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1 Módulo 2 Segunda Parte Especialidad en Métodos Estadísticos Centro de Investigación en Matemáticas, A. C.

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2 1 Módulo 2 Segunda Parte Especialidad en Métodos Estadísticos Centro de Investigación en Matemáticas, A. C.

3 2 1. Nociones de Probabilidad 2. Distribuciones Discretas. 3. Distribuciones Continuas. 4. Distribuciones muestrales. 5. Distribución Normal. 6. La distribución Ji-cuadrada. Módulo 2 1 er Parte 2 da Parte

4 3 1. Nociones de Probabilidad. 2. Algunas distribuciones de probabilidad discretas. 3. Algunas distribuciones continuas de probabilidad. 4. Distribuciones muestrales. 5. Distribución Normal. 6. La distribución Ji-cuadrada. Módulo 2 1 er Parte 2 da Parte

5 4 4. Distribuciones muestrales. –4.1. Muestra Aleatoria Simple –4.2. Distribución de Muestreo –4.3. Distribución muestral de promedios en poblaciones. –4.4. Distribución muestral de proporciones. 5. Distribución Normal. –5.1. Importancia de la distribución Normal. –5.2. Áreas tabuladas de la distribución de probabilidad normal. –5.3. El teorema del límite central. –5.4. Distribución binomial. –5.5. La aproximación normal para la distribución binomial. –5.6. Papel de probabilidad Normal. 6. La distribución Ji-cuadrada. –6.1. Importancia de la Ji-cuadrada. –6.2. Bondad de ajuste. –6.3. Empleo de Ji-Cuadrada en normalidad y estimación de varianzas. –6.4. Tablas de contingencia. –6.5. Pruebas de significancia en cuadros mayores de 2 x 2. –6.6. Restricciones en el empleo de la Ji-Cuadrada. 7 Teorema de Chebyshev Segunda Parte Módulo 2

6 5 4. Distribuciones muestrales. 5. Distribución Normal. 6. La distribución Ji-cuadrada. Módulo 2 2 da Parte

7 6 4. Distribuciones Muestrales.

8 Objetivo Entender el concepto e importancia de distribución de muestreo. Aprender a utilizar las distribuciones de muetreo, su uso y aplicaciones. Para que sirven y como aplicarlas en casos prácticos. 7

9 8 Muestreo. El muestreo es una herramienta de la investigación científica. Su función básica es determinar que parte de una realidad en estudio (población o universo) debe examinarse con la finalidad de hacer inferencias sobre dicha población. (Ejemplo)inferenciasEjemplo 4. Distribuciones muestrales.

10 9 La información de los estudios de muestreo es parte de nuestra vida diaria, casi en su totalidad. Tal información determina el rumbo que deberán tomar algunas políticas gubernamentales como, por ejemplo, la promoción de programas sociales o el control de la economía. Revisión Conceptos de Muestreo

11 10 Las encuestas de opinión son la base de muchas de las noticias proporcionadas en los medios. Los estudios de rating televisivo determinan cuales son los programas que permanecerán al aire en el futuro. No se diga los estudios de preferencias electorales, para definir estrategias por parte de los partidos políticos. Revisión Conceptos de Muestreo

12 11 Las investigaciones de mercado indicaran cuales productos y con que características son los preferidos de los consumidores Por otro lado, están los estudios de muestreo en las ciencias biológicas, geológicas, del medio ambiente, marítimas entre otras. Muestreo de Aceptación (Industrial) Revisión Conceptos de Muestreo

13 12 Aún cuando la terminología de las ciencias sociales difiere de las ciencias exactas, los científicos sociales conducen estudios de muestreo y los científicos de las áreas físicas realizan en su mayoria experimentos, ambos tienen el propósito de captar información en torno a los fenómenos naturales. Revisión Conceptos de Muestreo

14 13 Sin embargo, esas diferencias existen en el campo de la ciencia, debido a la naturaleza de las poblaciones y a la manera en que una muestra puede ser extraída. Por ejemplo, poblaciones de votantes, de cuentas financieras, o de animales de una especie particular pueden contener un número relativamente pequeño de elementos (finito). Revisión Conceptos de Muestreo

15 14 En contraste, la población conceptual de respuestas generadas por la medición de la producción de un proceso químico, es muy grande (infinito). Las limitaciones del procedimiento de muestreo también varían de un área de la ciencia a otra. Revisión Conceptos de Muestreo

16 15 El muestreo en las ciencias biológicas y físicas, puede frecuentemente ser realizado bajo condiciones experimentales controladas. Tal control es frecuentemente imposible en las ciencias sociales, negocios, y administración de recursos naturales (observación). Revisión Conceptos de Muestreo

17 16 ¿Cómo realizar un inventario? 1.- Censo: es un conteo exhaustivo de los individuos o elementos de la población bajo estudio. –Desventajas: Costos elevados. Estático. Requiere mucho tiempo. 2.- Muestreo: una parte representativa del recurso. –Ventajas: Reduce costos. Puede ser dinámico. Reduce tiempos. Un Ejemplo: Población y Muestra

18 17 Se ha manejado que la estadística moderna es la teoría de la información, cuyo objetivo es la inferencia. Nuestro interés se centra en un grupo de mediciones que existen o pueden ser generadas, una población. El medio de la inferencia es la muestra, la cual es un subgrupo de mediciones seleccionadas de la población.inferencia Conceptos de Población y Muestra

19 18 Deseamos entonces realizar inferencias sobre la población basándonos en las características que observamos en la muestra, o equivalentemente, en la información contenida en la muestra. Conceptos de Población y Muestra

20 19 Población vs. Muestra N elementos en la población n - elementos en la muestra Conceptos de Población y Muestra

21 20 El error que se comete debido al hecho de que se obtienen conclusiones sobre cierta realidad a partir de la observación de sólo una parte de ella, se denomina error de muestreo. Obtener una muestra adecuada, significa lograr una versión simplificada de la población, que reproduzca de algún modo sus rasgos y características básicas o de interés. Conceptos de Población y Muestra

22 21 Elemento: es un objeto o persona en el cual se toman las mediciones. Población objetivo: conjunto de individuos de los que se quiere obtener una información. Unidades de muestreo: el conjunto de elementos no traslapados de la población que cubren a la población completa. Todo miembro de la población pertenecerá a una y sólo una unidad de muestreo. Terminología

23 22 Unidades de análisis: objeto o individuo del que hay que obtener la información. Marco muestral: lista de unidades o elementos de muestreo. Muestra: conjunto de unidades o elementos de análisis seleccionadas de un marco o varios marcos. Terminología

24 23 Muestreo probabilístico. El planteamiento clásico del problema de estimación estadística requiere que la aleatoriedad esté comprendida en el diseño de muestreo para así poder evaluar probabilísticamente, las propiedades de los estimadores. Al diseño de muestreo que plantea la selección, de unidades de muestreo, basada en la aleatoriedad se le llama muestreo probabilístico. Terminología

25 24 Límite para el error de estimación. Si es la característica poblacional de interés y es un estimador (basándose en la información de la muestra) de, debemos especificar un límite para el error de estimación; esto es, debemos especificar que y difieran en valor absoluto a lo más en cierto valor B. Simbólicamente, Terminología

26 25 puede ser cualquier característica de la población (el promedio, el total, un porcentaje, el valor mediano, el valor mínimo, etcétera) Se le llama parámetro es el estadístico obtenido a partir de la información de la muestra. En algunas veces llamado estadístico de prueba. (el promedio de la muestra, el total de la muestra, el mínimo de la muestra, la mediana de la muestra, etcétera) Terminología

27 26 Parámetro poblacional vs. Estadístico muestral Parámetros = media poblacional P = proporción Max = Máximo Mediana poblacional = desviación poblacional Estadísticos x = media muestral P = proporción Max = Máximo Mediana muestral s = desviación muestral

28 27 También debemos definir una probabilidad, (1- ) que especifique la fracción de veces en muestreo repetido, que requeriremos que el error de estimación sea menor que B. Esto es Terminología

29 28 Muestreo no probabilístico. El muestreo no probabilístico no involucra ningún elemento aleatorio en el proceso de selección. Terminología

30 Muestras aleatorias. Definición 1: Si X 1, X 2,..., X n son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, decimos que constituyen una muestra aleatoria de la población infinita dada por su distribución común. Si S es un espacio muestral con una medida de probabilidad y X es una función con valor real definida con respecto a los elementos de S, entonces X se denomina Variable Aleatoria.

31 Muestras aleatorias. Definimos a S un espacio muestral como al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento (aleatorio).

32 Muestras aleatorias. Para un espacio muestral S dado, una Variable Aleatoria es cualquier regla que asocia un número con cada resultado de S. S a b d g f e c 10 Si a o b 11 Si c 12 Si e o f 130 Si g X =

33 32 Unas muestra aleatoria simple de tamaño n, de una población finita de tamaño N, es una muestra seleccionada de tal manera que cada una de las muestras posibles de tamaño n tenga la misma probabilidad de ser seleccionada. 4.1 Muestra Aleatoria Simple (Población Finita)

34 33 Entrando al tema del muestreo probabilístico es importante definir y entender lo que es una distribución de muestreo. ¿Qué es una distribución muestral? 4.2 Distribución de Muestreo

35 34 ¿Qué es una distribución muestral? La distribución muestral de un estadístico de prueba proporciona (1) una lista de todos los valores que puede tomar dicho estadístico y (2) la probabilidad de obtener cada valor, suponiendo que éste es producto sólo del azar. 4.2 Distribución de Muestreo

36 35 ¿Qué es una distribución muestral? Definimos Distribución Muestral como la distribución de probabilidad de todos los posibles valores que puede tomar un estadístico, suponiendo que sólo influye el azar (Para un parámetro poblacional dado) 4.2 Distribución de Muestreo

37 36 La distribución muestral de la media proporciona todos los valores que puede tomar la media, junto con la probabilidad de obtener cada valor si el muestreo es aleatorio a partir de la población hipotética. La media muestral posee las siguientes características: x es la media de la distribución muestral. x = es la desviación estándar de la distribución muestral de la media 4.3 Distribución muestral de la media

38 37 2 La media muestral es igual a la media poblacional, x. 3. La media muestral tiene una desviación estándar igual a la desviación estándar poblacional de datos crudos, dividida entre la raíz del número de datos. Es decir: 4. Presenta una forma de campana 4.3 Distribución muestral de la media

39 38 A pesar que la demostración de la distribución muestral de la media va más allá de los alcances del curso, podemos hacer un ejemplo para la mejor comprensión de la distribución muestral de la media. Supongamos una población de solo cinco elementos 2, 3, 4, 5 y 6. La media de la población es = 4.0 y la desviación estándar de la población es = Distribución muestral de la media

40 39 Ahora queremos deducir la distribución muestral de la media para muestras de tamaño 2 de la población. Extraemos todas las distintas muestras de tamaño n = 2. Y observamos cual es el valor de x-barra y su probabilidad. 4.3 Distribución muestral de la media

41 40 Estadísticos x = (X 1 + X 2 )/2 n = N = 10 X 1, X Distribución muestral de la media

42 Distribución muestral de la media

43 42 Distribución muestral de la media n =2 4.3 Distribución muestral de la media

44 43 Media de la población Media de la muestra Distribución muestral de la media n =2 4.3 Distribución muestral de la media

45 44 Así, y también Distribución muestral de la media n =2 4.3 Distribución muestral de la media

46 45 La distribución muestral de la media proporciona todos los valores que puede tomar la media, junto con la probabilidad de obtener cada valor, si el muestreo es aleatorio a partir de la población hipotética. Distribución muestral de la media n =2 4.3 Distribución muestral de la media

47 46 Estadísticos x = (X 1 + X 2 )/2 n = N = ____ = ____ X 1, X 2 Población hipotética EDM 4.3 Distribución muestral de la media

48 47 Estadísticos x = (X 1 + X 2 )/2 n = N = _10_ = _4.0 = _1.0 X 1, X 2 Población hipotética EDM 4.3 Distribución muestral de la media

49 48 Distribución muestral de la media, para N = 10 población, con media poblacional =4, varianza poblacional = 1 y tamaño de muestra n =2

50 49 Distribución muestral de la media para N = 15, con media poblacional = 4 y tamaño de muestra n =3

51 50 Distribución muestral aproximada de la media para N = 10000, con media poblacional = 40 y tamaño de muestra n =300

52 51 Límite para el error de estimación. Si es la característica poblacional de interés y es un estimador (basándose en la información de la muestra) de, debemos especificar un límite para el error de estimación; esto es, debemos especificar que tanto difieren en valor absoluto. Simbólicamente, 4.3 Distribución muestral de la media

53 52 Definición 1: Si X 1, X 2,..., X n son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, decimos que constituyen una muestra aleatoria de la población infinita dada por su distribución común. Definición 2 Si X 1, X 2,..., X n constituyen una muestra aleatoria, entonces: Se denomina media de la muestra y Se conoce como la varianza de la muestra. 4.3 Distribución muestral de la media

54 53 Distribución de la media (población infinita) Teorema 1 Si X 1, X 2,..., X n constituyen una muestra aleatoria de una población infinita que tiene media y la varianza 2, entonces: Definición de estadística Un estadística es cualquier cantidad cuyo valor se pueda calcular a partir de datos muestrales.

55 54 Teorema del límite central Teorema 2 Si X 1, X 2,..., X n constituyen una muestra aleatoria de una población infinita que tiene la media y la varianza 2, entonces la distribución límite de: Cuando n, es la distribución normal estándar.

56 55 Teorema del límite central Una forma sencilla de expresar el teorema del límite central es: la suma (o promedio) de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, sigue una distribución límite normal con media n (ó ) y varianza 2 /n.

57 56 Ejemplo Una maquina vendedora de refrescos está programada para que la cantidad de refresco que se sirva sea una variable aleatoria con una media de 200 mililitros y una desviación estándar de 15 mililitros. ¿cuál es la probabilidad de que la cantidad de refresco promedio (media) servida en una muestra tomada al azar de 36, sea cuando menos 204 mililitros.

58 57 Ejemplo Según el teorema 1, la distribución de x-barra tiene la media x = 200 y la desviación estándar x =15/ 36 = 2.5, de acuerdo con el teorema del límite central, esta distribución es aproximadamente normal. Como z =( )/2.5 = 1.6, se deduce de la tabla de la distribución normal estándar que la P(x-barra 204) = P(z 1.6) =

59 58 Distribución de la media (población finita) Si x-barra es la media de una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población finita de tamaño N con media y la varianza, entonces:

60 59 Distribuciones muestrales Distribución Ji Cuadrada Si x tiene distribución normal estándar, entonces x 2 tiene la distribución gama especial a la que nos referimos como la distribución ji cuadrada con = 1 grado de libertad. La ji cuadrada es importante en problemas de muestreo de poblaciones normales. Una variable aleatoria x tiene una distribución ji cuadrada ( 2 ) con (nu) grados de libertad, si su densidad está dada por:

61 60 Teorema 3. Si s 2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población normal cuya varianza es 2, entonces: es el valor de una variable aleatoria que tiene distribución Ji-cuadrada con parámetro = n - 1 grados de libertad

62 61

63 62 inferencia.(De inferir). 1.f. Acción y efecto de inferir. inferir.(Del lat. inferre, llevar a). 1.tr. Sacar una consecuencia o deducir algo de otra cosa. U. t. c. prnl. 2.tr. Llevar consigo, ocasionar, conducir a un resultado. 3.tr. Producir o causar ofensas, agravios, heridas, etc. Definiciones Continuar

64 Distribución muestral de proporciones. Definición 3: Si X 1, X 2,..., X n son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que solo toman valores de X i = 1 ó X i = 0, dependiendo si poseen o no la característica de interés respectivamente, decimos que constituyen una muestra aleatoria de un experimento binomial de la población infinita dada por su distribución común.

65 64 Definición 4 Si X 1, X 2,..., X n constituyen una muestra aleatoria de un experimento binomial, entonces: Se denomina proporción de la muestra y es la varianza de la muestra, ya que cumple con los requisitos de un experimento binomial. 4.4 Distribución muestral de proporciones.

66 65 Teorema 4 Si X 1, X 2,..., X n constituyen una muestra aleatoria de una población infinita donde X i constituye un experimento Bernoulli, tal que que P es la proporción de la población con la característica de interés, entonces se cumple que: 4.4 Distribución muestral de proporciones. (para un tamaño de muestra suficientemente grande)

67 66 Teorema del límite central (aproximación para proporciones) De aquí se tiene la aproximación de que si X 1, X 2,..., X n constituyen una muestra aleatoria de una población infinita que tiene la proporción P de un experimento Bernoulli, entonces la distribución límite de: Cuando n, entonces z tiene una distribución límite normal estándar.

68 67 Teorema del límite central (aproximación para proporciones) También se puede ver este resultado como dada una muestra aleatoria X 1, X 2,..., X n de variables aleatorias Bernoulli, con x = el número de éxitos observados, en n intentos igualmente probables, entonces la distribución límite de: Con p = x/n, para n, z tiene una distribución límite normal estándar.

69 68 Teorema del límite central (aproximación para proporciones) Ejemplo: La proporción de familias de la ciudad de Aguascalientes, que son dueñas, no arrendatarias, de sus casas es de Si al azar se entrevistan a 84 familias de esta ciudad y sus respectivas respuestas –a la pregunta de si son dueñas o no de su casa- se consideran valores de variables aleatorias independientes que tienen distribución de Bernoulli idénticas con el parámetro P = 0.70, ¿Con qué probabilidad podemos afirmar que el valor que se obtenga de la muestra p será menor que 0.64

70 69 Teorema del límite central (aproximación para proporciones) Respuesta: P = 0.70, p = 0.64, n = 84, sustituyendo.

71 70 Distribuciones muestrales de la media muestral. Guía para el uso de la distribución t, normal estándar y el Teorema del Límite Central. * Rigurosamente es, pero para n 30 podemos aproximar la distribución t por una normal estándar, por el T.L.C. Nota: La regla n 30 es una buena aproximación en la gran mayoría de los casos, salvo cuando la población tiene una distribución muy asimétrica, o muy distinta de la forma de campana. Estadístico: ? = Consultar a un experto en estadística Población Normal No Normal conocida desconocida conocida n 30 n < 30 n 30 n < 30 ? ? * T.L.C. No importa el tamaño de la muestra.

72 Distribución Normal o Gaussiana

73 72 La distribución de probabilidad más importante en el campo de la probabilidad y la estadística es la distribución de probabilidad normal, que tiene función de densidad de probabilidad (f.d.p.) a 5.1 Distribución Normal o Gaussiana

74 73 Donde y 2 son los parámetros de la distribución. Si una variable aleatoria (v.a.) X tiene una f.d.p. como la anterior la denotaremos como X N(, 2 ) Distribución Normal o Gaussiana

75 74 Distribución Normal o Gaussiana

76 75 Distribución Normal o Gaussiana

77 76 Distribución Normal o Gaussiana

78 77 Propiedades de la Distribución Normal La distribución es simétrica con respecto a E(x)= y VAR(x)= 2 Aunque la v.a. X puede tomar cualquier valor entre - y +, se tiene que –Aprox. 68% de la distribución, está en el intervalo

79 78 Propiedades de la Distribución Normal (continuación) –Aprox. 95% de la dist. está en el intervalo 2 –Aprox. 99% de la dist. está en el intervalo 3 o equivalentemente P[ - < X < + ] = P[ - 2 < X < + 2 ] = P[ - 3 < X < + 3 ] = 0.997

80 79 Distribución Normal o Gaussiana

81 80 La distribución con media =0 y varianza 2 =1 se llama Distribución Normal Estándar Usualmente se denota la v.a. normal estándar por Z. Entonces lo denotamos como Z N(0,1) Distribución Normal Estándar

82 81 Distribución Normal Estándar

83 82 Para determinar áreas bajo esta curva nos basamos en la tabla que tiene tabulados la función de distribución acumulativa de Z, esto es, P(Z z)= (z) (z) z 5.2. Áreas tabuladas de la distribución de probabilidad normal.

84 83 Usando dicha tabla determinamos probabilidades correspondientes a valores específicos de z. 1) P( Z < 1.96 ) = ( 1.96 ) = ) P( Z > 1.96 ) = 1 - P( Z < 1.96 ) = 1 - (1.96) = =

85 84 4) P( 1.96 < Z < 2.31 ) = (2.31) - (1.96) = = ) P( < Z < 2.31 ) = (2.31) - (-1.96) = =

86 85 Por otra parte nos puede interesar determinar z cuando hemos determinado de antemano la probabilidad, por ejemplo: 1) Determine z tal que P(Z>z)= Respuesta: Como el área total bajo la curva es uno, P(Z z)= = entonces (z)= El valor de z corresponde a la entrada tabular es z=0.68

87 86 2) Obtener el valor de z > 0 de tal forma que P(-z

88 87 De la tabla tenemos que (1.64) = y (1.65) = Entonces z está entre 1.64 y Así que z = z=1.645

89 88 Estandarizando una Variable Normal Si X N(, 2 ) para calcular la probabilidad de algunos valores de X de manera fácil, primero estandarizamos X. Si especificamos y 2, entonces Z = (X - ) / N(0,1)

90 89 Ejemplo: Supongamos X N(50, 2 =4), entonces determine P( 48 < X < 53 ). Respuesta: Primero estandarizamos X, para obtener una variable X N(0,1). P[48 < X < 53] = P[ (48-50)/2<(X- )/ <(53-50)/2] = P [ (48-50)/2 < Z < (53-50)/2 ] = P [ -1 < Z < 1.5 ]

91 90 Estandarizando una Variable Normal

92 91 Ejemplo: Determine las probabilidades de que una variable aleatoria que tiene la distribución normal estándar tome un valor de: a) menor que 1.72 b) menor que c) entre 1.30 y d entre y 4.45

93 92 Mean,Std. dev. 0,1 Normal Distribution x density Áreas tabuladas de la distribución de probabilidad normal.

94 93 Ejemplo: Supóngase que durante periodos de meditación la reducción del consumo de oxigeno de una persona es una variable aleatoria que tiene distribución normal con media = 37.6 centímetros cúbicos por minuto y = 4.6 cc por minuto. Determine las probabilidades de que durante un periodo de meditación el consumo de oxígeno de una persona se reduzca en : a) Cuando menos 44.5 cc por minuto b) Cuando mucho 35.0 cc por minuto c) entre 30.0 y 40. Cc por minuto

95 Teorema del Límite Central Algunas veces, el este teorema se interpreta incorrectamente, como aquel que implica que la distribución de x-barra tiende a una distribución normal cuando n tiende a infinito. Esto es incorrecto porque var(x-barra) tiende cero, cuando n tiende a infinito; por otra parte, el teorema del límite central justifica la aproximación de la x-barra con una distribución normal que tiene media y la varianza 2 /n cuando n es grande. En la práctica, esta aproximación se utiliza cuando n 30 sin importar la forma de la población que se muestrea

96 Teorema del Límite Central Para valores menores de 30, la aproximación es cuestionable, sin embargo, es interesante observar que cuando la población que se muestrea es normal, la distribución de x-barra es una distribución normal sin importar el tamaño de n.

97 96 Distribuciones muestrales de la media muestral. Guía para el uso de la distribución t, normal estándar y el Teorema del Límite Central. * Rigurosamente es, pero para n 30 podemos aproximar la distribución t por una normal estándar, por el T.L.C. Nota: La regla n 30 es una buena aproximación en la gran mayoría de los casos, salvo cuando la población tiene una distribución muy asimétrica, o muy distinta de la forma de campana. Estadístico: ? = Consultar a un experto en estadística Población Normal No Normal conocida desconocida conocida n 30 n < 30 n 30 n < 30 ? ? * T.L.C. No importa el tamaño de la muestra.

98 97 Distribución t-Student Si x-barra y s 2 son la media y la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población normal con media y la varianza 2, entonces tiene una distribución t-student con n-1 grados de libertad.

99 98 Distribución t-Student Para usar la distribución normal es necesario conocer el valor de la desviación estandar poblacional (distribución estándar poblacional). Como es más común el desconocimiento, entonces se estima a través de s (desviación estándar muestral) y se usa la distribución t.

100 99 Ditribución t-Student Comparación de una ditribución normal estándar con una distribución t con 1 grado de libertad

101 100 Ditribución t-Student Comparación de una ditribución normal estándar con una distribución t con 1 y 3 grados de libertad.

102 101 Ejemplo Suponga que usted tiene una técnica que puede modificar la edad a la cual los niños empiezan a hablar. En su localidad, el promedio de edad, en la cual un niño emite su primera palabra, es 13 meses. No conoce la desviación estandar poblacional. Usted aplica dicha técnica a una muestra de 15 niños. Los resultados son los siguientes:8, 9, 10, 15, 18, 17, 12, 11, 7, 8, 10, 11, 8, 9, 12. n = 15, x-barra = 11.0, desviación estándar s = Si la media poblacional (verdadera) es 13 meses, ¿cuál es la probabilidad de encontrar un valor igual o menor de x- barra de 11 meses?

103 102 Ditribución t-Student Se tiene que = 13, s = 3.34, x-barra = 11 y n = 15. Sustituyendo se obtiene:

104 103 Ditribución t-Student

105 Distribución binomial Un experimento binomial tiene las siguientes características: 1. El experimento consiste de n ensayos idénticos 2.Cada ensayo produce uno de dos resultados posibles (éxito o fracaso) 3.La probabilidad de éxito en un sólo ensayo es p, y es constante para todos los ensayos (la probabilidad de fracaso es q = 1 - p).

106 Distribución binomial Un experimento binomial tiene las siguientes características: 4. Los ensayos son independientes entre si. 5. El experimentador está interesado en la variable y, que representa el número de aciertos observados en los n ensayos.

107 Distribución binomial Ejemplo de lanzar una moneda: Para n = 1 ensayo, como se tienen dos puntos muestrales, E 1 representado por A = águila (éxito), y E 2 representado por S = sol (fracaso), con probabilidades p y q respectivamente. Dado que y es el número de aciertos en n los posibles resultados en un ensayo son y = 1 cuando ocurre águila y y = 0 cuando es sol.

108 Distribución binomial Ejemplo de lanzar una moneda: Para n = 2 ensayos, las probabilidades de los puntos muestrales se calculan fácilmente debido a que cada punto es una intersección de dos eventos independientes, que son los resultados del primer y segundo ensayos. Por lo tanto la probabilidad de los eventos se calcula por la ley multiplicativa de la probabilidad, esto es:

109 Distribución binomial Ejemplo de lanzar una moneda: P(E 1 ) = P(AA) = P(A)P(A) = p 2 y = 2 P(E 2 ) = P(AS) = P(A)P(S) = pqy = 1 P(E 3 ) = P(SA) = P(S)P(A) = pqy = 1 P(E 4 ) = P(SS) = P(S)P(S) = q 2 y = 0

110 Distribución binomial Ejemplo de lanzar una moneda: De esta forma, las probabilidades se representan como:

111 Distribución binomial Ejemplo de lanzar una moneda: Si la moneda es legal, entonces p = 0.50, se tiene que:

112 Distribución binomial Ejemplo de lanzar una moneda: La distribución de probabilidad se obtiene de la expansión de (p + q) n ; que para n = 2 es:

113 112 Si X es una v.a. Binomial que denota el número de éxitos en n experimentos independientes, entonces su función distribución de probabilidad está dada como: donde x = 0,1,2,...,n. Además Media: = np Varianza: 2 = npq 5.4 Distribución binomial

114 Distribución Normal y las poblaciones discretas Binomial

115 114 Aplicaciones. La distribución de normal se emplea muchas veces como una aproximación de valores en una población discreta. En situaciones, debe tenrse especial cuidado para asegurar que las probabilidades se calculan de manera precisa.

116 115 Aplicaciones. Considérese el siguiente ejemplo: Se sabe que el CI de una población está distribuido normalmente en forma aproximada con =100 y = 15. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo seleccionado al azar tenga un CI de por lo menos 125? Si se hace X = IC de una persona elegida al azar, deseamos P(X 125).

117 116 Aplicaciones. (cont.) La tentación aquí es estandarizar como en los ejemplos anteriores. Sin embargo, la población del CI es discreta en realidad, ya que los CI son de valor entero, y la curva normal es una aproximación a un histograma de probabilidad discreta.

118 117 Aplicaciones. (cont.) Los rectángulos del histograma están centrados como enteros, y los CI de por lo menos 125 corresponden a rectángulos que se inician en En realidad deseamos P(X 124.5), que ahora se puede estandarizar para obtener P(Z 1.63) =

119 118 Aplicaciones. (cont.) Si hubieramos estandarizado X 125, habríamos obtenido P(Z 1.67) = La diferencia no es grande, pero la respuesta es más precisa. Análogamente, P(X = 125) sería más apropiado por el área entre y Ya que el área bajo la curva normal arriba del valor único de 125 es cero.

120 119 Aplicaciones. (cont.) La corrección para la discretización de la distribución subyacente se llama con frecuencia corrección de continuidad. Es útil en la siguiente aplicación de la distribución normal

121 120 Aproximación normal a la distribución binomial Recordemos que el valor medio y la desviación estándar de una variable aleatoria X binomial son x = np x = (npq), respectivamente. El siguiente histograma muestra una distribución binomial con n = 20, p = 0.6 [así que = 12, = [20(0.6)(0.4)] 1/2 = 2.19.

122 121 Aproximación normal a la binomial Una curva normal con valor medio y desviación estándar igual a los valores correspondientes para la distribución binomial se ha sobrepuesto en el histograma de probabilidad. Aun cuando el histograma esta un poco sesgado (porque p 0.5), la curva normal da una buena aproximación, en especial en la parte media de la figura.

123 122 Aproximación normal a la binomial

124 123 Aproximación normal a la distribución binomial El área de cualquier rectángulo (probabilidad de cualquier valor de X particular), excepto los de las colas de los extremos, se puede aproximar con presición mediante el área de la curva normal correspondiente. Por ejemplo, P(X = 10) = b(X=10; n =20, p = 0.6) = 0.117, mientras que el área bajo la curva normal entre 9.5 y 10.5 es P(-1.14 < Z < -0.68) =

125 124 Aproximación normal a la distribución binomial Más generalmente, mientras el histograma de probabilidad binomial no esté demasiado sesgado, las probabilidades binomiales se pueden aproximar bien por áres de curva normal. Se dice entonces que X tiene aproximadamente una distribución normal.

126 125 PROPOSICION. Sea X una V.A. Binomial basada en n intentos con probabilidad de éxito p. Entonces, si el histograma de probabilidad binomial no está demasiado sesgado, X tiene aproximadamente una distribución normal con = np = (npq).

127 126 PROPOSICION. En particular, para x = un valor posible de X, P(X x) = B(x;n,p) (área bajo la curva normal a la izquierda de x + 0.5) En la práctica la aproximación es adecuada si np 5 y nq 5

128 Papel De Probabilidad Normal La gráfica de papel de Probabilidad Normal, o simplemente gráfica de probabilidad normal, es un procedimiento útil para verificar si un conjunto de datos puede ser adecuadamente modelado por una distribución normal (Bondad de Ajuste). Este procedimiento consiste en construir una gráfica en el plano cartesiano, en donde, en el eje horizontal se grafican los datos y en el eje vertical la probabilidad empírica (acumulada) de los datos sobre una escala de probabilidad normal.

129 128 Es decir, es una gráfica que representa la distribución normal acumulada de los datos sobre una escala de probabilidad normal. Para construir la gráfica de probabilidad normal, deben disponerse los datos en orden ascendente y dibujar el k-ésimo de estos datos ordenados contra su punto de probabilidad acumulada P k = (k - 1/2)/N sobre papel de probabilidad normal. Si la distribución de los datos es normal, esta gráfica deberá parecer una línea recta. Papel De Probabilidad Normal

130 129 Ejemplo Papel De Probabilidad Normal

131 130 Ejemplo Papel De Probabilidad Normal

132 131 Ejemplo Papel De Probabilidad Normal

133 132 Papel De Probabilidad Normal

134 133 Distribución Normal Media 4, Desviación Estandar 1.5

135 134 Distribución Normal Media 4, varianza 1.5

136 135 Distribución Normal Media 4, varianza 1.5

137 136 Distribución Normal Media 4, varianza 1.5

138 137 Ejemplo Papel De Probabilidad Normal

139 138 A P k = (k - 1/2)/N se le conoce como función empírica de distribución. Es muy utilizada en estimaciones no paramétricas, así como en estimaciones de datos de tiempos de vida y datos de confiabilidad. NOTA: Así como se tiene papel de probabilidad normal, también existe otros tipos de gráficos de probabilidad para otras distribuciones. Papel De Probabilidad Normal

140 139 Papel De Probabilidad Normal

141 140 Papel De Probabilidad Normal

142 141 Ejercicio de Papel de probabilidad Normal. Se prueba la duración de un componente electrónico bajo condiciones de temperatura alta para acelerar el mecanismo de falla. A continuación se proporciona el tiempo de falla (en horas) de 20 componentes seleccionados al azar. Haga una gráfica de los datos sobre papel de probabilidad normal. ¿El tiempo de falla parece tener una distribución normal? Papel De Probabilidad Normal

143 142 Tiempos de falla Papel De Probabilidad Normal

144 143 Papel De Probabilidad Normal

145 144 Papel De Probabilidad Normal

146 145

147

148 147 Papel De Probabilidad Normal

149 148

150 Distribución Ji Cuadrada Modulo I Especialidad en Métodos Estadísticos CIMAT – Unidad Aguascalientes

151 Importancia De La Distribución Ji Cuadrada Hemos visto que el estimar (conocer) la varianza 2 resulta fundamental para procedimientos de distribución muestral de la media, así como para procedimientos de inferencia estadística, como se vera más adelante en la especialidad. Existen muchas aplicaciones prácticas en donde 2 es el objetivo primario de la investigación experimental. (Precisión en el llenado de bolsas). En estos casos 2 adquiere una mayor importancia que la media de la población.

152 151 Distribución Ji Cuadrada Las partes producidas por un proceso de manufactura deben ser producidas con un mínimo de variabilidad para reducir el número de productos fuera del rango aceptable (defectuosos). En general se desea mantener una varianza mínima en las características de calidad de un producto industrial para alcanzar el control del proceso y minimizar el porcentaje de productos de baja calidad.

153 152 Distribución Ji Cuadrada La varianza muestral Es un estimador insesgado de la varianza de la población 2. La distribución muestral de s 2, generada mediante muestras repetidas, es una distribución de probabilidad que empieza en s 2 = 0 (ya que no puede ser negativa) con media igual a 2. La distribución no es simétrica.

154 153 Distribución Ji Cuadrada La forma de la distribución depende del número de datos, así como de la forma de la distribución de origen. Si la población de origen de las muestras es normal, entonces la distribución estandarizada que se obtiene es la Ji- cuadrada, calculada como en la siguiente expresión:

155 154 Distribución Ji Cuadrada (Relación con la distribución normal) Si X tiene distribución normal estándar, entonces X 2 tiene la distribución gama especial a la que nos referimos como la distribución ji cuadrada con = 1 grado de libertad. La Ji cuadrada es importante en problemas de muestreo de poblaciones normales.

156 155 Distribución Ji Cuadrada Una variable aleatoria x tiene una distribución ji cuadrada ( 2 ) con (nu) grados de libertad, si su densidad está dada por:

157 156 Distribución Ji Cuadrada Función gama = ? para casos importantes: para k entero.

158 157 Teorema 3. Si s 2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población normal cuya varianza es 2, entonces: es el valor de una variable aleatoria que tiene distribución Ji-cuadrada con parámetro = n - 1 grados de libertad Distribución Ji Cuadrada (6.3 Estimación de Varianzas)

159 158 Distribución Ji Cuadrada Ejemplo 8.2 libro Estadística Matemática (Freund & Walpole). Supóngase que el espesor de una parte utilizada en un semiconductor es la dimensión crítica y que el proceso de manufactura de estas partes se considera bajo control si la variación real o verdadera, entre los espesores de las partes, está dada por una desviación estándar no mayor que = 0,0006 pulgadas.

160 159 Distribución Ji Cuadrada Para mantener controlado el proceso se toman muestras aleatorias de tamaño n = 20 en forma periódica y se considera fuera de control si la probabilidad es 0.01 o menor, de que S 2 tome un valor mayor que o igual al valor al de la muestra observada. ¿Qué se puede concluir acerca del proceso si la desviación estándar de esta muestra aleatoria periódica es s = 0.84 milésimas de pulgada?

161 160 Distribución Ji Cuadrada P(S 2 > | que = 0.60) 0.01 Solución: El proceso se declara fuera de control si con n = 20 y = 0.60 excede.

162 161 Distribución Ji Cuadrada Como es mayor que , el proceso se declara fuera de control.

163 Uso de Chi-Cuadrada en pruebas de Bondad de Ajuste

164 163 Uso De Ji-cuadrada Prueba de Bondad de Ajuste: Es una prueba que se aplica a situaciones en las cuales se desea determinar si un conjunto de datos tomados al azar puede considerarse como una muestra de una población con cierta distribución dada.

165 164 Uso de Ji-cuadrada Procedimiento: El procedimiento consiste en comparar una muestra aleatoria, con una distribución propuesta teórica. Se requiere de una muestra aleatoria de tamaño n proveniente de la población cuya distribución de probabilidad es desconocida. Estas observaciones se acomodan en un histograma de frecuencia, el cual tienen k intervalos de clase.

166 165 Uso de Ji-cuadrada Procedimiento: Sea O i la frecuencia observada en el i-ésimo intervalo de clase. Por otro lado, de la distribución de probabilidad propuesta se calcula la frecuencia esperada en el i-ésimo intervalo de clase, la cual se denota por E i. Entonces el estadístico de prueba es:

167 166 Uso de Ji-cuadrada 2 tiene una distribución aproximada Ji- cuadrada con k-p-1 grados de libertad, donde p representa el número de parámetros de la distribución propuesta estimada por los estadísticos muestrales k el número de intervalos.

168 167 Uso de Ji-cuadrada Esta aproximación mejora a medida que n aumenta. Debe rechazarse la hipótesis de que la distribución de la población es la distribución propuesta, si el valor calculado del estadístico de prueba es Pruebas de hipótesis.....

169 168 Uso de Ji-cuadrada Distribución especificada de manera completa Ejemplo: un científico desarrolla un algoritmo para generar enteros seudoaleatorios en el intervalo 0 a 9. El científico codifica el algoritmo y genera 1000 dígitos seudoaleatorios. La siguiente tabla contiene los datos como frecuencias observadas. ¿Existe evidencia de que el generador de números aleatorios funciona de manera correcta?. Utilice un = 0.05

170 169 Datos : Uso de Ji-cuadrada Distribución especificada de manera completa

171 170 Uso de Ji-cuadrada Distribución especificada de manera completa Si el generador de números aleatorios trabaja correctamente, entonces los valores 0-9 deben tener una distribución uniforme discreta, lo que implica que cada uno de los enteros debe presentarse exactamente 100 veces. Por tanto las frecuencias esperadas son E i = 100 para cada i = 0,1,..., 9.

172 171 Uso de Ji-cuadrada Distribución especificada de manera completa Estas frecuencias esperadas también aparecieron en la tabla anterior. Puesto que las frecuencias esperadas pueden calcularse sin estimar ningún parámetro a partir de los datos muestrales, el estadístico de prueba Ji-cuadrada de bondad de ajuste tendrá k - p - 1 = 9 grados de libertad.

173 172 Uso de Ji-cuadrada Distribución especificada de manera completa Aplicamos el procedimiento siguiendo los siguientes pasos: 1. La variable de interés es de la forma de la distribución de los enteros seudoaleatorios sobre el intervalos 0 a Ho: La distribución es uniforme discreta. 3. Ha: La forma de la distribución no es uniforme discreta. 4. = 0.05

174 173 Uso de Ji-cuadrada Distribución especificada de manera completa 5. El estadístico de prueba es: 6. Rechazar Ho si:

175 174 Uso de Ji-cuadrada Distribución especificada de manera completa 7. Calcular estadístico de prueba en base a valores esperados y observados. 8. Concluir: Puesto que no es posible rechazar la hipótesis Ho. Por consiguiente parece ser que el generador de números aleatorios trabaja de forma consistente.

176 Empleo de Chi-Cuadrada en pruebas de Bondad de Ajuste de Normalidad

177 176 Uso de Ji-cuadrada Distribución continua Ejemplo: un ingeniero del departamento de manufactura prueba una fuente de alimentación utilizada en una computadora portatil. Con un = 0.05, desea determinar si el voltaje de salida está descrito de manera adecuada por una distribución normal. A partir de una muestra aleatoria de n = 100 unidades, obtiene las estimaciones muestrales de la media y la desviación estándar

178 177 Uso de Ji-cuadrada Distribución continua Una practica común en la construcción de intervalos de clase para la distribución de frecuencia empleada en la prueba ji-cuadrada de bondad de ajuste, es seleccionar los límites de las clases de modo que las frecuencias esperadas E i = np i sean iguales para todas las celdas. Para utilizar este método, se desea escoger las fronteras de las celdas a 0, a 1,..., a k para las k clases, de modo que las probabilidades p i sean iguales. Donde

179 178 Uso de Ji-cuadrada Distribución continua Supóngase que se desea utilizar k = 8 celdas. Para la distribución normal estándar, los intervalos que dividen la escala en ocho segmentos igualmente probables son [0, 0.32), [0.32, 0.675), [0.675, 1.15) y [1.15, ) junto con sus cuatro imágenes que están del otro lado del cero. Para cada intervalo p i = 1/8 = 0.125, de modo que las frecuencias esperadas de las celdas son E i = np i = 100 (0.125) = La tabla completa de frecuencias observadas y esperadas es la siguiente.

180 179 Uso de Ji-cuadrada Distribución continua

181 180 Uso de Ji-cuadrada Distribución continua 1. La variable de interés es la distribución del voltaje de la fuente de alimentación. 2. H 0 : La forma de la distribución es normal 3. H 1 : La forma de la distribución no es normal 4. = El estadístico de prueba es 6. Como se han estimado los parámetros de la distribución, el estadístico de prueba tiene k - p - 1 = = 5 grados de libertad.

182 181 Uso de Ji-cuadrada Distribución continua 7. Cálculos 8. Conclusiones: Como no se rechaza H 0, por lo que no hay evidencia fuerte que indique que el voltaje de salida no esté distribuido de manera normal. El valor P para el estadístico ji-cuadrada es P =

183 Empleo De Chi-cuadrada En Tablas De Contingencia.

184 183 Uso de Ji-cuadrada Otra aplicación de la distribución Ji-cuadrada es en tablas de contingencia. Una tabla de contingencia es una tabla de frecuencias en dos direcciones. La tabla de contingencia más simple está compuesta por dos columnas y dos renglones; se denomina tabla de 2 x 2.

185 Uso de Ji-cuadrada Uso en tablas de contingencia 2 x 2 El siguiente ejemplo contiene los datos de una muestra de 917 delincuentes hombres, sentenciados en el Distrito Federal; considerando las variables estado civil (soltero y casado) y el tipo de delito cometido (contra las personas o contra la propiedad)

186 185 Uso de Ji-cuadrada Uso en tablas de contingencia 2 x 2 Lo que se quiere determinar es la existencia o no de asociación entre el estado civil y el tipo de delito.

187 186 Uso de Ji-cuadrada Uso en tablas de contingencia 2 x 2 Para esta determinación se calculan las frecuencias que deberían esperarse de no existir ninguna relación entre las dos variables, esto es, en caso de que fueran independientes. Este cálculo lo hacemos con el siguiente razonamiento: Debería de haber igual proporción de solteros en las dos muestras, esto es, entre los delincuentes contra la propiedad y contra las personas.

188 187 Uso de Ji-cuadrada Uso en tablas de contingencia 2 x 2 La proporción de solteros en las dos muestras es de 480/917 = 0.523; igual proporción debería existir entre las dos muestras que calculamos multiplicando 567 x = solteros en delitos contra las personas. Y 350 x = solteros en delitos contra la propiedad.

189 188 Uso de Ji-cuadrada Uso en tablas de contingencia 2 x 2

190 189 Uso de Ji-cuadrada Uso en tablas de contingencia 2 x 2 Pasos a seguir: 1) Se desea probar si existe una asociación entre el estado civil y el tipo de delito cometido (Ho: No existe asociación). 2) Se calcula la Estadística de prueba

191 190 Uso de Ji-cuadrada Uso en tablas de contingencia 2 x 2 Pasos a seguir: 3) Se compara con la Ji-cuadrada de tablas de un grado de libertad = (r-1) (c-1) = 1. Donde r = número de renglones y c = número de columnas. 4) Si si 2 calculada > entonces se rechaza Ho y se concluye que si existe asociación, de lo contrario se concluye que no se tiene evidencia de asociación.

192 191 Uso de Ji-cuadrada Uso en tablas de contingencia 2 x 2 En este ejemplo: 1) Ho: No existe asociación entre Edo. Civil y Tipo de Delito. 2) Se calcula la Estadística de prueba

193 192 Uso de Ji-cuadrada Uso en tablas de contingencia 2 x 2 En este ejemplo: 3) Se compara contra 0.01,1 = ) Como es mayor que 6.63, se rechaza Ho y se concluye que si existe una asociación entre el estado civil del delincuente y el tipo de delito que comete.

194 193 Uso de Ji-cuadrada Uso en tablas de contingencia 2 x 2

195 Restricciones en el uso de Ji-cuadrada Debe tenerse especial cuidado de emplear 2 de manera apropiada, ya que existen algunas restricciones en su empleo. Algunas de las restricciones se deben a que la formula empleada constituye una aproximación. Restricciones: 1) Sólo deben emplearse datos expresados en sus frecuencias absolutas (No deben emplearse porcentajes o puntajes de escalas) 2) Los valores observados o esperados por celda, no deben ser inferior a 5

196 195 Uso de Ji-cuadrada Restricciones en el uso de Ji-cuadrada 3) La suma de las frecuencias esperadas debe ser igual a la suma de los frecuencias observadas. 4) Las unidades deben ser excluyentes, es decir sólo pueden asignarse en una sola casilla.

197 Teorema de Chebyshev

198 197 Áreas bajo la distribución Normal a más menos k desviaciones estándar

199 198 Áreas bajo la distribución Normal a más menos k desviaciones estándar estándar

200 199 Teorema de Chebyshev Si y son, respectivamente, la media y la desviación estándar de la variable aleatoria X, entonces para una constante positiva k cualquiera la probabilidad es cuando menos 1 - 1/k 2 de que X tomará un valor contenido en k desviaciones estándar de la media; en forma simbólica se tiene,

201 200 Teorema de Chebyshev - k + k

202 201 Teorema de Chebyshev Por ejemplo, 3/4 es la probabilidad por lo menos, de que X tomará un valor contenido en dos desviaciones estándar; 8/9 es la probabilidad es cuando menos, de que X tomará un valor contenido en tres desviaciones estándar y 24/25 es por lo menos la probabilidad, de que X tomará un valor contenido en cinco desviaciones estándar de la media. En este sentido la controla la diseminación o dispersión de la distribución de una variable aleatoria.

203 202 Teorema de Chebyshev La probabilidad del teorema de Chebyshev es, claramente sólo un límite inferior; si la probabilidad de que una variable aleatoria dada tome un valor contenido en k desviaciones estándar de la media es mayor que 1 - 1/k 2, esta bien, pero esta es solo una cota inferior. Sólo cuando se conoce la distribución de una variable aleatoria puede determinarse exactamente la probabilidad

204 203 Áreas bajo la distribución Normal a más menos k desviaciones estándar estándar 3/4 =75% 8/9=89% 15/16=93.7% 0% 1-1/k porcentaje del áreas debajo de la distribución F a k desviaciones estándares

205 204 Distribuciones muestrales de la media muestral. Guía para el uso de la distribución t, normal estándar y el Teorema del Límite Central. * Rigurosamente es, pero para n 30 podemos aproximar la distribución t por una normal estándar, por el T.L.C. Nota: La regla n 30 es una buena aproximación en la gran mayoría de los casos, salvo cuando la población tiene una distribución muy asimétrica, o muy distinta de la forma de campana. Estadístico: ? = Consultar a un experto en estadística Población Normal No Normal conocida desconocida conocida n 30 n < 30 n 30 n < 30 ? ? * T.L.C. No importa el tamaño de la muestra.


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