Grecia Matemáticas 2010-1.

Presentación del tema: "Grecia Matemáticas 2010-1."— Transcripción de la presentación:

1 Grecia Matemáticas 2010-1

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3 Dieudonné, J Mathematics the Music of Reason SpringerBerlín, 1998
Heath, Sir Thomas The thirteen books of Euclid's Elements translated from the text of Heiberg with introduction and commentary. Cambridge, University Press Dover NY, 1956. Heath, T A History of greek Mathematics. Dover NY 1981 Kline, M. Mathematicas Thought form Ancient to Modern Times Oxford University Press 1972

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7 Siglo VIII AC Cambio, desplazamiento de los centros de actividad “cultural”: Mesopotamia, Egipto hacia el Mediterráneo Alfabeto griego se difunde por el comercio y la fundación de colonias Pensadores griegos viajan a Egipto y Mesopotamia S VII desarrollo de la literatura SVI Tales y Pitágoras

8 Principales períodos Clásico 600 AC – 300 AC Alejandrino 300AC – 400DC Principales “temas” Aritmética Geometría Lógica

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10 Principales Escuelas Período Clásico
600 AC – 300 AC Mileto : Tales, Anaximandro, Anaxímenes Pitagóricos 580 – 400 Pitágoras, Filolaus Heráclito 500 Eliática 550 – 450 Jenófanes, Parménides, Zenón, Sofistas Platónica Eudosio 360 Aristotélica 340

11 Principales períodos Alejandrino 300AC 400DC Euclides Arquímedes Apolonio, Aristarco, Diofanto, Eratóstenes, Hipatia, Herón, Menelao, Pappus, Ptolemeo, Teón … Centro: Biblioteca de Alejandría 642DC quema de la biblioteca de Alejandría!!

12 Período clasico: 600AC - 300AC
Escuela Jónica, Tales de Mileto, 600AC Escuela Pitagórica, sur de Italia, 550AC Academia de Platón, Atenas, 400AC Liceo de Aristóteles, Atenas, 350AC

13 Personajes Matemáticos Griegos
Thales 600 AC Pitágoras SVI AC Euclides 300 AC Arquímedes 250 AC Apolonio 250 AC

14 Thales Altura de la Pirámide Teorema de Thales Proporcionalidad Pitagóricos (S V AC) Abstracción Ternas pitagóricas, primos, progresiones Números Inconmensurables Números Geometría

15 FORMA !!! Problema 1: Dadas dos figuras, determinar si tienen o no la “misma forma” Problema 2: Dada una figura, dibujar otra con la “misma forma”. Ampliar o comprimir una figura Mapas, planos, maquetas, prototipos, … Diseño!!!

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17 -Si las figuras son triángulos Tales, 600AC, Euclides, 300AC.
Triángulos semejantes si y solo si ángulos correspondientes iguales, si y solo si lados correspondientes proporcionales. -Si las figuras son polígonos Libro VI Prop. 20. Polígonos semejantes se dividen en triángulos semejantes...,

18 -Si son figuras rectilíneas
Libro VI Def 1.Figuras rectilíneas similares son aquellas que tienen los ángulos correspondientes iguales y los lados respectivos proporcionales. K=1.5

19 Pitagóricos: (S V AC) Pitágoras (Samos ca 570) Todo es número La armonía musical depende de razones numéricas particulares: 2:1, 3:2, 4:3 La música de las esferas Estudio de razones y proporciones entre números

20 Pitagóricos: Reconocen las matemáticas como ideas y objetos abstractos. Aritmética ligada a la geometría. Triplas pitagóricas: m, (m2 - 1)/2 y (m2 + 1)/2, soluciones a: x2 + y2 = z2 Ej 5, 12, 13 La suma de los números impares consecutivos da un número cuadrado: = 16 Matemáticas, Música, Astronomía

21 Números Triangulares La suma de dos números triangulares consecutivos es un número cuadrado: 3+6=9, 6+10=16

22 Inconmensurables Mesurables Si tengo dos longitudes y puedo encontrar una tercera con la cual pueda medirlas a ambas. Problema: la diagonal y el lado de un triángulo rectángulo isósceles son inconmensurables.

23 Problema: discreto (cantidades) vs
continuo (longitudes) Zenon (450AC) Visión del espacio tiempo: Infinitamente divisible: movimiento continuo Formado por pequeños intervalos indivisibles: movimiento sucesión de pequeños saltos

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25 Tarea Averigüe acerca de uno de los sgtes temas. Envíeme un comentario a más tardar el próximo viernes antes del medio día. -Paradojas de Zenón? Qué dicen las paradojas de Zenón? En qué contexto se formularon? Qué nos dicen hoy? -Influencia de Aristóteles o de Platón en la historia de las matemáticas Nacimiento, influencia y muerte de la Biblioteca de Alejandría -Eratóstenes, medición del radio de la tierra

26 Platón (400AC) … la aritmética tiene un efecto magnífico, eleva la mente y la impulsa a razonar sobre números abstractos y la rebela contra la introducción de objetos tangibles o visibles en los argumentos

27 Período Alejandrino 300AC 400DC
Euclides Arquímedes Apolonio, Aristarco, Diofanto, Eratóstenes, Hipatia, Herón, Menelao, Pappus, Ptolemeo, Teón … Centro: Biblioteca de Alejandría 642DC quema de la biblioteca de Alejandría!!

28 Período Alejandrino 300AC – 400DC
Euclides, Alejandría 300AC: Los Elementos Arquímedes, Alejandría 250AC Método exhaustivo

29 Período Alejandrino 300AC – 400DC
Arquímedes, Alejandría 250AC Método exaustivo Diofanto 250 AC Ecuaciones diofantinas. Álgebra, sin depender de la geometría. Hiparcus, Menalao y Tolomeo: 120AC Trigonometría

30 Alejandría Fundada por Alejandro Magno en 332 AC se convirtió en el centro cultural del mundo antiguo. Ptolomeo I mandó construir el gran palacio y su hijo, el edificio conocido como El Museo, santuario de las Musas, diosas de las artes y las ciencias. En él estaba la biblioteca, un jardín botánico, zoológico, observatorio… Había habitaciones para sabios y estudiantes Atrae estudiosos y documentos de todo el mundo: de Grecia, Egipto, Mesopotamia, India, Persia,… Traducen y guardan toda la ciencia conocida! Cómo terminó??

31 Algunos sabios que pasaron por allí
Euclides, quien desarrollo allí su Geometría, Arquímedes, científico y matemático, met. exhaustivo Hiparco quien desarrollo la trigonometría, Aristarco, que defendió el sistema heliocéntrico, Eratóstenes, quien se dedicó a la geografía y consiguió medir la circunferencia terrestre con un error inferior al 1%, Herófilo de Calcedonia un fisiólogo que llegó a la conclusión de que la inteligencia está en el cerebro y no en el corazón, Apolonio de Pérgamo , quien estudió las cónicas, Herón de Alejandría, inventor de engranajes.

32 Posteriores al S II DC Ptolomeo Claudio, quien escribiò El Almagesto, Teoría geocéntrica, astrónomo y geógrafo Galeno, ( ) quien escribió sobre anatomía Pappus de Alexandria (c. 320) geómetra Theon de Alexandria (c. 390) y su hija Hypatia de Alexandria (c ) escribieron una versión de los Elementos de Euclides Proclus (412 – 485) Filosofo neo-platònico

33 Elementos de Euclides Euclides 325 - 265 Alejandría

34 Fragmento de Los Elementos, libro II ca 100AC

35 Los Elementos Anterior al 450 AC, tradición oral Primeros escritos en rollos de papiro. Frágiles, corta vida Hay que copiarlos repetidamente, se introducen errores, cambios, adiciones S II DC aparecen los primeros códices, primero de papiro, luego de pergamino Letras: Pasan de mayúsculas sin separación entre palabras a minúsculas, con separación

36 Los Elementos Acerca del libro.
Copia más antigua actual: Manuscrito de 888DC, (cerca de 1200 años después de ser escrito) Escrito en minúsculas, por el escriba Stefanusa a solicitud del Aretas, obispo de Cesarea, Capadocia (hoy en Turquía ) para la biblioteca de libros religiosos y matemáticos. Contiene anotaciones. Hay fragmentos de manuscritos del 225AC Hay aluciones a Los Elementos en textos más antiguos.

37 Los Elementos Acerca del libro.
Muchos de los manuscritos se basan en la versión de Teón y su hija Hipatias, Alejandría SIV DC Primeras versiones conocidas en Europa en la edad media: (Adelard de Bath, 1120) traducciones al latín del árabe, de la versión de Teón Uno de los libros más importantes en la historia de la humanidad. Junto con la Biblia, de los primeros impresos y con mayor número de ediciones. Texto de educación básica por 2000 años!

38 Iluminación de la letra P.
Parte del texto de los Elementos traducido al latín del árabe por Adelardo de Bath ca 1300

39 Palimpsesto de un texto de Arquímedes, copiado en el siglo X por un monje en Constantinopla. Descubierto en 1899 en Estambul En el SXII borran y escriben encima textos religiosos. Libro de 174pgs de 20 cm por 15. Contiene 4 trabajos de Arquímedes: Cuerpos que Flotan, Métodos de Teoremas Mecánicos.

40 EUCLIDES (Segùn Proclus, S V DC)
Vivió en la época de Ptolomeo primero, porque Arquímedes, que vivió después del primer Ptolomeo menciona a Euclides. También se cuenta que Ptolomeo le preguntó una vez Euclides si no había un camino más corto a la geometría que a través de los Elementos y Euclides respondió que no había ningún camino real a la geometría. Era por lo tanto posterior al grupo de Platón, pero anterior a Eratóstenes y Arquímedes, que eran contemporáneos.

41 EUCLIDES (Segùn Proclus, S V DC)
Euclides reunió en “Los Elementos”, la sistematización de muchos de los teoremas de Eudoxio, perfeccionò muchos de los de Teeteto, y puso en forma de demostraciones irrefutables, proposiciones que había sido más bien vagamente establecidas por sus predecesores. Euclides estaba a gusto con las ideas filosóficas de Platón y es por eso que pensaba que el objetivo de los elementos en su conjunto era la construcción de los llamados sólidos platónicos.

42 Euclides 300AC Los Elementos A partir de 23 definiciones, 5 postulados y 5 nociones comunes, prueba 465 proposiciones Libro V: Proporciones, razones entre inconmensurables Libro VI: Semejanza Libros VII, VIII y IX: teoría de números. Propiedades de enteros y razones Libro X, inconmensurables

43 Ejemplo: Elementos de Euclides, libro 2 prop 6:
Si un segmento (FE) es bisectado (I) y se le agrega un segmento en linea recta (ED), entonces el rectángulo formado por el total con el segmento agregado y el segmento agregado, junto con el cuadrado de la mitad (AD+FH) es igual al cuadrado formado por la mitad y el segmento agregado (SC). Resolver, completando el cuadrado, la ecuación x2 + bx = n, (x + b)x +(b/2)2 = (x + b/2)2 = n +(b/2)2

44 Elementos de Euclides Teorema de Pitágoras
Libro I Proposición 47 En un triángulo rectángulo el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto. Libro I Proposición 48 Si en un triángulo el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados del triángulo, entonces el ángulo comprendido por los otros dos lados del triángulo es recto.

45 Libro 1 proposición 47 y 48

46 Prueba del Teorema de Pitágoras atribuida a los Pitagóricos

47 Otras pruebas del Teorema de Pitágoras
Bhaskara India ( ) Leonardo da Vinci.

48 Ideas Griegas Búsqueda explicación racional de la naturaleza Relación entre las matemáticas y la naturaleza. Pitagóricos, la naturaleza está regida por relaciones numéricas Creación de las matemáticas como ciencia abstracta, basada en el razonamiento deductivo Estudio de la lógica, leyes del razonamiento, reflexión acerca de cómo razonar Fundamento de la verdad, pasa del experimento a la no contradicción.

49 Griegos: Énfasis en el poder de la mente Matemáticas como una manera de predecir y describir la naturaleza ( o como su estructura misma!) Universo diseñado, inteligible y controlado por leyes matemáticas

50 Dificultades: Sistema de numeración: Base 10 pero no notación de posición. Letras como números. En el período alejandrino usaron para los fraccionarios los sexagesimales de los babilonios. Solo aceptan racionales positivos, lo que pesó sobre occidente por siglos. De ahí el uso de la geometría para manipular ideas algebráicas. Restricción geométrica a la regla y el compás, para garantizar la existencia. Evitar el infinito

51 Problemas: Cuadratura del círculo Trisección del ángulo Duplicación del cubo V Postulado, Postulado?

52 Problemas: No aceptar los irracionales Uso de la geometría para probar afirmaciones aritméticas Infinito potencial – actual Falta fundamentación a los números

53 Otras pruebas del Teorema de Pitágoras
Kou Ku lado más corto (kou) el más largo (ku) Chou Pei China (aprox. 300 a.C.).