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1 Computacion Inteligente Conjuntos fuzzy. 2 Conjuntos Difusos.

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1 1 Computacion Inteligente Conjuntos fuzzy

2 2 Conjuntos Difusos

3 3 Los Conjuntos y la Logica difusa 1965: Propuestos por Lotfi A. Zadeh, University of California, Berkeley 70s primeras aplicaciones (Mamdani) 80s aplicaciones industriales. Operación de un tren en Senday, Japon. 1986: Chip VLSI 90s productos de consumo. Camaras, lavadoras 1994: Toolbox de MatLab

4 4 Conjuntos Clasicos Alguna propiedad de x determina su pertenencia al conjunto A

5 5 Conjuntos Clasicos Tradicionalmente un conjunto (S) se caracteriza: El conjunto de numeros naturales menores que cinco

6 6 Conjuntos Difusos (1)

7 7 Conjuntos Difusos (2) Perfil subjetivo

8 8 Conjuntos Difusos: definicion Un conjunto difuso (A) sobre el dominio (universo) X es un conjunto definido por la funcion de pertenencia μ A (x), la cual es un mapeo desde el universo X al intervalo unitario

9 9 Conjuntos Difusos (3) Un conjunto difuso (A) se caracteriza: donde X es el universo de discurso, y µ A la función de pertenencia. Para cada elemento x, µ A (x) es el grado de pertenencia al conjunto difuso A.

10 10 Conjuntos Difusos (4) Habitualmente se utilizan funciones de pertenencia estándar cuya representación nos da una determinada forma. Nos permite representar las funciones de forma compacta, a la vez que se simplifican los cálculos. X µAµA Conjunto Triangular X µAµA Conjunto Trapezoidal

11 11 Representacion de conjuntos fuzzy Como una lista de pares pertenencia/elemento Formula analitica para la funcion (grado) de pertenencia

12 12 Definiciones basicas y terminologia

13 13 Confuntos fuzzy Definicion formal : Un conjunto fuzzy A en X se expresa como un conjunto de pares ordenados: Universo o Universo del discurso Conjunto fuzzy Funcion de pertenencia (MF) Un conjunto fuzzy esta completamente caracterizado por una funcion de pertenencia

14 14 Conjuntos fuzzy con Universo Discreto A = numero razonable de hijos X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (universo discreto) A = {(0,.1), (1,.3), (2,.7), (3, 1), (4,.6), (5,.2), (6,.1)}

15 15 Conjuntos fuzzy con Universo Continuo B = cerca de 50 años de edad X = Conjunto de numeros reales positivos (continuo) B = {(x, B (x)) | x in X}

16 16 Notacion Alternativa Alternativamente un conjunto fuzzy A puede ser denotado como sigue: X es discreto X es continuo Note que los signos e integral establecen la union de los grados de pertenencia; el signo / es un marcador y no implica division.

17 17 Particion Fuzzy Particion fuzzy formada por los valores linguisticos young, middle aged, y old: lingmf.m

18 18 Propiedades de los Conjuntos Difusos (1) Soporte: el conjunto de elementos cuyo grado de pertenencia es distinto de cero.

19 19 Propiedades de los Conjuntos Difusos (2) Altura: el grado de pertenencia más grande de los elementos del conjunto.

20 20 Propiedades de los Conjuntos Difusos (3) Core: (Kernel) el conjunto de elementos cuyo grado de pertenencia es igual a uno. Corte-Alfa

21 21 Propiedades MF X Core Crossover points Support - cut Support Core Crossover points a-cut

22 22 Numeros Fuzzy

23 23 Cero Casi Cero u Cerca de Cero Concepto de un Numero Fuzzy

24 24 Intervalo fuzzy

25 25 Mas Definiciones

26 26 conjunto singleton El conjunto singleton A

27 27 Convexidad de los conjuntos fuzzy Un conjunto fuzzy A es convexo si para cualquier en [0, 1], convexmf.m

28 28 Operaciones con Conjuntos Fuzzy

29 29 Subconjunto de conjuntos fuzzy Subconjunto: subset.m

30 30 Operaciones sobre conjuntos fuzzy Complemento:

31 31 Operaciones sobre conjuntos fuzzy Union: Interseccion:

32 32 Operaciones sobre conjuntos fuzzy fuzsetop.m

33 33 Funciones de pertenencia tipicas

34 34 Funciones de pertenencia MF Triangular: MF Trapezoidal:

35 35 Funciones de pertenencia MF Campana generalizada: MF Gausiana:

36 36 Funciones de pertenencia disp_mf.m

37 37 Conjuntos fuzzy multidimencionales

38 38 Conjuntos fuzzy multidimencionales

39 39 Extension cilindrica

40 40 Extension cilindrica Conjunto base AExt. cilindrica de A cyl_ext.m

41 41 Proyeccion 2D en X 1

42 42 Proyeccion 2D en X 2

43 43 Projeccion 2D MF en dos dimensiones Projeccion en X Projeccion en Y project.m

44 44 Interseccion en el espacio producto carteciano Una operación entre conjuntos fuzzy en dominios diferentes resulta en un conjunto fuzzy multidimensional

45 45 Operaciones en 2D mf2d.m

46 46 Operadores generalizados

47 47 Operadores generalizados Complemento:NOT Interseccion:AND Union:OR

48 48 Complemento Fuzzy requiremientos Generales: Frontera: N(0) = 1 and N(1) = 0 Monotonicidad: N(a) > N(b) if a < b Involucion: N(N(a) = a

49 49 Complemento Fuzzy Dos tipos de complementos fuzzy: Complemento de Sugeno: Complemento de Yager:

50 50 Complemento Fuzzy negation.m Complemento de Sugeno: Complemento de Yager:

51 51 Operadores generalizados Las norma y conorma triangulares generalizan operaciones con conjuntos Norma-T: generaliza el concepto de intersección Conorma-T: generaliza el concepto de unión

52 52 Norma-T: Interseccion Fuzzy Requerimientos basicos: Frontera: T(0, 0) = 0, T(a, 1) = T(1, a) = a Monotonicidad: T(a, b) < T(c, d) if a < c and b < d Commutatividad: T(a, b) = T(b, a) Asociatividad: T(a, T(b, c)) = T(T(a, b), c)

53 53 Norma-T: Interseccion Fuzzy Cuatro ejemplos: Minimo: T m (a, b) = min(a,b) Producto algebraico: T a (a, b) = a*b Producto acotado: T b (a, b) Producto drastico: T d (a, b)

54 54 El operador norma-T Minimum: T m (a, b) Algebraic product: T a (a, b) Bounded product: T b (a, b) Drastic product: T d (a, b) tnorm2.m

55 55 Conorma-T o norma-S: Union Fuzzy Requerimientos basicos: Frontera: S(1, 1) = 1, S(a, 0) = S(0, a) = a Monotonicidad: S(a, b) < S(c, d) if a < c and b < d Commutatividad: S(a, b) = S(b, a) Associatividad: S(a, S(b, c)) = S(S(a, b), c)

56 56 Conorma-T o norma-S: Union Fuzzy Cuatro ejemplos: Maximo: S m (a, b) = max(a,b) Suma algebraica: S a (a, b) = a+b-a*b Suma acotada: S b (a, b) Suma drastica: S d (a, b)

57 57 Conorma-T o norma-S tconorm.m Maximum: S m (a, b) Algebraic sum: S a (a, b) Bounded sum: S b (a, b) Drastic sum: S d (a, b)

58 58 Ley de DeMorgan Generalizada Las normas-T y conormas-T son duales si soportan la generalizacion de la ley de DeMorgan: T(a, b) = N(S(N(a), N(b))) S(a, b) = N(T(N(a), N(b))) T m (a, b) T a (a, b) T b (a, b) T d (a, b) S m (a, b) S a (a, b) S b (a, b) S d (a, b)

59 59 Norma-T y norma-S Parametrizadas Normas-T y conormas-T duales parametrizadas han sido propuestas por varios investigadores: Yager Schweizer and Sklar Dubois and Prade Hamacher Frank Sugeno Dombi

60 60 Algunos operadores generalizados Norma-tConorma-trango autor Schweizer &Sklar [69] Hamacher [70] Yager [72] Dombi [74]

61 61 Fuentes J.-S. Roger Jang, Slides for Fuzzy Sets, Ch. 2 of Neuro- Fuzzy and Soft Computing. CS Dept., Tsing Hua Univ., Taiwan. Humberto Martínez Barberá, Control Difuso. Universidad de Murcia Robert Babuska. Fuzzy and neural control. DISC Course Lecture Notes (October 2001) Robert Babuska. Course Fuzzy and Neural Control, 2001/2002.

62 62 Fuentes R. Babuska, H.B. Verbruggen, H. Hellendoorn, Promising Fuzzy Modeling and Control Methodologies for Industrial Applications, 1999 René Jager, Fuzzy Logic in Control. PHD thesis, Javier Echauz, Sistemas y Controles Inteligentes, Universidad de Puerto Rico, 2000 L.X. Wang, Adaptive Fuzzy Systems and Control: Design and Stability Analysis, Prentice-Hall, 1.994


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