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Computación Cuántica y Teleportación de Estados Cuánticos CPR de Avilés (2004) Juan José Suárez Menéndez.

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Presentación del tema: "Computación Cuántica y Teleportación de Estados Cuánticos CPR de Avilés (2004) Juan José Suárez Menéndez."— Transcripción de la presentación:

1 Computación Cuántica y Teleportación de Estados Cuánticos CPR de Avilés (2004) Juan José Suárez Menéndez

2 Esquema ¿Por qué el procesamiento de información cuántica? Lógica clásica y lógica cuántica: De los bits a los qubits Computación cuántica. Enviando información: Clásica vs Cuántica. Teleportación de estados cuánticos. Teleportando la polarización de fotones.

3 Ley de Moore : El número de transistores en un micro-chip crece exponencialmente con el tiempo.

4 Ley de Moore: Single electron gates by 2017? La máquina de Babbage Obleas de silicio Cada 18 meses los microprocesadores doblan la velocidad MÁS RÁPIDO = MÁS PEQUEÑO Átomos 1 metro 0, m 0, m

5 Computación Física El hardware obedece las leyes de la Física. ¡La teoría de la información de Shannon está basada en la intuición a partir de la física clásica! ¡La Naturaleza, sin embargo, es mecano- cuántica! ¿Cuáles son las consecuencias de la QM para la IT? ¿Permite la mecánica cuántica nuevos métodos cualitativos de procesamiento de la información? Ideas Iniciales – los sistemas cuánticos parecen difíciles de simular son más poderosos en la computación que los sistemas clásicos Benioff , Feynman – 1984, Primer algoritmo: Deutsch

6 Clases de complejidad Problemas abordables e inabordables P: La solución puede encontrarse en un tiempo polinómico. ¡La Multiplicación de dos números crece cuadráticamente con el tamaño de la entrada (input size)! exp(L) Número de pasos tamaño L Input size ~ nº de bits que es necesario especificar input: en binario 4 bit (entrada) Evaluamos entonces el número de pasos necesarios como f (tamaño) Input size Comp. Time ns ns ns

7 En 1985 David Deutsch (generalización en 1992 por Jozsa) demostró que en mecánica cuántica la complejidad de algunos problemas puede cambiar significativamente! (Se comentará posteriormente este algoritmo) En 1994, Peter Shor descubrió un algorítmo cuántico que permite factorizar números grandes en un tiempo polinómico, es decir, ¡factorizar es tan fácil como multiplicar! NP: La Solución puede comprobarse en un tiempo polinómico, pero encontrarla puede requerir un tiempo no-polinómico. ¡Encontrar los factores de un producto de dos números primos grandes es exponencial en el número de dígitos! Input size Tiempo de computación 10 1 s s s

8 Computación Cuántica Procesado clásico de la información: Bits y puertas lógicas. Procesado cuántico de la información: Qubits y puertas cuánticas. El algorítmo cuántico de Deutsch- Jozsa.

9 Lógica Clásica I a ba XOR b Ejemplo: La puerta XOR clásica A partir del resultado no podemos adivinar la entrada! ¡La puerta XOR es irreversible! a b a XOR b XOR Entrada básica de 0 ó 1 llamada bit

10 ¿Por qué la irreversibilidad es un problema? Recuérdese: ¡La Mecánica Cuántica es reversible! Evolución por unidad de tiempo de acuerdo con la ecuación de Schroedinger Estado inicial a t=0 Estado final a tiempo t En QM siempre podemos invertir la evolución temporal: ¡A partir del estado final siempre podemos regresar al estado inicial! No podemos implementar unívocamente una operación irreversible

11 La puerta XOR (reversible) De la salida podemos inferir la entrada ¡La puerta es reversible! a b aa XOR b ¡Las puertas reversibles pueden implementarse mecano-cuántiamente! Lógica Clásica II a b a XOR b XOR a

12 Lógica Cuántica I Definir una XOR cuántica => Puerta CNOT cuántica State 1State 2 Out 1 Out 2 |0> |1> |0> |1> |0> |1> |0> ¡Parece la misma que antes! ¿Diferencias? ¡Los mapas de superposiciones CNOT maps superpositions of de estados en estados entrelazados ! Las entradas básicas son |0> o/y |1> unidad llamada qubit La Mecánica Cuántica permite las superposiciones de estados! Símbolo para CNOT

13 Lógica Cuántica II Necesitamos puertas que creen superposiciones cuánticas La puerta Hadamard H Rotaciones generales de qubits sencillos Símbolo para la puerta Hadamard

14 Lógica Cuántica III Crear entrelazamiento Medir entrelazamiento |0>|0> + |1>|1> H |0> H |0>|0> + |1>|1>

15 Redes cuánticas Puertas lógicas cuánticas INPUT OUTPUT ¡Podemos construir cualquier transformación unitaria a partir de puertas de qubit-sencillo y puertas CNOT!

16 Un procesador cuántico para calcular F(x) El estado |x> de muchos qubits representa el número x en notación binaria (Ejemplo: |1>|1>|1> = |111> representa 7!) Necesitamos una transformación unitaria que implemente para todos los |x> PERO F: x F(x) puede no ser reversible (la salida no determina nívocamente la entrada). ¡Por lo tanto U podría no ser unitario! = 7

17 Un procesador cuántico para calcular F(x) F(000) F(001) F(010) F(011) F(100) F(101) F(110) F(111) F (x) Procesador Cuántico Hacer la computación reversible añadiendo un registro Ahora, la correspondencia one-to-one entre entrada y salida reversible, significa que puede encontrarse un operador unitario U que implemente la función

18 Paralelismo Cuántico I Etapa 1: Crear una superposición de todos los N bit números in notación binaria Etapa 2: Aplicar la transformación unitaria U a este estado Etapa 3: Medir el segundo registro y obtener un resultado único Estado inicial - Superposiciones de todas las posibles entradas Estado final – superposiciones de las correspondientes salidas

19 Paralelismo Cuántico II Esencia de la Computación Cuántica: La naturaleza nos permite calcular un gran número de resultados en paralelo PERO Únicamente podemos acceder directamente a una de esas respuestas Afortunadamente hay problemas para los cuales una simple respuesta es suficiente El algorítmo Deutsch-Jozsa para distinguir funciones. El algorítmo de Shor para factorizar eficientemente un número grande. El algorítmo de Grovers para la búsqueda rápida en una gran base de datos. La integración mumérica de la ecuación Schroedinger de sistemas cuánticos de muchos cuerpos … Ejemplos

20 Espacio Clásico de estados frente a Espacio de Hilbert El espacio clásico de muchas partículas es el producto Cartesiano del espacio de las partículas simples Si un susbsistema requiere 2 parametros para su descripción, ¡Entonces N sistemas requieren 2N parametros! Estado Físico de N partículas: El espacio de muchas partículas cuánticas es el producto tensorial del espacio de las partículas simples Si un subsistema requiere 2 parámetros para su descripción, ¡Entonces N sistemas requieren 2 N parametros! Estado de N particulas: Necesita especificar 2 N parámetros

21 Espacio de Hilbert Espacio explorado por los estados producto (sistemas clásicos) Los sistemas cuánticos exploran todo el espacio de Hilbert más parámetros. La situación para estados mezclados aún no se comprende bien (Los sistemas entrelazados y desentrelazados tienen el mismo número de parámetros).

22 El algorítmo de Deutsch-Jozsa I Problema: Decidir si una función de 1 bit es constante o equilibrada or Clásicamente necesitamos calcular la función dos veces, Para cada valor de entrada Dada una operación unitaria: un algorítmo cuántico necesita aplicar U solamente una vez

23 El algorítmo de Deutsch-Jozsa II H |0> |1> H H U Detecta |0> or |1>

24 Resultado: Clásicamente la función necesita ser evaluada 2 N-1 veces ¡El algorítmo cuántico necesita una sola evaluación! El algorítmo de Deutsch-Jozsa III H |0> |1> H H U Detecta |0> or |1> Si detecta |0> entonces la función es constante. Si detecta |1> entonces la función está equilibrada. Ejercicio: Generalizar el algorítmo a funciones de N variables.

25 Teleportación de Estados Cuánticos Teoría y Experimentos

26 Enviando información Alice Bob Gran separación entre las partes Coloca algunos datos en su máquina-fax Se lee la información y se envía al fax de Bob Bob reconstruye a página en su fax Bob recibe información Física Clásica: Alice mantiene su original y Bob recibe una copia. Por debajo del límite atómico: ¿Podemos hacer la máquina de fax definitiva?

27 Copiado de la Información Cuántica La linealidad de la mecánica cuántica prohibe la copia de un estado cuántico arbitrario desconocido. + El teorema de no-clonación

28 Demostración del teorema de no-clonación Estado del sistema a copiar Papel en blanco para escribir en él la copia Transformación unitaria de estados independientes Linealidad de QM ¡Pero eso sería el estado correctamente copiado!

29 Conclusiones: No podemos leer el estado cuántico. No podemos hacer copias del estado cuántico. La Teleportación Cuántica lleva a cabo el mejor fax cuántico posible ¿Es imposible el fax cuántico Si Alice y Bob pueden compartir entrelazamiento entre ellos y autorizados a intercambiar mensajes clásicos, entonces podemos transferir estados cuánticos desconocidos entre Alice y Bob.

30 LA IDEA BÁSICA SIN ECUACIONES

31 Matemáticas de la Teleportación: Dos definiciones Los operadores de espín de Pauli La base de Bell

32 Las Matemáticas de la Teleportación I Estado inicial: Reescritura del estado inicial en la nueva base: =

33 Las Matemáticas de la Teleportación II Alicia mide sus dos partícula y comunica resultado a Bob Bob siempre obtiene el estado correcto =

34 Características principales de la Teleportación No se transporta la masa ¡sólo los estados cuánticos! No es posible la comunicación superlumínica ¡porque tiene que enviarse un mensaje clásico para completar la teleportación! No tiene lugar una copia de la información cuántica, ¡porque el original se destruye! ¡En entrelazamiento compartido se destruye!

35 El Experimento I

36 El Experimento II Fotografía de Michael Reck y Paul G. Kwiat Anillo superior: Polarizado verticalmente Anillo inferior: Polarizado horizontalmente Hay entrelazamiento de la polarización i)Si no conocemos qué fotón va en cada dirección ii) Qué color tiene cada fotón

37 Resumen La Mecánica Cuántica nos permite un significado diferente de la computación. Un cambio de paradigma: Considera el entrelazamiento como un recurso que puede consimirse para implementar las tareas de procesado de la información cuántica. Puede efectuarse la teleportación de estados cuánticos Se ha dado una demostración de los principios del trabajo experimental. En nuestro modo de contstrucción de un computador cuántico hemos mejorado nuestra capacidad de almacenar y manipular sistemas cuánticos individuales. Esas nuevas tecnologías beneficiarán a otras áreas que van desde la investigación básica a las aplicaciones industriales.


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