Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Presentación del tema: "Apuntes de Matemáticas 3º ESO"— Transcripción de la presentación:

1 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Tema * 3º ESO SUCESIONES @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

2 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Tema * 3º ESO SUMA DE TÉRMINOS EN P.G. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

3 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Suma de términos en P.G. Demostramos la fórmula de la suma: S = a + a + a + a a a a k n‑1 n Si multiplico todo por la razón r, queda : S.r = a .r + a . r + a . r a .r + a .r n‑ n Restando una de otra expresión : S ‑ S.r = a ‑ a . r n a1 - an S.(1 ‑ r ) = a ‑ a . r  S = n r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

4 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
FÓRMULA ALTERNATIVA La fórmula anterior en muchas ocasiones hay que combinarla con la fórmula principal, quedando una nueva fórmula de la suma: n a . ( 1 – r ) 1 S = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----‑ 1 – r EN CASO DE P.G. INFINITAS Y RAZÓN MENOR QUE 1 Al ser r<1, la potencia roo  0 Quedando la fórmula de la suma así: a . ( 1 – 0) a S = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--‑ = 1 – r – r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

5 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Ejemplo_1 Hallar la suma de las 12 primeras potencias de 3. La P.G. sería: an = 3, 9, 27, … Donde a1 = 3 , r = 3 y n = 12 Como an = a1 . rn – 1 Hallamos a12 = – 1 = 312 Y aplicando la suma: S = (a1 - an r ) / (1- r.) = (3 – 312.3) / (1 – 3) = Ejemplo_2 Hallar la suma de los 100 primeros términos de la siguiente progresión: an = 4, 2, 1, … Es una PG, donde a1 = 4 , r = ½ y n = 100 Hallamos a100 = 4 . (1/2) 100 – 1 = 4.0,599 = 4.1, – 30 = 6,31.10 – 30 S = (a1 - an r ) / (1- r.) = (4 – 6,31.10 – 30 .0,5) / (1 – 0,5) = 8 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

6 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Ejemplo_3 Hallar la suma de las áreas de los infinitos triángulos equiláteros inscritos en uno de 4 cm de lado. La altura de un triángulo equilátero es: h = l.√3 / 2 En el triángulo grande: h = 4. √3 / 2 = 2. √3 El área será: A=b.h/2 = √3 / 2 = 4. √3 En el siguiente triángulo, de lado 2: h = 2. √3 / 2 = √3 El área será: A=b.h/2 = 2. √3 / 2 = √3 En el siguiente triángulo, de lado 1: h = 1. √3 / 2 = √3 / 2 El área será: A=b.h/2 = 1. (√3 / 2) / 2 = √3 / 4 Las áreas forman la sucesión: 4.√3 , √3 , √3 / 4 , … Que es una PG de razón r=1/4 , menor que la unidad. S = a1 / (1 – r) = 4.√3 / (1 – 0,25) = 16.√3 / 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

7 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Problema_1 En un tablero de ajedrez se pone 1 € en la primera casilla, 2 € en la segunda, 4 € en la tercera y así sucesivamente hasta la 64ª casilla. Hallar la suma de todos los euros colocados. La P.G. sería: an = 1, 2, 4, 8, 16, … Donde a1 = 1 , r = 2 y n = 64 Hallamos a64 = a = 2 Y aplicando la suma S = (a1 - an r ) / (1- r.) queda: S = ( ) / ( 1 – 2 ) = = 1,8 . 10 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

8 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Problema_2 En una población un vecino se entera de una noticia importante y en una hora se la comunica a cuatro vecinos, cada uno de los cuales, también en una hora, la transmite a su vez a otros cuatro, y así sucesivamente. ¿Cuántos vecinos conocerán la noticia al cabo de 12 horas?. La sucesión de vecinos informados hora a hora sería: an = 1, 4, 16, … Está claro que es una P.G. donde a1 = 1 , r = 4 y n = 12 Hallamos a12 = a = 4 Y aplicando la suma S = (a1 - an r ) / (1- r.) queda: S = ( ) / ( 1 – 4 ) = ( ) / 3 = @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

9 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Problema_3 Mónica le dice a Carlos: “Tu me das 0,01 € un día, 0,02 € otro día, 0,04 € otro día, y así sucesivamente durante un mes. A cambio yo te doy 1 € un día, 2 € otro día, 3 € otro día, y así hasta un mes. ¿Aceptas?. “ Carlos enseguida aceptó, pues parecía muy evidente que a cambio de muy pocos euros se iba a llevar algunos cientos de euros. ¿Quien crees que salió perdiendo?. RESOLUCIÓN: Lo que da Mónica a Carlos: ( an )= 1 , 2 , 3 , 4 , 5, … Es una PA, donde a1 = 1 , d = 1 y n = 30 Lo que da Carlos a Mónica: ( an )= 0,01 , 0,02 , 0,04 , 0,08, … Es una PG, donde a1 = 0,01 , r = 2 y n = 30 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

10 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Para hallar la suma de todo lo que le da Mónica a Carlos y viceversa necesitamos saber el valor del último término, lo que se dan mutuamente el último día. Lo que da Mónica a Carlos el último día: a30 = a1 + (n-1).d = 1 + (30 – 1).1 = = 30 € Lo que da Carlos a Mónica el último día: n a30 = a1 . r = 0, = € Veamos ahora la suma de ambos: Lo que da Mónica a Carlos en total: S = (a1 + a30 ). 15 = (1+30).15 = = 465 € Lo que da Carlos a Mónica en total: S = (a1 - a30 . r ) / ( 1-r) = (0,01 – ) / (1- 2) = € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

11 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Problema_4 Al pagar una motocicleta, nos ofrecen la posibilidad de hacerlo en cómodos plazos mensuales (letras). El 1º mes pagamos 100 € y cada uno de los once meses restantes el 5% más que el mes anterior. ¿Qué tipo de progresión es?. ¿Qué pagaremos el último mes?. ¿Cuáles han sido los intereses si la motocicleta costaba 1200 €?. Resolución: a1 = 100 a2 = %(100) = = 105 a3 = %(105) = ,25 = 110,25 Vemos que no es una PA pues la diferencia no es constante. 105 – 100 <> 110,25 – 105 a2 = a1 r  r = a2 / a1 = 105 /100 = 1,05 a3 = a2 r  110,25 = 105.1,05  110,25 = 110,25 Vemos que es una PG de razón 1,05 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

12 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
… Resolución: El último mes habremos pagado por la letra: a12 = a1 . 1,0511 = ,71 = 171 € En total habremos pagado por la motocicleta: S = a1 .(1 – rn)/ (1 – r) = 100 .(1 – 1,0512)/ (1 – 1,05) = = 100 ( 1 – 1,7958)/(– 0,05) = – 79,58 / (– 0,05) = 1592 € Intereses abonados: 1592 – 1200 = 392 € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

13 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Problema_5 En un depósito de agua se produce una grieta que aumenta al paso de los días de modo que perdemos 5 litros el primer día, 10 el segundo día, 20 el tercer día, y así sucesivamente. Al mismo tiempo al depósito le llegan 100 litros el primer día, 200 litros el segundo día, 300 litros el tercer día, y así sucesivamente. Al cabo de 10 días, ¿habrá agua en el depósito, inicialmente vacío?. ¿Y a los 12 días?. RESOLUCIÓN: Lo que llega al depósito: ( an )= 100 , 200 , 300 , 400 , 500, … Es una PA, donde a1 = 100 , d = y n = 10 ( días) Lo que pierde el depósito: ( an )= 5 , 10 , 20 , 40, 80, … Es una PG, donde a1 = 5 , r = 2 y n = 10 ( días) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

14 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Para hallar la suma de todo lo que llega y de todo lo que pierde, necesitamos saber el valor del último término, lo que llega y lo que pierde el último día. Lo que llega el último día: a10 = a1 + (n-1).d = (10 – 1).100 = = litros Lo que pierde el último día: n a10 = a1 . r = = = litros Veamos ahora la suma de ambos: Lo que llega en total: S = (a1 + a10 ). 5 = ( ).5 = = litros Lo que pierde en total: S = (a1 - a10 . r ) / ( 1-r) = (5 – ) / (1- 2) = litros @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

15 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
A los 10 días tendremos agua, pues es mayor la cantidad suministrada que la perdida. Veamos al cabo de 12 días: Lo que llega el último día: a12 = a1 + (n-1).d = (12 – 1).100 = = litros Lo que pierde el último día: n a12 = a1 . r = = = litros Veamos ahora la suma de ambos: Lo que llega en total: S = (a1 + a10 ). 5 = ( ).5 = = litros Lo que pierde en total: S = (a1 - a12 . r ) / ( 1-r) = (5 – ) / (1- 2) = litros @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO