Procesamiento Digital de Señales

Presentación del tema: "Procesamiento Digital de Señales"— Transcripción de la presentación:

1 Procesamiento Digital de Señales
Tema 1: Muestreo de Señales y Conversión A/D Procesamiento Digital de Señales Ing. Jorge Enrique Montealegre

2 Muestreo de Señales y Conversión A/D
Introducción Conversión A/D Teorema del muestreo

3 1. Introducción Señales, sistemas y procesamiento de señales
Una señal está definida como una cantidad física que varía en el tiempo, espacio, o con otra(s) variable(s) s1(t) = 5t s2(t) = 20 t2 s(x,y) = 3x + 2xy + 10y2 s =∑1≤i≤N Ai(t) sen[2πFi(t)t + θi(t)]

4 ¿Cómo se generan las señales?
La generación de la señal está asociada con un sistema que responde al estímulo. El estímulo en combinación con el sistema es llamado fuente de la señal. Un sistema se puede definir como un dispositivo físico que efectúa una operación a una señal. La realización de esas operaciones son referidas como procesamiento de la señal.

5 Elementos básicos de un sistema PDS.
La mayoría de las señales son analógicas por naturaleza. Estas señales son funciones de una variable continua (tiempo, espacio). Pueden procesarse con sistemas analógicos (filtros o analizadores de frecuencia). En estos casos la señal se ha procesado directamente en su forma analógica. Procesador de la señal analógica Señal Analógica de entrada Señal Analógica de salida

6 Se requiere de una interfaz: Convertidor A/D
El procesamiento de la señal digital nos da un método alternativo para procesar la señal analógica Se requiere de una interfaz: Convertidor A/D En ciertas aplicaciones requerimos de otra interfaz: Un convertidor D/A Procesador de la señal digital Señal Analógica de entrada de salida A/D D/A digital de entrada salida

7 Clasificación de las señales
Los métodos a emplear en el procesamiento ó análisis de una señal depende en gran medida de sus características. Señales multicanal y multidimensionales. Señales continuas y discretas en el tiempo. Señales con valores continuos y con valores discretos. Señales determinísticas y aleatorias.

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9 Concepto de frecuencia en señales continuas y discretas en el tiempo.
xa(t) = A cos(Ωt + θ), -∞ < t < ∞ Ω = 2πF : Frecuencia angular Para cada F determinada, xa(t) es periódica. Tp = 1/F es el período fundamental. Diferentes frecuencias, señales diferentes Mayor frecuencia, mayor oscilación xd(n) = A cos(ωn + θ), -∞ < n < ∞ ω = 2πf : Frecuencia angular La señal es periódica si f es un racional. f = k/N; cos[2πf(N+n) + θ] = cos[2πfn + θ] El menor N es el periodo fundamental. Dos o más señales son iguales si sus f las separa un múltiplo de 2π La mayor oscilación solo se logra si ω= ± π ó f = ± ½ Nota: Identidad de Euler Acos(ωn + θ) = ½Aej(ωn + θ) + ½Ae-j(ωn + θ)

10 2. Conversión A/D Muchas señales de interés práctico son analógicas: voz, sísmicas, biológicas, radar, sónar, audio, video, etc. Para procesarlas por medios digitales es necesario convertirlas en una señal digital: Conversión Analógica a Digital. Esta conversión consta de tres pasos: Muestreo Cuantización Codificación

11 Conversión A/D

12 Muestreo Cuantización Codificación
Conversión de una señal continua a discreta en el tiempo a través de muestras de la señal tomadas en instantes discretos de tiempo. xa(t) es la entrada al “muestreador” x(nT) ≡ x(n) es la salida T es el intervalo de muestreo Cuantización Conversión de una señal discreta de valores continuos a valores discretos (digital). El valor de cada muestra se representa con un elemento seleccionado de un conjunto finito de posibles valores. La diferencia x(n) – xq(n) se llama error de cuantización. Codificación Cada valor discreto cuantizado xq(n) se representa mediante una secuencia binaria b-bit.

13 Se conectan puntos a través de interpolación
Convertidor A/D Muestreador Cuantizador Codificador x(n) xq(n) xa(t) 0100… Señal analógica Señal discreta Señal cuantizada Señal digital En ocasiones es deseable convertir la señal digital procesada en analógica: Convertidor D/A Se conectan puntos a través de interpolación Para señales con contenido de frecuencia limitado (ancho de banda finito), el teorema de muestreo especifíca la forma óptima de interpolar

14 El muestreo no produce pérdida de información ni distorsión si la señal tiene un ancho de banda finito Una señal análoga se puede reconstruir de muestras si la tasa de muestreo es lo suficientemente alta para no producir aliasing La cuantización es irreversible y produce distorsión, la cual depende de la resolución (número de bits). La resolución implica costo, lo mismo que la tasa de muestreo

15 Aliasing

16 x(n) = xa(nT), -∞ < n < +∞
Muestreo de señales analógicas Muestreo periódico o uniforme. x(n) = xa(nT), -∞ < n < +∞ T es el período de muestreo Fs = 1/T es la tasa o frecuencia de muestreo (# de muestras por segundo ó Hertz) t = nT = n/Fs Relación entre al F de la señal analógica y la f de la señal digital: f = F/Fs x(n) = xa(nT)

17 Muestreo

18 Relaciones entre variables de frecuencia
Señal continua Señal discreta Ω = 2πF rad/s Hz ω = 2πf rad/muestra ciclos/muestra ω = ΩT f = F/Fs x(n) = Acos(2πfn + θ) Acos(ωn + θ) xa(t) = Acos(2πFt + θ) Acos(Ωt + θ) - π ≤ ω ≤ π - ½ ≤ f ≤ ½ Ω = ω/T F = f·Fs - ∞ ≤ Ω ≤ ∞ - ∞ ≤ F ≤ ∞ - π/T ≤ Ω ≤ π/T - Fs/2 ≤ F ≤ Fs/2 El muestro introduce ambigüedad, la frecuencia más alta en una señal continua que puede distinguirse cuando la señal se muestrea a Fs = 1/T es Fmax = ½ Fs = 1/(2T) y Ωmax = πFs = π/T

19 Sean x1(t) = cos20πt y x2(t) = cos100πt con Fs = 40 Hz
¿Cuáles son x1(n) y x2(n)?

20 xa(t) = 3 cos 100π t ¿Cuál sería la Fs mínima para evitar aliasing? Si Fs = 200 Hz ¿Cuál sería x(n)? Si Fs = 75 Hz ¿Cuál sería x(n)? ¿Cuál sería la frecuencia 0 < F < Fs/2 de una señal senoidal con muestras idénticas a x(n) en c)? Respuestas Fs ≥ 100 Hz x(n) = 3 cos(π n/2) x(n) = 3 cos(2 π n/3) F = 25 Hz ya(t) = 3 cos 50 π t

21 3. Teorema del muestreo Dada una señal analógica, ¿cómo podemos seleccionar el período de muestreo T, o su tasa de muestreo Fs? Información acerca de la señal: contenido de frecuencia. Señal de voz: Menor a 3000 Hz Señal de TV: Menor a 5 MHz La informacion se encuentra en las amplitudes, frecuencias y fases de los componentes de la señal.

22 Conociendo la máxima frecuencia contenida en una señal, se puede determinar la tasa de muestreo.
Podemos suponer que las componentes de una señal no exceden a una frecuencia conocida Fmax. Con Fmax podemos determinar la tasa de muestreo adecuada a nuestra señal. Para evitar ambigüedades como el aliasing, la tasa de muestreo se selecciona de modo que: Fs > 2Fmax

23 Teorema del muestreo. La frecuencia más alta contenida en una señal analógica xa(t) es Fmax = B y si la señal se muestrea a una tasa Fs > 2Fmax ≡ 2B, entonces xa(t) puede recuperarse exactamente a partir de los valores de sus muestras empleando la función de interpolación g(t) = sen2πBt / 2πBt Así xa(t) puede expresarse como donde xa(n/Fs) = xa(nT) ≡ x(n) son las muestras de xa(t).

24 Cuando el muestreo se efectúa con la tasa mínima Fs = 2B, la fórmula de reconstrucción es:
La tasa de muestreo FN = 2B = 2Fmax se conoce como tasa de Nyquist.

25 Ejercicios. 1. ¿Cuál es la tasa de Nyquist para xa(t)? 2. ¿Cuál es la tasa de Nyquist para xa(t)? Si Fs = 5000 muestras/s ¿Qué señal se obtiene después del muestreo? ¿Cuál es la señal reconstruida ya(t) si usamos interpolación ideal?

26 Cuantización de señales de amplitud continua.
Una señal digital es una secuencia de muestras donde cada una se representa con un número finito de dígitos. El proceso de convertir una señal discreta de amplitud continua en una señal digital expresando cada valor de una muestra con un número finito de dígitos es llamado cuantización. El error introducido en la representación de una señal de valores continuos con un conjunto finito de niveles discretos de valores se llama error o ruido de cuantización.

27 La operación de cuantización de las muestras x(n) se representa como:
xq(n) = Q[x(n)] El error de cuantización se representa como: eq(n) = xq(n) – x(n)

28 Operaciones involucradas en la cuantización.
Truncamiento Redondeo val = t(val) = 0.5 r(val) = 0.6 Los valores permitidos en una señal digital se llaman niveles de cuantización. La distancia entre dos niveles sucesivos de cuantización se llama paso de cuantización o resolución (Δ). El error de cuantización eq(n) en el redondeo es: -Δ/2 ≤ eq(n) ≤ Δ/2

29 Si xmin y xmax representan los valores mínimo y máximo de x(n) y L es el número de niveles de cuantización, entonces: Δ = (xmax - xmin ) / (L - 1) xmax - xmin es el rango dinámico de la señal.

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31 Codificación de muestras cuantizadas.
La codificación en los convertidores A/D asigna un número binario único a cada nivel de cuantización. Una palabra de b bits crea 2b números binarios diferentes. Entonces tenemos 2b ≥ L ó b ≥ sup[log2L] Conversión D/A. La tarea del CDA es interpolar las muestras. El teorema del muestreo especifica la interpolación óptima para señales de banda limitada. Suele emplearse un postfiltrado a la señal obtenida de esta conversión. Ej, Filtro de aplanamiento.

32 Muestreo, cuantización e interpolación

33 La señal discreta x(n) = 6
La señal discreta x(n) = 6.35 cos (πn/10) es cuantizada con una resolución a) Δ = 0.1 b) Δ = 0.02 ¿Cuántos bits se requieren en cada caso y con cuántos niveles de cuantización L?

34 Bibliografía Digital Signal Processing: Principles, algorithms and applications J. G. Proakis & D. G. Manolakis. Pearson Education Inc. 3a Ed   Introduction to Signals and Systems, D. K. Lindner McGraw Hill, 1999. Signals and Systems: Continuous and Discrete. R. E. Ziemer, W. H. Tranter & D. R. Fannin Prentice Hall, 4a Ed. 1998 Principles of Signals and Systems F. J. Taylor McGraw Hill, 1a Ed. 1994 Signals and Systems A. V. Oppenheim Prentice Hall, 1a Ed Analog and Digital Communication Systems M. S. Roden Prentice Hall, 4a Ed