Nuevos progresos en Superconductividad

Nuevos progresos en Superconductividad
R. Baquero Departamento de Física, Cinvestav

Superconductor a 200 K PRIMERA NOVEDAD
Temperatura crítica Superconductora PRIMERA NOVEDAD Superconductor a 200 K

Se pudo predecir Tc SEGUNDA NOVEDAD Planteamiento del problema
Temperatura crítica Superconductora SEGUNDA NOVEDAD Se pudo predecir Tc Planteamiento del problema

Se abrió el camino para construir teóricamente un superconductor
Temperatura crítica Superconductora TERCERA NOVEDAD Se abrió el camino para construir teóricamente un superconductor

Temperatura crítica Superconductora
Superconductor a 200 K Superconductors.org herein reports synthesis of the first 200K superconductor in conjunction with the discovery of a new superconductor system. The 200K material is believed to have a B212/1212C intergrowth structure, where B=11 and C=copper chain. This structure is shown below left and has the chemical formula Sn6Ba4Ca2Cu10Oy. The general formula for this new family of superconductors is SnxBa4Ca2Cu(x+4)Oy. Within this new family, unit cells with 3 to 6 atoms of tin (x) have been found to superconduct, with 6 atoms of tin producing a new record high Tc near 201K.

Superconductor a 200 K

Detalles en www.superconductors.org
Temperatura crítica Superconductora Superconductor a 200 K Four resistance tests were averaged and four magnetization tests were averaged, producing a mean resistive Tc of Kelvin and a magnetic Tc of Kelvin. Detalles en

Se pudo predecir Tc SEGUNDA NOVEDAD 1- ¿CUAL ERA EL PROBLEMA?
Temperatura crítica Superconductora SEGUNDA NOVEDAD Se pudo predecir Tc 1- ¿CUAL ERA EL PROBLEMA?

La Teoría BCS y las Ecuaciones de Eliashberg proponen una ecuación para calcular la temperatura critica superconductora de los elementos que presentan la transición de fase vía la interacción electrón-fonón. Ambas pueden y han sido generalizadas para tratar otro tipo de interacciones. Sin embargo, por razones que mostraré en este coloquio, ninguna de las dos es realmente predictiva. Se desarrolló una seria de ecuaciones empíricas para tratar de corregir este problema con resultados que se pusieron de moda en la literatura pero que son, al analizarlos, bastante pobres en la realidad y llevaron a criterios como el "A menor parámetro de interacción electrón-fonón, menor Tc" que resulta incluso contradictorio. Después de esbozar los rasgos mas sobresalientes del problema, describiré como, de 2005 a la fecha, se ha desarrollado una generalización de la Teoria del Funcional de Densidad para resolver el problema de forma aceptable para los superconductores vía electrón-fonón. Se abre con ello el camino para montar una metodología que permita predecir, por primera vez, nuevos superconductores, en forma teorica, cuya temperatura critica se pueda determinar en forma aceptablemente aproximada. Se ha dado un paso muy importante para llenar huecos muy incómodos en la explicación del fenómeno de la superconductividad en su versión convencional, pasos que pueden conducir a nuevos caminos en el futuro de la superconductividad.

THEORIES ASSOCIATED ARE: BCS AND ELIASHBERG
1- SUPERCONDUCTIVITY OCCURS IN METALLIC SYSTEMS (FERMI SURFACES, PHONONS, E-PH INTERACTION, THE λ PARAMETER) BELOW A CERTAIN CRITICAL TEMPERATURE, Tc. 2- IT IS THE PHYSICS OF THE COOPER PAIRS 3- A GAP IS BUILT UP IN THE ELECTRONIC SPECTRUM 4- IT IS DEFINED BY THE TOTAL LOST OF ITS RESISTIVITY AND THE MEISSNER EFFECT (A SUPERCONDUCTOR FLOTES ON A MAGNET) 5- THERE ARE TWO “KINDS”: CONVENTIONAL AND HIGH-Tc (HTSC) 6- WE UNDERSTAND WELL CONVENTIONAL SUPERCONDUCTIVITY (E-PH) THEORIES ASSOCIATED ARE: BCS AND ELIASHBERG 7- HTSC ARE NOT AT ALL UNDERSTOOD AT PRESENT ( MECHANISM? ).

1- Se parte de un Hamiltoniano gran canónico.
TEORÍA DE LA SUPERCONDUCTIVIDAD CONVENCIONAL 1- Se parte de un Hamiltoniano gran canónico. 2- Usa la Teoría de campo no-relativista (Funciones de Green a temperatura finita, formulismo de Nambu, diagramas de Feynmann) DOS CAMINOS A- Se simplifica la interacción por medio de un potencial ficticio de atracción entre electrones, no se describen ni los electrones ni los fonones en detalle TEORÍA UNIVERSAL BCS B- Se tratan en detalle los fonones (interacción retardada) pero se simplefica el tratamiento de los electrones integrando el seudopotencial e-e por todas sus variables para convertirlo en un parámetro. Requiere datos de un material explícito que resume en la función de Eliashberg LAS ECUACIONES DE ELIASHBERG

WHEN YOU ANALYZE IN DETAIL THIS CRITERIUM, YOU SEE THAT:
EXCELENT VERY RECENT CALCULATIONS OF THE ELECTRON-PHONON INTERACTION IN SOME HTSC GIVE VERY SMALL VALUES FOR THE E-PH INTERACTION PARAMETER, λ. (NATURE, APRIL 24th, FOR EXAMPLE) USING THE CRITERIUM “THE HIGHER THE λ, THE HIGHER THE Tc” THE E-PH MECHANISM WAS DISCARDED. WHEN YOU ANALYZE IN DETAIL THIS CRITERIUM, YOU SEE THAT: THESE RESULTS CONTRADICT THE EXISTING CRITERIA AND BELIEFS ON THE SUBJECT 1- THAT IT CONTRADICTS ELIASHBERG THEORY IN SOME SENSE. 2- THAT IT IS NOT VALID FOR HTSC. 3- THAT A LOW λ VALUE IS NOT ENOUGH TO DISCARD THE E-PH MECHANISM. 4- AND, FINALLY, THAT CONTRARY TO WHAT HAS BEEN CURRENTLY ARGUED, A LOW VALUE OF λ, MIGHT BE “GOOD NEWS” FOR THE E-PH MECHANISM EVEN IF IT IS NOT A PROOF OF IT IN ITSELF.

HOW DO WE CALCULATE THE CRITICAL TEMPERATURE?
ELIASHBERG EQUATIONS REQUIERE THE PREVIOUS KNOWLEDGE OF THE MECHANISM THIS MEANS ALL THE DATA (ELECTRON STATES, PHONONS, E-PH INTERACTION) WHICH ARE INCLUDED IN THE ELIASHBERG FUNCTION SINCE THIS PARAMETER CANNOT BE NEITHER CALCULATED NOR MEASURED WITH ENOUGH ACCURACY TO BE USEFUL ELIASHBERG EQUATIONS CANNOT ACTUALLY PREDICT Tc

BCS THEORY Tc = 1.14 hωD exp{ - 1 / N(0)V}
HOW DO WE CALCULATE THE CRITICAL TEMPERATURE? BCS THEORY Tc = 1.14 hωD exp{ - 1 / N(0)V} HERE THE PROBLEM IS THAT V CANNOT BE NEITHER CALCULATED NOR MEASURED. WHAT DID PEOPLE DO IN SUCH A SITUATION?

HOW DO WE CALCULATE THE CRITICAL TEMPERATURE?
One of the first attempts to obtain some equation that would allow to predict Tc was to keep the form of the BCS equation but replacing the unknown product VN(0) by some parameters associated to Eliashberg formulation that could eventually be measured or reasonably guessed. BCS theory Tc = 1.14hωDexp{- 1/(λ - µ*)} N(0) V THE IDEA HERE IS THAT THE TWO EXPRESSIONS HAVE THE SAME MEANING, i. e.. BOTH REPRESENT A MEASURE OF THE ATTRACTION BETWEEN THE TWO ELECTRONS THAT CONSTITUTE A COOPER PAIR. The higher the λ, the higher the Tc

THERE IS QUITE AN AMMOUNT OF EQUATIONS OF THIS TYPE IN THE LITTERATURE THAT TAKE INTO CONSIDERATION DIFFERENT ASPECTS IN THE HOPE THAT AT THE END THEY WILL GET A REASONABLY GOOD REPRODUCTION OF THE EXPERIMENTAL RESULTS. THE MOST USED IS THE Mc MILLAN EQUATION AS MODIFIED LATER ON BY ALLEN AND DYNES: Tc < limit

DOES THIS CORRELATION EXISTS? THE HIGHER THE λ, THE HIGHER THE Tc
Tc [meV] Material lambda 0.1017 Al 0.43 0.2034 Tl Ta 0.69 0.2931 In Sn 0.72 0.3233 0.8 0.3612 Hg V 0.3862 0.81 0.434 La Mo 0.9 0.4621 0.98 0.5267 Bi Nb(Rowell) 0.6198 Pb Nb(Arnold) 1.01 0.7379 Ga Nb(Butler) 1.22 0.7586 1.55 0.7931 Nb 1.62 2.25 2.45 DOES THIS CORRELATION EXISTS? THE HIGHER THE λ, THE HIGHER THE Tc AS WE CAN SEE FROM THE TABLE THAT THE AGREEMENT IS RATHER POOR EVEN FOR LOW-Tc SUPERCONDUCTORS.

THE CRITICAL TEMPERATURE IN ELIASHBERG THEORY
WHAT IS IT LAMBDA? IT IS THE PARAMETER THAT CHARACTERIZES THE AVERAGE STRENGHT OF THE ELECTRON-PHONON INTERACTION. IT IS A PROPERTY OF THE NORMAL STATE. . BUT LAMBDA CAN ALSO BE CALCULATED FROM THE ELIASHBERG FUNCTION LIKE THIS: A HIGH λ  A HIGH Tc IMPLIES THAT THE WEIGHT THAT THE ELIASHBERG FUNCTION HAS AT LOW FREQUENCIES IS WHAT DETERMINES THE MAGNITUDE OF Tc

THIS CRITERIUM CONTRADICTS THE ONE BASED ON LAMBDA!
THE CRITICAL TEMPERATURE IN ELIASHBERG THEORY THE FUNCTIONAL DERIVATIVE OF Tc WITH THE ELIASHBERG FUNCTION IS A FUNDAMENTAL RESULT OF THIS THEORY. THIS CRITERIUM CONTRADICTS THE ONE BASED ON LAMBDA! This equation tells us by how many degrees the critical temperature will change due to the change that we have introduced in the spectral (Eliashberg) function. THIS IS A VERY IMPORTANT RESULT !

THE CRITICAL TEMPERATURE IN ELIASHBERG AND BCS THEORY
This resul leaves without theoretical foundations all the Tc approximate equations based on the knowledge of λ alone. And therefore leaves also without theoretical support the idea that “the higher the λ, the higher the Tc”. This, as we just saw, is specially important when we are refering to a HTSC. The Tc approximate equations and the citerium should be rejected. THIS RESULT IS NEW 1- It is impossible to predict Tc from BCS or Eliashberg theories. 2- There is no limit to Tc

2- 2005-FECHA: UNA MUY SERIA SOLUCIÓN ESTÁ EN CAMINO
Temperatura crítica Superconductora SEGUNDA NOVEDAD Se pudo predecir Tc FECHA: UNA MUY SERIA SOLUCIÓN ESTÁ EN CAMINO

¿Qué hay que describir? l
Temperatura crítica Superconductora ¿Qué hay que describir? l Electrones en un metal, es decir, dentro de un cristal, que intercambia energía con los fonones de la red. El estado cristalino es un arreglo periódico de átomos en interacción. El arreglo periódico se llama red. Una red cubre, en teoría todo el espacio. La periodicidad se describe por medio de la Teoría de Grupos Hay diferentes tipos de periodicidad, es decir diferentes grupos cristalinos que se manifiestan por la colocación de los átomos en la red. El grupo cúbico, por ejemplo, tiene simetría cúbica, es decir, la misma que tiene un cubo. A ese grupo pertenecen tres redes: 1- Cúbica simple (CS): simple cubic, en inglés (sc). 2- Cúbica centrada (CC); body centered cubic, en inglés, (bbc). 3- Cúbica centrada en las caras (CCC); face centered cubic, en inglés, (fcc)

Simple cubic lattice (sc)
Temperatura crítica Superconductora Red Cúbica Simple, CS Simple cubic lattice (sc)

Los electrones están “libres” dentro del espacio de la red
Temperatura crítica Superconductora R = pa i + qa j + ra k k j i a Metal Los electrones están “libres” dentro del espacio de la red Interacciones en la Red Cúbica Simple, CS Simple cubic lattice (sc)

Semi-conductor y aislante
Temperatura crítica Superconductora R = pa i + qa j + ra k k j i a Semi-conductor y aislante Los electronesse encuentran atrapados en los enlaces Interacciones en la Red Cúbica Simple, CS Simple cubic lattice (sc)

¿QUÉ QUEREMOS SABER? 1- Estados electrónicos (función de onda y energía 2- Estados de vibración de los iones (función de onda y energías) (fonón es la diferencia en energía y momento entre dos estados vibracionales) 3- Interacción entre iones y electrones: cómo se intercambia energía entre ellos. (interacción electrón-fonón) 4- Otras excitaciones que dejo de lado.

¿cómo realizar esa tarea?
Temperatura crítica Superconductora ¿cómo realizar esa tarea? RESOLVIENDO LA EC. DE SCHRÖDINGER 1- Métodos de primeros principios. Teoría de perturbaciones (F. de Green, Diagramas de Feynman) Basados en la Teoría del funcional de Densidad 2- Métodos empíricos Método de amarre fuerte

Teoría del Funcional de Densidad
Temperatura crítica Superconductora Teoría del Funcional de Densidad Se trata de la aproximación más exitosa que se haya concebido para resolver la Ecuación de Schrödinger en problemas de física del Estado Sólido. En particular, en los metales ha sido enormemente exitosa tanto en el estado normal como, sobretodo en los últimos años (desde el 2005) en el estado superconductor. El problema es resolver la Ecuación de Schödinger: La ecuación se plantea para un electrón y los grados de libertad de los iones se describen a través de un potencial únicamente. Esta aproximación recibe el nombre de Born-Oppenheimer. Pero como tenemos muchos electrones en la banda de conducción de un metal, el problema se convierte en un problema de muchos cuerpos

Teoría del Funcional de Densidad (2)
Temperatura crítica Superconductora U es la interacción electrón-electrón Si definimos además: Podemos decir que T y U son universales mientras que V describe el cristal (el sistema). El problema de un cuerpo y el de muchos difieren por el potencial U.

Temperatura crítica Superconductora La solución se construye,.normalmente, así: Uno de los resultados que puede obtenerse es la densidad de una partícula:

Temperatura crítica Superconductora TFD toma en cuenta que los sistemas no-relativistas con interacciones de Coulomb (como los electrones en un metal), difieren sólo por medio del potencial v( r ) y, consecuentemente, da una fórmula que permite tratar los operadores T y V de una manera definitiva independiente de los detalles del sistema. También permite mapear el problema de muchos cuerpos (con U) a un problema de un solo cuerpo (sin la U). Todo esto lo hace al promover la densidad, n( r ), de ser una variable más a ser la variable principal en la cual está basado todo el cálculo de las demás variables. Es decir: El método resulta ser bastante preciso (constantes de red con precisión de nm, por ejemplo)

Temperatura crítica Superconductora El corazón de la Teoría del Funcional de Densidad es el Teorema de Hohenberg-Kohn Dada la función densidad de partículas del estado base, n0( r ), es posible, en principio, calcular la función de onda correspondiente. Es decir que la función de onda del estado base es un funcional de la función de densidad de partículas. Si la función de onda puede ser calculada conociendo la densidad y viceversa, entonces ambas tienen que contener la misma información. A primera vista esto parece imposible. ¿Cómo puede una función de una variable r (vectorial), ser equivalente a una función de N variables (vectoriales). El punto crucial está en que el conocimiento de la densidad del estado base implica el conocimiento de la función que conduce al mínimo de energía ( la energía del estado base). Todas las observables del estado base son funcionales de la densidad La energía mínima, en particular:(del estado base)

Temperatura crítica Superconductora Esta ecuación nos dice que dada la densidad del estado base, la función de onda correspondiente es la que reproduce esa densidad y minimiza la energía En el caso de una densidad arbitraria, n ( r ), se define el funcional: De manera general: Si n es una densidad diferente de la del estado base en un potencial v( r ), entonces la función de onda que produce esta n es diferente de la del estado base y, de acuerdo con el principio variacional el mínimo que se obtiene de Ev[n] es mayor o igual que la energía del estado base. F[n] no depende del potencial que describe el sistema. (OJO) Esta universalidad del funcional de energía interna F[n], nos permite definir la función de onda del estado base como la función de onda de N-partículas, anti-simétrica, queminimiza F[n] y reproduce la densidad del estado base, n_0. Si el estado base no es degenerado, estos requisitos nos permiten determinar la función del estado base en término de n_0 sin tener que conocer explícitamente v( r ). Esto es el teorema de Hohenberg-Kohn. F[n] es universal en el sentido de que no depende del potencial que describe el sistema v( r ). Esta observación permite probar lo siguiente:

Temperatura crítica Superconductora La función de onda del estado base se puede calcular como la función de onda anti-simétrica de N-partículas que 1- minimiza F[n] 2- reproduce la densidad del estado base, n_0. (Si el estado base no es degenerado, estos requisitos nos permiten determinar la función del estado base en términos de n_0. Esto es el teorema de Hohenberg-Kohn.

Temperatura crítica Superconductora Análisis del contenido del Teorema de Hohenberg-Kohn 1- La función de onda del estado base no-degenerado es un funcional único de la densidad del estado base (esta es la esencia del teorema). Como consecuencia el valor esperado de cualquier variable O en el estado base, es también un funcional de la densidad del estado base. 2- En particular, la observable más importante es la energía del estado base.

Temperatura crítica Superconductora El principio variacional conduce a la propiedad: Esta propiedad nos garantiza que calculando el valor esperado del Hamiltoniano con una función de prueba que no es la del estado base, nunca obtenemos un valor menor que el de la energía del estado base. De la misma manera, si dado un potencial Vext, se evalúa Ev [n] con una densidad que no es la del estado base en ese potencial externo Vext, uno jamás encuentra un resultado por debajo de la energía del estado base verdadero. Este resultado es importantísimo para sus aplicaciones prácticas, al punto que, a veces, se le llama “Segundo Teorema de Hohenberg-Kohn”.

Temperatura crítica Superconductora Para minimizar sin condiciones (N fijo) utilizamos un multiplicador de Lagrange (el potencial químico): 3- La ecuación fundamental de la TFD: F[n] es universal en el sentido de que no depende del potencial que describe el sistema v( r ).

TFD – Aplicación práctica - Supongamos
Teoría del Funcional de Densidad (10) Temperatura crítica Superconductora TFD – Aplicación práctica - Supongamos 1- conocemos el potencial v( r ) que especifica el sistema 2- Tenemos una aproximación confiable a U[n] y T[n]. 3- El potencial suele depender de un parámetro (la constante de red, por ejemplo) A- parámetro de red B- compresibilidad C- espectro fonónico D- estructura de bandas (obviamente)

EL TEOREMA DE KOHN Y SHAM PERMITE DAR FORMA PRÁCTICA AL PROBLEMA Y RESOLVERLO: las Ecs. de Kohn-Sham

PROPUESTA INICIAL N ( R )
Teoría del Funcional de Densidad (12) SOLUCIÓN DE LAS ECS. DE KS PROPUESTA INICIAL N ( R ) CALCULO DEL POTENCIAL EFECTIVO “MAGIA” SOLUCIÓN DE LAS ECS. DE KS aproximado ENERGÍA, FUERZAS, VALORES PROPIOS CÁLCULO DE LA DENSIDAD ELECTRÓNICA SI NO AUTOCONSISTENCIA?

Temperatura crítica Superconductora Se trata de la aproximación más exitosa que se haya concebido para resolver la Ecuación de Schrödinger en problemas de física del Estado Sólido. En particular, en los metales ha sido enormemente exitosa tanto en el estado normal como, sobretodo en los últimos años (desde el 2005) en el estado superconductor.

Temperatura crítica Superconductora PARA APLICARLA A UN SUPERCONDUCTOR LA DIFICULTAD ESTRIBA EN REMOVER LA APROXIMACiÓN DE BORN-OPPENHEIMER. EL CÁLCULO DEPENDE DE TRES FUNCIONALES DE LA DENSIDAD 1- ELECTRONES 2- FONONES 3- PARES DE COOPER (LA BRECHA)

Temperatura crítica Superconductora PARA APLICARLA A UN SUPERCONDUCTOR LA DIFICULTAD ESTRIBA EN REMOVER LA APROXIMACiÓN DE BORN-OPPENHEIMER. En este caso hay que resolver tres ecuaciones acopladas de Kohn y Sham, simultáneamente. Las ecuaciones se acoplan por medio de tres funcionales que dependen de la densidad de fonones, de la densidad de electrones y de la densidad de Pares de Cooper (la brecha).

Se pudo predecir Tc SEGUNDA NOVEDAD
Temperatura crítica Superconductora SEGUNDA NOVEDAD Se pudo predecir Tc FECHA: UNA MUY SERIA SOLUCIÓN ESTÁ EN CAMINO: YA SE PREDIJO PARA METALES SIMPLES. ESTÁ EN CAMINO PARA SUPERCONDUCTORES DE ALTA Tc (SATEC)

Se abrió el camino para construir teóricamente un superconductor
Temperatura crítica Superconductora TERCERA NOVEDAD Se abrió el camino para construir teóricamente un superconductor

INGENIERÍA DE MATERIALES SUPERCONDUCTORES
Temperatura crítica Superconductora 1- LOS ELECTRONES CON FUNCIONES DE ONDA LOCALIZADAS PARECEN PODER INTERACTUAR MEJOR CON FONONES DE ALTA FRECUENCIA 2- LAS MEZCLAS “POR ACIERTO Y ERROR” QUE HAN DADO LUGAR A ELE-VAR LAS Tc’s PODRÍAN TENER UNA BASE TEÓRICA PARTIENDO DE LA DERI-VADA FUNCIONAL Y DE LA RELACIÓN ENTRE EL MÁXIMO DE ÉSTA Y LA Tc. 3- NO SE HA ENCONTRADO LÍMITE TEÓRICO QUE IMPIDA LA SUPERCONDUCTIVIDAD A TEMPERATURA AMBIENTE. ¿DÓNDE BUSCAR? LOS SUPERCONDUCTORES DE ALTA Tc PARECEN CUMPLIR EL PRIMER CRITERIO (PLANOS DONDE PREFERENCIALMENTE SE PRODUCE LA SUPERCONDUCTIVIDAD) UN SITIO NATURAL DONDE BUSCAR SON LAS INTERFACES SELECCIONADAS DE TAL MANERA QUE CUMPLAN EL CRITERIO,

NO ERA POSIBLE PREDECIR Tc TEÓRICAMENTE
INGENIERÍA DE MATERIALES SUPERCONDUCTORES Temperatura crítica Superconductora UN SITIO NATURAL DONDE BUSCAR SON LAS INTERFACES SELECCIONADAS DE TAL MANERA QUE CUMPLAN EL CRITERIO 1, ESTRUCTURAS DE BANDA EN INTERFACES SE PUEDEN HACER DE PRIMEROS PRINCIPIOS DESDE HACE YA VARIOS AÑOS PERO … NO ERA POSIBLE PREDECIR Tc TEÓRICAMENTE DESAPARECIDO ESTE OBSTÁCULO IMPORTANTÍSIMO, SE ABRE LA POSIBILIDAD DE LA PREDICCIÓN EN MUCHAS DIRECCIONES.

2- SE ABRIÓ LA POSIBILIDAD DE PREDECIR LAS Tc’S
Conclusiones Temperatura crítica Superconductora SE ESTÁ ABRIENDO EN ESTE MOMENTO PARA LA SUPERCONDUCTIVIDAD UNA ETAPA MUY PROMETEDORA 1- SE ACERCAN LOS EXPERIMENTOS A TEMPERATURAS CRÍTICAS MUY CONFORTABLES PARA NUEVAS APLICACIONES TECNOLÓGICAS. 2- SE ABRIÓ LA POSIBILIDAD DE PREDECIR LAS Tc’S 3- LA INGENIERÍA DE MATERIALES SUPERCONDUCTORES NO ES YA UNA FICCIÓN Y PODRÍA PERMITIR BUSCAR TEÓRICAMENTE (YA NO POR “ACIERTO Y ERROR”) MATERIALES CON CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS Y TEMPERATURAS CRÍTICAS QUE LOS HAGAN MUY COMPETITIVOS el futuro es muy prometedor!

The conclusion is therefore that Nb3Ge is an optimized system.
CAN WE PREDICT Tc? NOT YET ! WHAT WE CAN DO IS TO ANSWER SOME MUCH MORE MODEST QUESTIONS AS, FOR EXAMPLE, WHETHER THE Tc OF A PARTICULAR SYSTEM CAN BE RISED OR NOT. LETS CONSIDER NbXGey AS AN EXAMPLE ………. …… ……. ….. Eliashberg function for several Nb-Ge samples out of stechiometry. Tc and λ are known. Nb3Ge Tc= 23 K …. ….. …… …… ,, …. ……………………... The conclusion is therefore that Nb3Ge is an optimized system. It is only when you know the functional derivative that you can arrive at this kind of sharp conclusions.

THE CRITICAL TEMPERATURE IN ELIASHBERG THEORY
CAN WE PREDICT Tc? THE CRITICAL TEMPERATURE IN ELIASHBERG THEORY What can we learn from the equation 9 K 35 K What is exactly involved in shifting the position of the maximum that occurs in the functional derivative? The components are i- the phonons in the system ii- The e-ph interaction Iii- The wave functions of the “free” electrons. Nb3Ge Tc= 23 K Consider the following problem: Given a particular phonon spectrum and an e-ph pseudopotential, what are the pecularities of the electron wave functions that shift the optimal frequency? THERE IS NO ANSWER TO THIS PROBLEM AT THE MOMENT.

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