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RESISTENCIA DE MATERIALES INGENIERÍA EN PREVENCIÓN DE RIESGOS PROFESOR: JORGE BRAVO G.

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1 RESISTENCIA DE MATERIALES INGENIERÍA EN PREVENCIÓN DE RIESGOS PROFESOR: JORGE BRAVO G.

2 En Ingeniería, se requiere el uso de materiales apropiados para la construcción de obras civiles, edificaciones y maquinarias. Sin embargo, se requiere también definir un sistema de unidades de medida con el que se trabajará. Introducción

3 Existen dos sistemas de unidades principales: Sistema Métrico: Aceptado internacionalmente, se conoce por el nombre Sistema Internacional de unidades, el cual se abrevia SI. Sistema Inglés: de uso en los EEUU, cuyo nombre es English Gravitational Unit System (EGU). Lo que significa unidades gravitacionales inglesas. Sistemas de Unidades

4 Unidades TABLA Nº 1. DIMENSIONES BÁSICAS EN EL SISTEMA SI Y EGU. MAGNITUD SISTEMA INTERNACIONAL (SI) SISTEMA ANGLOSAJÓN (EGU) LONGITUDMETRO (m)PIE (ft) TIEMPOSEGUNDO (s) FUERZANEWTON (N)LIBRA (lbf) MASAKILOGRAMO (kg)SLUG TEMPERATURAKELVIN (K)ºF

5 De acuerdo a las Leyes de Newton, a toda acción corresponde una reacción. Cuando se aplica una fuerza externa a un cuerpo sólido y este permanece estático, se produce una reacción interna que equilibra la fuerza externa. La magnitud de la reacción interna es el esfuerzo y la consecuencia inmediata de la existencia de un esfuerzo es la deformación. Fuerzas

6 Efecto de una Fuerza sobre un Sólido

7 La magnitud de la reacción en cada enlace depende de la magnitud de la fuerza aplicada y de la cantidad de partículas que resisten la acción de esa fuerza. La cantidad de enlaces que soporta tal fuerza esta directamente relacionada con el área transversal a la dirección en que actúa la fuerza. La magnitud del efecto es directamente proporcional a F e inversamente proporcional a A Efecto de una Fuerza sobre un Sólido

8 Se ocupa del estudio de los efectos causados por la acción de cargas externas que actúan sobre un sistema deformable. Calcula las deformaciones correspondientes y las relaciones que existen entre la acción de las cargas externas y las fuerzas internas inducidas. En base al análisis, concluye si una pieza es capaz de resistir un sistema de cargas propuesto. Resistencia de Materiales

9 Los principales materiales de construcción son: Acero: Muy utilizado en instalaciones industriales. Hormigón Armado: Hormigón con barras de refuerzo de acero. Muy utilizado en la construcción de edificios. Madera: Se utiliza en instalaciones provisorias y como parte de la estructura de viviendas. No tiene un uso masivo en Chile. Materiales de Construcción y Montaje

10 El acero es una aleación de hierro y carbono, donde este último no supera el 2,1% en peso. Es un metal muy duro y tenaz, pero también es dúctil, es decir, se deforma antes de romperse, por lo que es un muy buen material de construcción. Existen perfiles normalizados para vigas, columnas, y otros elementos estructurales. Su densidad es de alrededor de kg/m 3. Acero

11 Ejemplo de estructura de acero Acero

12 Hormigón Armado El hormigón corresponde a una mezcla de cemento, arena, agua y áridos (piedras) con una dosificación determinada. El hormigón en masa es un material rígido y duro, que una vez fraguado resiste esfuerzos de compresión considerables. No obstante, el hormigón no tiene buena resistencia a la tracción, por lo que se combina con barras de acero, las que resisten esos esfuerzos.

13 Hormigón Armado

14 Madera La madera es un material estructural caracterizado por su ligereza, su resistencia y su calidad de recurso renovable. La madera es un material anisotrópico, es decir, presenta distintas propiedades en cada dirección. En la dirección longitudinal a las fibras, su resistencia es mucho mayor que en dirección transversal. Sus desventajas son su poca durabilidad en ambientes agresivos y su baja resistencia al fuego.

15 Madera

16 a) Estáticos; que simulan el comportamiento del material con pequeñas velocidades de aplicación de las cargas:. Tracción. Compresión. Dureza b) Dinámicos; que modelizan el comportamiento frente a cargas variables con el tiempo:. Fatiga. Resiliencia Ensayos Mecánicos

17 1.Ductilidad: Es la habilidad de un material para deformarse antes de fracturarse. Es una característica muy importante en el diseño, puesto que un material dúctil es usualmente muy resistente a cargas por impacto. Tiene además la ventaja de avisar cuando va a ocurrir la fractura, al hacerse visible su gran deformación. Algunos Conceptos

18 2.Elasticidad: Es la habilidad que tiene un material que ha sido deformado de alguna manera para regresar a su estado y tamaño original, cuando cesa la acción que ha producido la deformación. Cuando el material se deforma permanentemente, de tal manera que no pueda regresar a su estado original, se dice que ha pasado su límite elástico. 3.Dureza: Mide la resistencia a la penetración sobre la superficie de un material, efectuada por un objeto duro. Algunos Conceptos

19 4.Fragilidad: Es lo opuesto de ductilidad. Un material frágil no tiene resistencia a cargas de impacto y se fractura aún en cargas estática sin previo aviso. Tanto la fragilidad como la ductilidad de un material son mediadas arbitrarias, pero puede decirse que un material con un alargamiento mayor de 5% es dúctil y menor de 5% es frágil. Algunos Conceptos

20 5.Maleabilidad: Es la propiedad que permite que un material se deforme mediante martilleo, rolado o prensado, sin romperse. La maleabilidad, se aumenta normalmente cuando el metal esta caliente. 6.Plasticidad: Es la habilidad de un material para adoptar nuevas formas bajo la presión y retener esa nueva forma. 7.Carga: Las cargas son fuerzas externas que actúan sobre las estructuras. Los tipos de carga más habituales son: 7.1 Los pesos situados sobre las estructuras. 7.2 El peso de la propia estructura. 7.3 La presión del agua. 7.4 La fuerza del viento. Algunos Conceptos

21 8.Esfuerzo (σ): Fuerza aplicada a un área A conocida (kg/cm 2 ). Algunos Conceptos

22 8.1 Esfuerzo de Tensión o Tracción: Los extremos del material son estirados hacia afuera para alargar al objeto. 8.2 Esfuerzo de Compresión: Los extremos del material son empujados para contraer al mismo. Tracción y Compresión TRACCIÓN COMPRESIÓN

23 8.3 Esfuerzo de Corte: Ocurre cuando sobre el cuerpo actúan fuerzas que tienden a cortarlo o desgarrarlo. En este caso, la superficie de corte es perpendicular a la fuerza aplicada. Corte CORTE

24 8.4 Esfuerzo de Flexión: Ocurre cuando sobre el cuerpo actúan fuerzas que tienden a doblarlo. En este caso, una parte del cuerpo se comprime y la otra se tracciona. Flexión FLEXIÓN

25 8.5 Esfuerzo de Torsión: Ocurre cuando sobre el cuerpo actúan fuerzas que tienden a retorcerlo. Un caso es cuando se usa una llave para abrir una puerta. Torsión TORSIÓN

26 Esfuerzos en la Práctica

27 9. Deformación Unitaria ( ε ): Consideremos a la barra de sección constante que soportan una carga axial P en su extremo. Bajo la acción de la carga, la barra sufrirá una deformación que denominaremos con la letra griega (delta) (épsilon): deformación unitaria : deformación total (L F – L I ) Lo : longitud original Deformaciones

28 9.Deformación Elástica Deformación restaurable, debido a un esfuerzo aplicado. Se presenta tan pronto como se aplica la fuerza, permanece mientras se aplica el esfuerzo y desaparece tan pronto como se retira la fuerza. 10.Deformación Plástica Deformación permanente de un material, cuando se quita el esfuerzo, el material no regresa a su forma original. Deformaciones

29 Ensayo de Tensión en Metales El Ensayo de Tensión mide la resistencia de un material (metales, aleaciones y plásticos) a una fuerza estática o aplicada lentamente, Este ensayo es utilizado para determinar la resistencia, ductilidad y elasticidad del metal. El ensayo de tensión se realiza bajo la norma ASTM E-8 o bien la norma chilena NCH 200, entre otras.

30 Ensayo de Tensión Probetas que se utilizan en el ensayo de tracción

31 Esquema de probetas que se utilizan en el ensayo de tracción Ensayo de Tensión

32 Esfuerzo y Deformación

33 Esfuerzo Real y Deformación Real Curva típica de tracción hasta la fractura, punto F. La resistencia a la tracción está indicada en el punto M.

34 Esfuerzo obtenido con la máxima fuerza aplicada. Es el esfuerzo máximo, basado en la sección transversal original, que puede resistir un material. Es el esfuerzo en el cual comienza la estricción en los materiales dúctiles. Resistencia a la Tracción (σ máx ) Estricción: Reducción de la sección de la probeta, momento a partir del cual las deformaciones continuarán acumulándose hasta la rotura de la probeta por ese zona. La estricción es la responsable del descenso de la curva tensión-deformación

35 Esfuerzo de Ruptura (σ r ) Es el esfuerzo basado en la sección original, que produce la fractura del material. La deformación se concentra en la zona del cuello, provocando que la fuerza deje de subir. Al adelgazarse la probeta por estricción, la fuerza queda aplicada en menor área, provocando la ruptura. Esquema de la secuencia de ruptura de las probetas en un ensayo de tracción

36 Diagrama Tensión-Deformación Ensayamos a tracción una probeta de un determinado material. Para distintos valores de la carga medimos la tensión ( ) y la deformación unitaria (ε) producidas. Representando gráficamente, se obtiene el siguiente diagrama.

37 Conceptos Tensión-Deformación 1)Zona Elástica: Es la parte donde al retirar la carga el material regresa a su forma y tamaño inicial. 2)Zona de Fluencia: Región en donde el material se comporta plásticamente; es decir, en la que continúa deformándose bajo una tensión constante. 3)Zona de Endurecimiento: Zona en donde el material retoma tensión para seguir deformándose; va hasta el punto de tensión máxima. 4)Zona de Estricción: En éste último tramo el material se va poniendo menos tenso hasta el momento de la fractura.

38 Conceptos Tensión-Deformación 5)Límite proporcional: Tensión máxima para la cual la deformación es proporcional a la tensión. 6)Módulo de Elasticidad (E): Relación entre la tensión y la deformación del acero. Válida hasta el límite proporcional. 7)Tensión de Fluencia: Tensión para la cual el material se comporta plásticamente, el cual fluye a un valor constante de tensión. 8)Límite Elástico: Tensión máxima para la cual la deformación es completamente recuperable. Pasado ese valor, queda una deformación permanente.

39 Diagrama Tensión-Deformación para una aleación de aluminio Ejemplo Diagrama Tensión-Deformación

40 Para materiales sometidos a esfuerzos tensionantes, a relativamente bajos niveles, el esfuerzo y la deformación son proporcionales La constante E es conocida como el Módulo de Elasticidad, o Módulo de Young. Es una medida de la rigidez de un material. Es medida en MPa y puede valer de ~4.5 x 10 4 a 4 x 10 7 MPa Ley de Hooke

41 Esfuerzo Cortante (τ) El Esfuerzo Cortante es usado en aquellos casos donde se aplican fuerzas puramente torsionantes a un objeto y se denota por el símbolo τ. La fórmula de cálculo y las unidades permanecen iguales como en el caso de esfuerzo de tensión. Se diferencia del esfuerzo de tensión sólo en la dirección de la fuerza aplicada (paralela para cortante y perpendicular para tensión).

42 Deformación de Corte o Cizalle ( γ ) es definida como la tangente del ángulo θ y, en esencia, determina qué extensión del plano fue desplazado. Esfuerzo Cortante y Deformación

43 El Esfuerzo Cortante y la Deformación se relacionan de manera similar, pero con una constante de proporcionalidad diferente. La constante G es conocida como el Módulo de Corte y relaciona el Esfuerzo Cortante con la deformación en la región elástica. Esfuerzo Cortante y Deformación

44 Cuando un cuerpo es colocado bajo un esfuerzo tensionante, se crea una deformación acompañante en la misma dirección. Como resultado de esta elongación, habrá constricciones en las otras dos direcciones. El Coeficiente de Poisson (ν) es la relación entre las deformaciones lateral y axial. Coeficiente de Poisson (ν)

45 Teóricamente, los materiales isotrópicos tienen un valor de Coeficiente de Poisson de El máximo valor de ν es 0.5 No hay cambio de volumen durante el proceso. La mayoría de los metales presentan valores entre 0.25 y Se usa además para relacionar los Módulos Elástico y de Corte. Coeficiente de Poisson (ν)

46 Es la capacidad de un material para absorber energía cuando es deformado elásticamente y devolverla cuando se elimina la carga (área bajo la curva elástica). Módulo de resiliencia: corresponde a la energía de deformación por unidad de volumen, requerida para llevar el material desde una tensión cero hasta el límite elástico. Resiliencia

47 Capacidad de absorber energía en el campo plástico, antes de fracturarse (trabajo de fractura). Se determina como el área bajo la curva esfuerzo-deformación ingenieril. Esta superficie es una indicación del trabajo total, por unidad de volumen que puede realizarse sobre el material sin que se produzca rotura Tenacidad

48 Convención de Signos Esfuerzo Axial Simple:

49 Tensión Admisible Es un valor que indica el nivel máximo de solicitación al cual puede trabajar un material. La tensión de trabajo no debe sobrepasar la tensión admisible. Este valor se determina arbitrariamente, aunque procurando no sobrepasar el rango elástico del material, pues de otro modo, podría sufrir deformaciones permanentes

50 Factor de Seguridad Es un valor que permite reducir los niveles de incertidumbre en los cálculos de Ingeniería. Este coeficiente debe ser mayor a 1. Este valor relaciona la resistencia que posee el material con las cargas a las que va a estar sometido.

51 Al igual que en el caso lineal, existen módulos de elasticidad de área y volumen. Para el caso del módulo de elasticidad de volumen, se tiene lo siguiente. Elasticidad Volumétrica B = - ( F/A)/ ( V/V) B = - P/ ( V/V)

52 Corresponde a las variaciones de dimensión en un material producto de los cambios de temperatura en el mismo. Y la ecuación es la siguiente: Expansión Térmica En donde: Expansión Térmica Coeficiente de Expansión Térmica Longitud inicial del miembro Cambio de temperatura

53 Coeficiente de expansión térmica (α): es la propiedad de un material que indica la cantidad de cambio unitario dimensional con un cambio unitario de temperatura. Las unidades en que se exprese el coeficiente de expansión térmica son: E.U.G SI Expansión Térmica

54 Deformación que Causa la Expansión Térmica Esfuerzo Térmico: Estos esfuerzos se generan cuando a un elemento sometido a cambios de temperaturas se le sujeta de tal modo que impida la deformación del mismo, esto genera esfuerzos en la pieza. Recordando que: Expansión Térmica Coeficiente de Expansión Térmica Módulo de elasticidad Cambio de temperatura Por la Ley de Hooke: En donde:

55 CENTRO DE MASA El Centro de Masa es el punto en donde se considera que se encuentra concentrada la masa de un cuerpo. Es un punto único, independiente de la posición y orientación del sólido.

56 CENTRO DE MASA Para un conjunto de masas puntuales, el Centro de Masa se calcula: m1m1 m2m2 m3m3 m4m4 m5m5 m6m6 y x r1r1 r4r4 r6r6

57 CENTRO DE MASA Para una distribución continua de masa, el Centro de Masa se calcula: y x r CM z r

58 MOMENTO DE INERCIA Es la forma en que se distribuye la masa en torno al eje de giro. Por ejemplo, para una misma varilla que gira en torno a dos ejes distintos, los momentos de inercia también son distintos.

59 MOMENTO DE INERCIA Se ha definido el momento de inercia de un objeto con respecto al eje z como: Caso Sistema Discreto (masas puntuales) Caso Sistema Continuo (masa distribuida)

60 MOMENTO DE INERCIA: EJEMPLOS

61 TEOREMA DE STEINER

62 MOMENTO DE INERCIA DE SECCIONES PLANAS En general, el momento de inercia es aplicable a cuerpos con una masa definida que rotan alrededor de un eje. Sin embargo, el concepto también es aplicable a áreas de secciones de cuerpos. En otras palabras, se pueden reemplazar los términos de masa por términos de superficie cuando lo que rota es una sección completa (flexión de una viga, por ejemplo).

63 MOMENTO DE INERCIA DE SECCIONES PLANAS Recordando, en el caso de un sistema distribuido y continuo, el momento de inercia respecto al eje Z es: Para el caso de secciones, sólo se reemplaza dm por dA

64 MOMENTO DE INERCIA DE SECCIONES PLANAS Esto significa que si tenemos una superficie o sección completa que rota alrededor de un eje, los momentos de inercia en X, en Y y en Z serán los siguientes: Se debe notar que el momento de inercia en Z corresponde a la suma de los momentos de inercia en Y y en X.

65 MOMENTO POLAR DE INERCIA A I z se le denomina Momento Polar de Inercia, pues la sección gira en torno al eje Z, es decir, gira dentro del plano XY. El momento polar de inercia (M.P.I.) se aplica en caso de Torsión de un cuerpo (torsión en la sección de un cuerpo).

66

67 TORSIÓN En el caso en que se aplique torsión sobre un cuerpo, éste no gira uniformemente alrededor de un eje, sino que el giro varía linealmente según la longitud del cuerpo. Ej: Sea un cilindro macizo de sección circular de radio R y longitud L, sometida a un momento torsor:

68 TORSIÓN Considerando la igualdad de arcos entre los puntos a y b, según el radio R y la generatriz L, se deduce lo siguiente: Rθ γ L (1) Donde θ es el ángulo de torsión, y γ es la deformación angular por cortante. Para determinar el esfuerzo cortante máximo τ máx del material, se puede utilizar la ley elástica de Hooke para la torsión, que establece: τ máx = G. γ (2)

69 TORSIÓN Si los esfuerzos cortantes no sobrepasan el límite de proporcionalidad, dicho esfuerzo se distribuye linealmente, siendo cero en el eje central de la probeta y logrando un valor máximo en la periferia. Así, es posible utilizar otra fórmula para calcular el esfuerzo cortante máximo, la cual considera el momento torsor T aplicado y el momento polar de inercia J de la sección de la pieza que resiste la torsión: (3)

70 TORSIÓN En el caso de secciones circulares macizas de radio R, el momento polar de inercia J es: (4) Por lo tanto, el esfuerzo cortante en la periferia del cilindro es igual a: (5) Igualando las ecuaciones (2) y (3), finalmente permite obtener: (6)

71 TORSIÓN De la ecuación (1) se puede obtener una expresión para el ángulo γ en función del ángulo de torsión θ, el que se sustituye en la ecuación (4) para llegar a : Este valor se sustituye en la ecuación (4) para llegar a : El valor del ángulo θ es:

72 ALGUNOS EJEMPLOS DE M.P.I.

73 ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS La flexión induce esfuerzos de tensión en las vigas, los cuales son muy importantes en Ingeniería. Consideremos que una viga tiene el siguiente sistema de coordenadas: Los ejes Y y Z son los ejes principales de Inercia

74 ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS

75

76 Convención de signos para Corte: Convención de signos para Momento en Z:

77 ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS Convención de signos para Momento en Y: En la práctica, sólo se trabaja con el caso en que n > 0

78 ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS Convención de signos (caso Mz):

79 ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS Convención de signos (caso My):

80 ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS SUPERFICIE NEUTRA: Al flexionar una viga, las secciones transversales giran y hacen que las fibras longitudinales, inicialmente rectas, se curven, alargándose o acortándose según su posición en la viga. Existen fibras que no se alargan ni se acortan, éstas son las fibras neutras. La superficie que forman las líneas neutras se denomina superficie neutra.

81 ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS SUPERFICIE NEUTRA: La superficie que forman las líneas neutras se denomina superficie neutra. El eje neutro pasa por el centro de gravedad de la sección de la viga.

82 ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS TENSIONES NORMALES: Los ejes Y y Z son los ejes principales de Inercia. Si existe momento en ambos ejes, tendemos que la tensión longitudinal será: En el caso en que My = 0:

83 ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS En el caso en que Mz = 0: Y la distribución de tensiones normales para este caso será:

84 RADIO DE GIRO El radio de giro de un objeto, respecto de un eje que pasa a través del CG, es la distancia desde el eje en el cual se puede concentrar toda la masa del objeto sin cambiar su momento de inercia. El radio de giro es siempre medido desde el CG y se define como:

85 MÓDULO DE RESISTENCIA (W) Habíamos visto que en el caso en que My = 0: También tenemos que para las fibra extremas de la sección se alcanzan las tensiones máximas de tracción y compresión: Otra forma de expresar la ecuación anterior es la siguiente:

86 MÓDULO DE RESISTENCIA (W) Al denominador de la ecuación anterior le llamamos Módulo de Resistencia (W). Con lo cual la expresión de la tensión máxima en Z queda así: Análogamente, la tensión máxima en Y queda expresada de la siguiente manera: En que:

87 MÓDULO DE RESISTENCIA (W) En el caso de una sección rectangular: Y por tanto:

88 MÓDULO DE RESISTENCIA (W) En el caso de una sección circular: Y por tanto:

89 TENSIONES ADMISIBLES En numerosos materiales los esfuerzos límites de tracción y de compresión son diferentes y, en consecuencia, serán diferentes sus esfuerzos admisibles a tracción σ adm,t y a compresión σ adm,c. Para dimensionar una sección transversal solicitada a flexión pura utilizando este tipo de materiales, se ha de verificar:

90 TENSIONES ADMISIBLES Cuando se utilizan materiales que tienen el mismo esfuerzo límite de tracción y de compresión y, por tanto, el mismo esfuerzo admisible, el anterior criterio de dimensionamiento se reduce a: σ máx = σ adm siendo σ máx el máximo esfuerzo normal, ya sea de tracción o de compresión. Al dimensionar una sección solicitada por el momento flector M z utilizando un material que tenga el mismo esfuerzo límite de tracción que de compresión, el módulo resistente necesario será:

91 TENSIONES ADMISIBLES De ella se deduce inmediatamente que las secciones más económicas en flexión serán aquellas que tengan el mayor módulo resistente W z con el menor gasto de material, lo que se consigue situando la superficie de la sección lo más alejada posible del eje neutro. Esta es la razón de que en flexión tengan utilización preferente los perfiles delgados esquematizados en la siguiente figura:

92 FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER Sean DE y CF las trazas de los planos que contienen a dos secciones rectas indefinidamente próximas de un prisma mecánico, sometido a flexión pura.

93 FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER Si unas fibras se alargan y otras se acortan, por la continuidad de las deformaciones existirá una fibra neutra que no experimente variación de longitud alguna.

94 FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER Sea AB la traza de la superficie neutra, cuyo radio de curvatura es r z. Es fácil demostrar que los triángulos MNB y ABO son semejantes, por lo que se podrá escribir:

95 FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER Como se tiene:

96 FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER En virtud de la ley de Hooke: Δdx/dx = ε = σ/E por lo que: o lo que es lo mismo:

97 FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER Ley de Navier:Como el cociente E/r es constante en cada sección, podemos enunciar la Ley de Navier: «En una sección sometida a flexión pura, los módulos de las tensiones que se ejercen sobre las distintas fibras son directamente proporcionales a sus distancias a la fibra neutra». La representación gráfica de dichas tensiones será lineal y, como era de esperar, las máximas tensiones de compresión y de tracción corresponden a las fibras extremas.

98 RIGIDEZ A FLEXIÓN Por otra parte, puesto que: se obtiene que: Según esta expresión, la curvatura de la elástica es directamente proporcional al momento flector M z e inversamente proporcional a la magnitud EI z, llamada Rigidez a Flexión. Rigidez a Flexión: Oposición que pone el prisma mecánico a deformarse.

99 FLEXIÓN SIMPLE: CONVENIO DE SIGNOS En una viga apoyada en sus extremos A y B, tal como la indicada en la figura siguiente, el Momento en una sección mn a distancia x de A, considerando las fuerzas situadas a su izquierda, será: M i (x) = R Ax - P(x - a) Y el esfuerzo cortante: T i (x) = R A – P

100 FLEXIÓN SIMPLE: CONVENIO DE SIGNOS Si consideramos las fuerzas situadas a la derecha de la sección, se tendría: M d (x) = R B (a + b - x) T d (x) = -R B Evidentemente, se habrá de cumplir: M i (x) = M d (x) T i (x) = T d (x)

101 FLEXIÓN SIMPLE: CONVENIO DE SIGNOS El esfuerzo cortante y el momento flector serán funciones de la abscisa x de la sección: T = T(x) M = M(x) La representación gráfica de estas funciones da lugar al diagrama de esfuerzos cortantes y al diagrama de momentos flectores, respectivamente.

102 FLEXIÓN SIMPLE El dimensionado de una viga, exclusivamente a flexión, exige el conocimiento de los valores que adopta el momento flector en cada sección de la viga. Vamos, por tanto, a determinar los momentos flectores insistiendo especialmente en su valor máximo. Como norma general, la determinación de momentos implica el conocimiento de todas las fuerzas que actúan sobre el prisma mecánico. Se tratarán los siguientes casos de sustentación: viga simplemente apoyada y viga en voladizo.

103 MOMENTOS FLECTORES Viga simplemente apoyada. En todos los casos que se estudian a continuación se supone el peso propio de la viga despreciable respecto a las cargas que actúan sobre la misma.

104 MOMENTOS FLECTORES CARGA CENTRADA a.-Carga centrada y concentrada. En primer lugar se determinan las reacciones teniendo en cuenta que la suma de componentes verticales ha de ser nula: R A + R B - P = 0

105 Tomando momentos respecto del punto medio: de donde: MOMENTOS FLECTORES CARGA CENTRADA

106 Haciendo uso ahora de las leyes de los momentos flectores: MOMENTOS FLECTORES CARGA CENTRADA

107 El momento flector máximo se presentará en el punto medio de la viga. Su valor será: MOMENTOS FLECTORES CARGA CENTRADA

108 MOMENTOS FLECTORES CARGA DESCENTRADA b.-Carga descentrada y concentrada. En primer lugar se determinan las reacciones imponiendo la condición de componente vertical nula: R A + R B - P = 0

109 Tomando momentos respecto del extremo B: R A L - Pb = 0, de donde: MOMENTOS FLECTORES CARGA DESCENTRADA

110 Haciendo uso de las leyes de los momentos flectores: MOMENTOS FLECTORES CARGA DESCENTRADA

111 El momento flector máximo tendrá lugar en la sección en la que está aplicada la carga y su valor se obtiene haciendo x = a en cualquiera de las ecuaciones de momentos: MOMENTOS FLECTORES CARGA DESCENTRADA

112 MOMENTOS FLECTORES CARGA UNIFORME c.-Carga uniformemente repartida.

113 Representaremos por p la carga por unidad de longitud. Se suele expresar en toneladas por metro lineal (ton/m). MOMENTOS FLECTORES CARGA UNIFORME

114 La determinación de las reacciones es muy simple, ya que por simetría: MOMENTOS FLECTORES CARGA UNIFORME

115 En este caso rige una sola ecuación de momentos para toda la viga: Es la ecuación de una parábola, por lo que el diagrama de momentos flectores será un arco de este tipo de cónica. MOMENTOS FLECTORES CARGA UNIFORME

116 El momento máximo será: MOMENTOS FLECTORES CARGA UNIFORME

117 MOMENTOS FLECTORES EN VIGA EN VOLADIZO Vamos a suponerla perfectamente empotrada en un extremo (imposibilidad de giro en él) en todos los casos que se estudian a continuación:

118 MOMENTOS FLECTORES EN VIGA EN VOLADIZO a) CARGA CONCENTRADA EN EL EXTREMO LIBRE La ecuación de momentos puede escribirse directamente: M = -Px, válida en 0 x L

119 MOMENTOS FLECTORES EN VIGA EN VOLADIZO El momento flector máximo se dará en el empotramiento y valdrá: M máx = - pL Se trata de un máximo absoluto.

120 MOMENTOS FLECTORES EN VIGA EN VOLADIZO b) CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA. Sea p la carga por unidad de longitud. La ecuación de momentos será:

121 MOMENTOS FLECTORES EN VIGA EN VOLADIZO El momento flector máximo se dará en el empotramiento y valdrá: y como antes, se trata de un máximo absoluto.

122 ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA a) Carga centrada y concentrada sobre viga simplemente apoyada. Para una sección mn el valor del esfuerzo cortante será la suma geométrica de las fuerzas que actúan sobre la viga a uno de sus lados (consideraremos las fuerzas situadas a la izquierda).

123 a) Carga centrada y concentrada sobre viga simplemente apoyada. Así tendremos: ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA

124 b) Carga descentrada y concentrada sobre viga simplemente apoyada. ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA

125 c) Carga uniformemente repartida sobre viga simplemente apoyada. La ley de esfuerzos cortantes será: La ecuación válida para cualquier sección de la viga. ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA

126 e) Carga uniformemente repartida. La ley del esfuerzo cortante es: T = -px, para 0 x L La ecuación es válida para cualquier sección de la viga. ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA EN VOLADIZO

127 e) Carga uniformemente repartida. El valor máximo corresponde a la sección de empotramiento. Haciendo x = L en la ecuación anterior, se obtiene: T máx = -pL = -P Se trata de un máximo absoluto. ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA EN VOLADIZO

128 RELACIONES ENTRE EL ESFUERZO CORTANTE, EL MOMENTO FLECTOR Y LA CARGA

129 VÍNCULOS Y REACCIONES DE VÍNCULO 1) Biela o Cable: Ambos poseen una reacción de vínculo de carga a lo largo de su eje principal. 2) Apoyo deslizante: Posee una reacción en la dirección restringida, si se halla en un plano.

130 VÍNCULOS Y REACCIONES DE VÍNCULO 3) Articulación o Rótula: Posee dos reacciones de carga en las direcciones restringidas. 4) Empotramiento: Posee dos restricciones de tipo carga y una de tipo momento.

131 ESTRUCTURAS Definición: Conjunto de elementos unidos entre sí, destinado a resistir las fuerzas que actúan entre ellos.

132 CONDICIONES DE LAS ESTRUCTURAS 1) Que sea rígida: Es decir, que no se deforme o se deforme dentro de unos límites. Para conseguirlo, se hace triangulando los elementos (excepto si es una viga). 2) Que se estable: es decir que no vuelque. Se puede conseguir haciendo más ancha la base, o colocando tirantes. 3) Debe ser resistente: es decir que cada elemento de la estructura sea capaz de soportar el esfuerzo al que se va a ver sometido. 4) Debe ser los más ligera posible, así ahorraremos en material y tendrá menos cargas fijas.

133 EQUILIBRIO Las condiciones de equilibrio de una estructura son: a) Suma neta de esfuerzos verticales igual a cero. b) Suma neta de esfuerzos horizontales igual a cero c) Suma neta de momentos igual a cero. ECUACIONES DE EQUILIBRIO ESTÁTICO.

134 DETERMINACIÓN ESTÁTICA Se habla de que una estructura es ESTÁTICAMENTE DETERMINADA cuando posee los apoyos necesarios para evitar todos los posibles movimientos de la estructura. Cuando la estructura posee menos apoyos de los necesarios para evitar movimientos en la estructura, se dice que es ESTÁTICAMENTE INDETERMINADA y se le llama hipostática o mecanismo.

135 DETERMINACIÓN ESTÁTICA Cuando una estructura es estáticamente determinada pueden ocurrir dos casos: 1. Estructura Isostática: Posee los apoyos estrictamente necesarios para evitar los movimientos de la estructura. Es sencillo calcular los esfuerzos, pues hay el mismo número de ecuaciones de equilibrio que de incógnitas. Ej: Viga con un extremo articulado fijo (2 incógnitas) y otro articulado móvil (1 incógnita). SISTEMA ISOSTÁTICO

136 DETERMINACIÓN ESTÁTICA 2. Estructura Hiperestática: Posee más apoyos de los estrictamente necesarios para evitar los movimientos de la estructura. En este caso, existen más incógnitas que ecuaciones, por lo que se deben ingresar ecuaciones de deformación para calcular los esfuerzos. El grado de hiperestaticidad es igual a la diferencia entre el número de incógnitas y el número de ecuaciones. Ej: Viga con dos extremos articulados fijos (4 incógnitas). SISTEMA HIPERESTÁTICO DE 1° GRADO.


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