga cero: −𝟐 𝟑 −𝟏 𝟒 De forma ordenada en la recta: + −𝟐 − −𝟏 + 𝟑 − 𝟒 + ¿Qué signo elige? Solo debe unir los intervalos < −∞,−2 > ∪ < −1,3 > ∪ < 4,+∞ > Resolver: (𝒙−𝟓)(𝒙+𝟕)(𝒙+ 𝟐 )(𝒙−𝟑)≤𝟎 𝟓 −𝟕 − 𝟐 𝟑 Para que cada factor se haga cero: De forma ordenada en la recta: + −𝟕 − − 𝟐 + 𝟑 − 𝟓 + [ ] [ ] −7,− 2 ∪ 3,5

6 INECUACIONES RACIONALES
𝑥−4 𝑥+2 <0 (𝑥+2)(𝑥−3) 𝑥+7 >0 (𝑥−5)(𝑥+6) (𝑥+3)(𝑥−2) ≥0 + −2 − 4 + − −7 + −2 − 3 + + −6 − −3 + 2 − 5 + < −𝟕,−2 > ∪ < −𝟐,𝟒 > < > < −∞,−𝟔 ] ∪ [ −𝟑,𝟐 ] ∪ [ 𝟓,+∞ > 𝟑,+∞ El Denominador nunca debe ser cero Rpta: < > OBSERVE: LOS FACTORES SON LINEALES Y EN NINGUNO «X» ES NEGATIVO

7 ¿Qué pasa si hay varios factores negativos?
( 𝑥 2 −6𝑥−7)(3−𝑥) (𝑥+3)(𝑥−2) ≥0 Puntos Críticos (𝑥−7)(𝑥+1)(3−𝑥) (𝑥+3)(𝑥−2) ≥0 (𝑥−7)(𝑥+1)(𝒙−𝟑) (𝑥+3)(𝑥−2) ≤𝟎 { 7 ,−1 ,3 ,-3 ,2 } − -3 + −1 − 2 + 3 − 7 + Rpta: < −∞,−𝟑 > ] ∪ [ −𝟏,𝟐 > ] ∪ [ 𝟑,𝟕 ] Si el número de factores es Par no se cambia el sentido ¿Qué pasa si hay varios factores negativos? (5−𝑥)(6−𝑥)(9−𝑥) (𝑥+3)(𝑥−2)(7−𝑥) ≥0 (𝑥−5)(𝑥−6)(𝑥−9) (𝑥+3)(𝑥−2)(𝑥−7) ≥0 Si es Impar se cambia el sentido ¿Qué pasa si los factores cuadráticos no se pueden reducir? ( 𝑥 2 −4𝑥+7)(3−𝑥) (𝑥+3)( 𝑥 2 +2) ≥0 (3−𝑥) (𝑥+3) ≥0 Se eliminan y se continua con el ejercicio

8 ¿Qué pasa si los factores se encuentran elevados a una potencia?
( 𝒙 𝟐 −𝟐𝒙−𝟑) 𝟔 (𝒙−𝟑) 𝟓 (𝒙+𝟏) 𝟖 (𝟓−𝒙) 𝟏𝟐 𝒙+𝟐 𝟓𝟕 ≤0 Los factores pueden estar elevados a una potencia par o impar Los factores además pueden tener negativa la variable «x» Los factores no son lineales y están elevados a una potencia par o impar 𝑎 𝑛 .𝑏>0 𝑎 𝑛 .𝑏<0 𝑎 𝑛 .𝑏≥0 𝑎 𝑛 .𝑏≤0 𝑏 𝑎 𝑛 >0 𝑏 𝑎 𝑛 <0 𝑏 𝑎 𝑛 ≥0 𝑏 𝑎 𝑛 ≤0 𝒃>𝟎 𝒂≠𝟎 𝒃<𝟎 𝒂≠𝟎 𝒃≥𝟎 𝒂=𝟎 𝒃≤𝟎 𝒂=𝟎 Primer caso: Factor con Potencia Par 𝒃>𝟎 𝒂≠𝟎 𝒃<𝟎 𝒂≠𝟎 𝒃≥𝟎 𝒂≠𝟎 𝒃≤𝟎 𝒂≠𝟎

9 ( 𝒙 𝟐 −𝟐𝒙−𝟑) 𝟔 (𝒙−𝟑) 𝟓 (𝒙+𝟏) 𝟖 (𝟓−𝒙) 𝟏𝟐 𝒙+𝟐 𝟓𝟕 ≤0
𝑎 𝑛 .𝑏>0 𝑎 𝑛 .𝑏<0 𝑎 𝑛 .𝑏≥0 𝑎 𝑛 .𝑏≤0 𝑏 𝑎 𝑛 >0 𝑏 𝑎 𝑛 <0 𝑏 𝑎 𝑛 ≥0 𝑏 𝑎 𝑛 ≤0 𝒂.𝒃>𝟎 𝒂.𝒃<𝟎 𝒂.𝒃≥𝟎 𝒂.𝒃≤𝟎 Primer caso: Factor con Potencia Impar 𝒂.𝒃>𝟎 𝒂≠𝟎 𝒂.𝒃<𝟎 𝒂≠𝟎 𝒂.𝒃≥𝟎 𝒂≠𝟎 𝒂.𝒃≤𝟎 𝒂≠𝟎