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Electricidad y Magnetismo. Ley de Coulomb.. Ing. L. Emilio Martinez Lugo.2 Electricidad y Magnetismo.

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1 Electricidad y Magnetismo. Ley de Coulomb.

2 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.2 Electricidad y Magnetismo.

3 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.3 Electricidad y Magnetismo.

4 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.4 Electricidad y Magnetismo.

5 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.5 Electricidad y Magnetismo.

6 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.6 Electrización es el efecto de ganar o perder cargas eléctricas que tiene un conductor eléctricamente neutro. Existen 3 formas de electrizar Electricidad y Magnetismo.

7 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.7 número de electrones número de protonesátomo está eléctricamente neutro. Si el número de electrones de un átomo es igual al número de protones podemos decir que el átomo está eléctricamente neutro Electrones. Neutrones. Orbitas electrónicas. Núcleo. Protones. Electricidad y Magnetismo.

8 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.8 Si en el átomo hay un m mm mayor número de p pp protones en el núcleo que e ee electrones describiendo órbitas alrededor de este se dice que dicho á áá átomo posee carga eléctrica positiva Electrones. Neutrones. Núcleo. Protones. Orbita electrónica. Electricidad y Magnetismo.

9 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.9 menor númeroprotones electrones átomo posee carga eléctrica negativa. Si en el átomo hay un menor número de protones en el núcleo que electrones describiendo órbitas alrededor de este se dice que dicho átomo posee carga eléctrica negativa Electrones. Neutrones. Núcleo. - - Orbita electrónica. Protones. Electricidad y Magnetismo.

10 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.10 Electricidad y Magnetismo. Electrización por contacto Se puede cargar un conductor con sólo tocarlo con otro previamente cargado. En este caso, ambos quedan con el mismo tipo de carga. Esto se debe a que habrá transferencia de electrones libres.

11 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.11 Electricidad y Magnetismo. Electrización por frotación Al frotar 2 cuerpos eléctricamente neutros, ambos se cargan, uno con carga positiva y el otro con carga negativa.

12 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.12 Electricidad y Magnetismo. Electrización por Inducción: La barra electrizada (inductora) atrae electrones libres de la conductora (inducida). Estos electrones dejan a sus átomos con carga positiva en el otro extremo de la barra. La carga neta de la barra sigue siendo neutra.

13 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.13 Ley de Coulomb. Ing. y Físico Francés Charles de Coulomb (1736 – 1806) La intensidad de la fuerza electrica de atracción o repulsión entre dos cargas eléctricas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa

14 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.14 Ley de Coulomb. a.- Se aplica a cargas puntuales pequeñas que se encuentran en reposo. b.- Es exacta cuando el tamaño de las cargas es menor a la distancia que los separa. c.- Cuando existen mas de dos cargas y se desea calcular la fuerza neta entre sobre una de ellas, el tratamiento es de carácter vectorial.

15 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.15 Ley de Coulomb.

16 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.16 Ley de Coulomb. Donde: F.- Fuerza eléctrica K.- Constante Q.- Carga eléctrica puntual d.- Distancia

17 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.17 Ley de Coulomb. Tener en cuenta que: Cargas de igual signo generan fuerzas de repulsión. Cargas de diferente signo generan fuerzas de atracción

18 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.18 Ley de Coulomb.

19 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.19 Ley de Coulomb. K = Constante de proporcionalidad 9 x10 9 Nm 2 Siendo K = 9 x10 9 Nm 2 C 2 Donde K = 1/4πξ o

20 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.20 Ley de Coulomb. Dos cargas puntuales q 1 Y q 2 de 25 nC y -75nC están a una distancia de 3 cm entre si. Encuentre la magnitud y sentido de las fuerzas que se establecen. F= 9x10 9 Nm 2 (25 x10 -9 C)(-75 x C) C 2 (0.030m) 2 F= x N

21 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.21 Ley de Coulomb. Dos cargas puntuales están situadas sobre un eje X positivo de un sistema coordenado. q 1 = 1 nC esta a 2 cm del origen q 2 = -3nC a 4 cm del origen q 3 = 5nC situada en el origen Determine la fuerza total sobre la carga en el origen Ft. Q3 = µN + 84 µN -28 µN Dirigida hacia la izq. eje Negativo de X

22 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.22 Ley de Coulomb. Dos cargas puntuales sobre el eje Y iguales q 1 =q 2 =2µC interactúan con una tercera q 3 = 4µC Calcule la fuerza total sobre q 3 si q 1 y q 2 están a 0.6 m y q 3 se encuentra a 0.5m De cada una de ellas

23 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.23 Electricidad y Magnetismos Una carga puntual contiene 50 x e - Calcular la carga e Coulomb. Resp. 8 C

24 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.24 Electricidad y Magnetismo Dos cargas puntuales de -6 µC y +8 µC se encuentran separadas en el aire 100 cm Calcular la fuerza eléctrica, realizar el grafico indicando la naturaleza de la fuerza Resp. F = N El signo indica fuerza de atracción

25 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.25 Electricidad y Magnetismo Tres cargas puntuales de +8 µC se ubican en los vértices de un triángulo equilátero calcular la fuerza neta en cualquiera de de las tres cargas Resp. F N = N Resp. F N = N

26 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.26 Campo Eléctrico. El estudio de Campo Eléctrico nos permite sustituir el concepto de acción a distancia (Observadas entre las cargas puntuales según Coulomb) por la propiedad del espacio.

27 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.27 Campo Eléctrico El vector Campo Eléctrico E permite calcular la fuerza que se ejerce sobre una carga q. Para presentar este concepto fijémonos en la repulsión mutua de dos cuerpos cargados positivamente A y B supongamos que B tiene una carga q o y sea F o la fuerza eléctrica de A sobre B.

28 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.28 Campo Eléctrico Una forma de considerar esta fuerza es como una fuerza de Acción a distancia o sea una fuerza que actúa a través del espacio vacío sin necesidad de ningún medio material La gravedad también puede considerarse como una fuerza de Acción a Distancia

29 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.29 Campo Eléctrico La manera más conveniente de visualizar la repulsión entre A y B es tomarlo un proceso de dos etapas. 1ro. Imaginemos que el cuerpo A por la carga que lleva modifica de las propiedades que del espacio alrededor de él,

30 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.30 Campo Eléctrico B es experimentar la Fuerza Fo Luego el cuerpo B por la carga que lleva percibe que el espacio cambió su posición la respuesta de B es experimentar la Fuerza Fo Para ver este proceso de Para ver este proceso de dos etapas consideremos primero el cuerpo A retiramos el cuerpo B y designamos la posición que tenía como punto P

31 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.31 Campo Eléctrico Decimos que el cuerpo cargado A produce un campo eléctrico en el punto P y en todos los puntos esféricamente alrededor de el. Aunque no exista carga en el punto P.

32 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.32 Campo Eléctrico Debemos decir que una carga puntual produce un Campo eléctrico en el espacio que la rodea pero este Campo Eléctrico no puede ejercer una fuerza neta sobre la carga de lo generó, Esto es un ejemplo del principio, general de que un cuerpo no puede ejercer una fuerza neta sobre el mismo (Si este principio no fuese válido usted, podría levantarse hasta el techo tirando de su cinturón)

33 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.33 Campo Eléctrico Por tanto la Fuerza Eléctrica sobre un campo cargado es ejercida por el campo eléctrico creado por otros cuerpos cargados. Para determinar experimentalmente si hay un campo eléctrico en un punto particular, colocamos un cuerpo cargado que llamaremos carga de prueba en ese punto.

34 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.34 Campo Eléctrico Si la carga de prueba experimenta una fuerza eléctrica, habrá un campo eléctrico en ese punto entonces. Este campo es producido por otras cargas sobre la carga de prueba.

35 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.35 Campo Eléctrico La Intensidad de Campo Eléctrico en un punto es el cociente entre la fuerza que ejerce el campo sobre una carga de prueba situada en ese punto y el valor de dicha carga. Donde: será siempre vectorial

36 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.36 Campo Eléctrico Módulo: Coincide con la fuerza que efectúa sobre la carga situada en el punto de análisis cuando el valor de la carga es igual a la unidad. Dirección: Coincide con la dirección de la Fuerza que actúa sobre la carga de prueba colocada en un punto. Sentido: Coincide con el sentido de la fuera que actúa sobre la carga eléctrica positiva situada en el punto considerado.

37 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.37 Campo Eléctrico

38 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.38 Campo Eléctrico

39 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.39 Campo Eléctrico

40 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.40 Campo Eléctrico

41 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.41 Campo Eléctrico Campo Eléctrico creado por una carga puntual Q P Q P r P positiva = q P positiva = q Siendo E la energía potencial eléctrica

42 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.42 Campo Eléctrico ¿Cuál es el aumento del campo eléctrico si una carga de 2 x Coulomb se acerca desde 8 cm hasta 4 cm. hacia una carga de -3 x Coulomb. F 2 F 1 q C C B E 2 A E 1

43 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.43 Campo Eléctrico F 1 = 9 x 10 9 Nm 2 /C 2 ( 2 x C)(-3 x10 -8 C) (0.08 m) 2 (0.08 m) 2 F 1 = x N F 2 = 9 x 10 9 Nm 2 /C 2 (2x10 -9 C)(-3 x10 -8 C) (0.04m) 2 (0.04m) 2 F 2 = x N

44 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.44 Campo Eléctrico

45 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.45 Campo Eléctrico Una carga de 25.5 µC se encuentra en el aire generando un campo eléctrico, Calcular su intensidad a 40 cm de distancia E = KQ/d 2 Resp. E = N/C Repulsión

46 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.46 Campo Eléctrico Q = 25.5 x10 -6 C d = 40 cm = 0.4 m K = 9 x10 9 Nm 2 /C 2 E = KQ/d 2 E = 9 x 10 9 Nm 2 (25.5 X ) C 2 (0.40M)2 E = N/C Intensidad de repulsión

47 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.47 Campo Eléctrico Tres cargas puntuales de -9nC, 10nC,y 25nC se encuentran en los vértices de un cuadrado de 50 cm de lado. Calcular la intensidad eléctrica neta sobre el cuarto vértice Resp. E N N/C

48 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.48 Campo Eléctrico Dibujando los vectores que actúan sobre el punto del 4to vértice

49 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.49 Campo Eléctrico d = 0.71 Calculando la distancia entre la carga 1 el punto Aplicando teorema de Pitágoras

50 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.50 Campo Eléctrico Calculando intensidades de Campo eléctrico E 1 = KQ 1 /d 2 E 1 = 9x10 9 Nm 2 (-9x10 -9 C) C 2 (0.71m) 2 E 1 = -162 N/C E 1 = 162 N/C Intensidad de atracción

51 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.51 Campo Eléctrico E 2 = KQ 2 /d 2 E 2 = 9 x 10 9 Nm 2 (+10 x C) C 2 (0.50m) 2 E 2 = 360 N/C E 2 Intensidad e repulsión

52 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.52 Campo Eléctrico E 3 = KQ 3 /d 2 E 3 = 9 x10 9 Nm 2 (+25 x ) C 2 (0.50 m) 2 E 3 = 900 N/C

53 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.53 Campo Eléctrico Cálculo de proyecciones sobre los ejes E 1x = E 1 cos 45º E 1x = 162 N/C (0.71) E 1x = N/C E 1y = E 1 sen 45º E 1y = 162 N/C (0.71) E 1y = N/C

54 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.54 Campo Eléctrico Sumando vectores horizontales y verticales E x = E 3 – E 1x E x = 900 N/C – N/C E x = N/C (horizontal a la derecha) E y = E 1 y – E 2 E y = N/C – 360 N/C E Y = N/C (vertical hacia abajo)

55 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.55 Campo Eléctrico Dibujando los vectores resultantes en el plano cartesiano Aplicando Pitágoras (E N ) 2 = (E x ) 2 + (E y ) 2 (E N ) 2 =(784.58) 2 +(244.98N/C) 2 E N = ( ) 2 EN = N/C La intensidad de campo eléctrico neta que actúa sobre el punto

56 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.56 Equivalencias Electrón q = e - = -1,602x C Coulomb SI Electrón q = e - = -1,602x C Coulomb SI m = 9,107x Kg. SI m = 9,107x Kg. SI Protón q = e + = +1,602x C Coulomb SI Protón q = e + = +1,602x C Coulomb SI m = 1,670x Kg. SI m = 1,670x Kg. SI Fuerza Electrica F=KQ 1 x Q 2 /r 2 12 Newton J/C Volts. SI Campo Eléctrico E =k Q/r 2 = F/q Kgm/s 2 C = N/C SI Potencial V=KQ/r = V B – V A = W AB /q o J/C SI Potencial V=KQ/r = V B – V A = W AB /q o J/C SI Capacitor C = Q/V = kξ o x A/d Faradios F SI Capacitor C = Q/V = kξ o x A/d Faradios F SI K = 9x10 9 Nm 2 /C 2 K = 9x10 9 Nm 2 /C 2 ξ o = 8.85 x C 2 S 2 /m 3 kg ξ o = 8.85 x C 2 S 2 /m 3 kg Coulomb = C = 6.25 x e -

57 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.57 Campo Eléctrico Una carga puntual positiva q ubicada en el punto b, tan cerca de la carga Q también positiva La fuerza eléctrica que crea Q tiende a mover q hacia el punto a una distancia d.

58 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.58 Campo Eléctrico Es evidente que entre estos puntos a y b existe una diferencia pero ¿De que tipo es? Inferimos que existe una diferencia de energía potencial entre los puntos a y b Inferimos que existe una diferencia de energía potencial entre los puntos a y b En éste caso simbolizaremos como V En éste caso simbolizaremos como V Al mismo tiempo la fuerza eléctrica efectúa trabajo al mover la carga q entre los dos puntos Al mismo tiempo la fuerza eléctrica efectúa trabajo al mover la carga q entre los dos puntos

59 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.59 Campo Eléctrico La diferencia de potencial eléctrico es el trabajo que se realiza, para mover una carga q puntual positiva desde el punto b hasta el punto a dentro del mismo campo eléctrico La diferencia de potencial eléctrico es una magnitud escalar

60 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.60 Campo Eléctrico Recordando que: ΔTrabajo : W = F x d q ΔV = ΔV = Wba/q ΔV = ΔV = F x d q

61 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.61 Campo Eléctrico A medida que q se aleja de Q A medida que q se aleja de Q el potencial eléctrico creado el potencial eléctrico creado por Q es cada vez menor por Q es cada vez menor Si q sale de la influencia de Q Si q sale de la influencia de Q el potencial eléctrico sobre q el potencial eléctrico sobre q es cero es cero V = KQ V = KQ d

62 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.62 Campo Eléctrico Superficies equipotenciales Son aquellas que se encuentran al mismo potencial. El Trabajo necesario para llevar una carga sobre una misma superficie equipotencial es cero.

63 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.63 Campo Eléctrico El trabajo efectuado por el campo eléctrico para llevar una carga desde una superficie equipotencial hacia otra diferente está Dada por: W = q x ΔV W = q x ΔV Siendo V = Voltaje una magnitud escalar llamada Potencial Eléctrico llamada Potencial Eléctrico

64 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.64 Campo Eléctrico ALEJANDRO VOLTA ( ) F ísico italiano, nació el 18 de febrero de 1745 en la ciudad italiana de Como La unidad principal de la diferencia de potencial es el Voltio y es el Voltio y mide la energía que posee el campo por unidad de carga pero en forma escalar

65 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.65 Campo Eléctrico Podemos definir entonces: Diferencia de Potencial ddp. La diferencia de potencial eléctrico es el trabajo que se realiza para mover una carga q puntual positiva desde el punto b hasta el punto a dentro de un mismo campo eléctrico.

66 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.66 Campo Eléctrico Expresado en forma matemática V = KQ d Donde: V voltaje K constante dieléctrica d distancia de la carga al punto

67 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.67 Campo Eléctrico Ej: Una carga eléctrica 4.5 x C se encuentra ubicada a 50 cm de un punto. ¿Cuál es el potencial eléctrico en dicho punto? V = KQ/d = 9 x 10 9 Nm 2 (4.5 x C) C 2 (0.5 m) V = 810 Nm/C V = 810 J/C V = 810 v

68 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.68 Campo Eléctrico Una carga eléctrica crea un potencial de 220 V A 120 cm ¿Cuál es la magnitud de la carga? V = KQ/d => Q = Vd/k Q = (220V)(1.20m)

69 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.69 Campo Eléctrico Calcula el potencial que actúa sobre el punto P que se muestra en la figura. Vp = ? Q 1 = 5.5x C Q 2 = 4.0x C K=Cte

70 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.70 Campo Eléctrico Calculando potencial de Q 1 V 1 = KQ 1 /d V 1 = (9x10 9 Nm 2 )(5.5x ) C 2 (1m) V 1 = 4.95 V Calculando potencial en Q 2 V 2 = KQ 2 /d V 2 = (9x10 9 Nm 2 )(4.0x C) C 2 (0.5m) V 2 = 7.2 V

71 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.71 Campo Eléctrico Calculando potencial que actúa sobre el Punto P V P = V1 + V2 V P = 4.95V + 7.2V V P = 12.15V Recuerda que el potencial no es una magnitud vectorial

72 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.72 Campo Eléctrico Una carga de +18pC se encuentra en el aire creando un campo eléctrico Calcular, a.-Intensidad del E a 50 cm de distancia b.- Fuerza eléctrica sobre una carga de 12 x 10-8 C E = KQ/d2 E = F/q Resp. E = N/C F = 7.78 x 10-8 N

73 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.73 Campo Eléctrico Condensador ó Capacitor es un dispositivo que acumula cargas eléctricas. Se construye con dos conducto- res iguales con cargas de distinto signo entre estos dos conductores se crea un campo eléctrico y una diferencia de potencial en el centro posee un dieléctrico

74 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.74 Campo Eléctrico La capacidad de almacenar carga eléctrica de un condensador es igual a las Cantidad de carga eléctrica que Puede almacenas por unidad de Diferencia de potencial C = Q = Faradios V

75 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.75 Campo Eléctrico La capacidad de almacenar cargas eléctricas dependen de las características físicas Donde: A = Área D = Dieléctrico d = distancia entre placas ξ = Constante dieléctrica

76 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.76 Campo Eléctrico Constantes dieléctricas Material Constante Material Constante Aire vació 1 Agua 80 Parafina 2,2 Mica 7 Papel 3 – 7 Vidrio 4.5

77 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.77 Campo Eléctrico Asociación de Condensadores Los condensadores se pueden asociar en: Serie Paralelo Paralelo Mixto Mixto

78 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.78 Campo Eléctrico Los condensadores en Paralelo suman sus capacidades para lograr un valor equivalente Paralelo: Capacidad equivalente: C eq = C 1 + C 2 + C 3 C eq = C 1 + C 2 + C 3 Carga Total: Q total = Q 1 + Q 2 + Q 3 Q total = Q 1 + Q 2 + Q 3

79 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.79 Campo Eléctrico La capacidad equivalente de los capacitores en serie, se obtiene calculando el inverso de la suma de los inversos. V total : V total = V 1 + V 2 + V 3 V total : V total = V 1 + V 2 + V 3 Carga total Q T = Q 1 + Q 2 + Q 3

80 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.80 Campo Eléctrico Ej: Un condensador plano de placas paralelas rectangulares de 16 cm y 5 cm se encuentran separadas por una distancia de 0.25 cm siendo el dieléctrico aire: a.-Calcular Capacidad del condensador b.-Carga en cada una de las placas si el condensador se carga con un voltaje de 32 V. c.-La intensidad del campo eléctrico entre placas ξ = 8.85 x C 2 /Nm 2

81 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.81 Campo Eléctrico Cálculo de la Capacidad del condensador Cálculo de la Capacidad del condensador C = K ξ A/d C = K ξ A/d C = 1 x 8.85 x C 2 (0.008 m 2 )____ C = 1 x 8.85 x C 2 (0.008 m 2 )____ Nm 2 (2.5 x 10 3 m) C = 2.83 x F C = 28.3 pF La constante dieléctrica del aire K = 1

82 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.82 Campo Eléctrico Calculando el área Cálculo de la intensidad del rectángulo del Campo eléctrico entre placas paralelas placas paralelas A = (0.16m)(0.05m) E = V/d A = m 2 E =32V___ A = m 2 E = __32V___ C = Q/V m Q = (28.3pF)(32V) E = N/C Q = 906 pC

83 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.83 Campo Eléctrico Tres condensadores de 2µF, 4µF y 6µF se conectan en serie, luego de cargan con una diferencia de potencial de 60 V Calcular la capacidad del sistema, la energía que almacena.

84 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.84 Campo Eléctrico Capacidad equivalente de condensadores en serie Ceq. = ______1__________ 1/C 1 + 1/C 2 + 1/C 3 Ceq. = 12/11 µF Ceq. = 1.09 µF

85 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.85 Campo Eléctrico Energía almacenada Justificando unidades en el sistema. F.V 2 E = CV 2 = ½ CV 2 C.V 2 2 V E = (1.09µF)(60V) 2 2 C.V E = µJ CJ = Julio C

86 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.86 Campo Eléctrico Ejercicios: Para las siguientes combinaciones encuentre: a.- Ceq b.- Carga total c.- Diferencia de potencial.

87 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.87 Campo Eléctrico

88 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.88 Campo Eléctrico

89 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.89 Campo Eléctrico

90 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.90 Campo Eléctrico C1 = 6.0 μF, C2 = 3.0 μF, Vab = 18 V a.-La capacitancia equivalente de la combinación en serie queda: Ceq = C1 + C2 Ceq = 6 μF μF Ceq = 9 μF Como esperábamos el resultado es mayor que cualquiera de los condensadores sumados.

91 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.91 Campo Eléctrico b.- La diferencia de potencial a través de cada capacitor en paralelo es la misma que la que se tiene a través del capacitor equivalente 18 V c.-Las cargas Q 1 y Q 2 son directamente proporcionales a las capacitancias C 1 y C 2 recíprocamente.

92 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.92 Campo Eléctrico Como esperábamos para una conexión en paralelo la carga mayor aparece en el condensador de mayor capacitancia

93 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.93 Campo Eléctrico

94 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.94 Campo Eléctrico

95 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.95 Campo Eléctrico

96 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.96 Campo Eléctrico

97 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.97 Corriente Eléctrica Llamaremos corriente eléctrica al flujo de electrones libres a través de un conductor, impulsados por una diferencia de potencial

98 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.98 Corriente Eléctrica Dado que los electrones tienen carga negativa, se mueven de las zonas de menor potencial hacia las zonas de mayor potencial. Es decir del polo negativo al polo positivo siguiendo la dirección contraria al Campo E.

99 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.99 Corriente Eléctrica En un conductor la corriente depende de la velocidad de arrastre de las partículas cargadas en movimiento, de su concentración, y de sus cargas, la densidad de corriente es la corriente por unidad de área.

100 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.100 Corriente Eléctrica Intensidad de corriente Eléctrica. El Ampere Es una magnitud física escalar que mide la cantidad de carga eléctrica que pasa por la sección recta de un conductor en una unidad de tiempo

101 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.101 Corriente Eléctrica

102 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.102 Corriente Eléctrica Ampere = Coulomb = Q Segundo t Es la cantidad de carga que circula por un conductor 1 Coulomb = 6.25 x 10 x 18 –e Se llama así en honor a André María Ampere ( )

103 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.103 Corriente Eléctrica El Voltio Para que haya circulación de electrones debe haber una diferencia de potencial eléctrica.

104 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.104 Corriente Eléctrica El voltio está dado por el trabajo W desplegado por un Joule J para trasladar la carga Q de un Coulomb E = W Q Un Voltio = 1 Julio 1 Coulomb

105 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.105 Corriente Eléctrica Resistencia eléctrica: El Ohmio Es una característica que tienen los materiales de ofrecer dificultad al fluido de la corriente a través de ese material

106 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.106 Corriente Eléctrica El nombre se debe al físico alemán Jorge Ohm En forma experimental estableció la relación entre la diferencia de potencial y la intensidad de corriente eléctrica Su símbolo es: Ω

107 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.107 Corriente Eléctrica Ley de Pouillet o de la resistencia de materiales La resistencia de un conductor, es directamente proporcional a su longitud L e inversamente proporcional a su sección A R = ρ L A Claude-Servais-Mathias Pouillet (Cusance, 1790-París, 1868)

108 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.108 Corriente Eléctrica Donde: R = Resistencia del conductor en Ohmio ρ = Resistividad o resistencia de cada material en Ohmio x cm L = Longitud del conductor en cm. A = Área de la sección del conductor en cm 2

109 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.109 Corriente Eléctrica La Resistividad de algunos materiales en 0hm a 20º C se llama ρ (Rho) ρ = metro Metal l ρ = metro Aluminio 2.82 x Cobre 1.72 x Estaño 1.20 x Hierro 9.50 x Acero 1.00 x Vidrio x Caucho x 10 13

110 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.110 Corriente Eléctrica Ej: Un aparato electrodoméstico consume 7200 C en 1.5 horas. Calcula la intensidad de corriente eléctrica. I = Q/t I = 7200C/ 5400seg. I = 1.33 Amperes

111 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.111 Corriente Eléctrica Una bombilla eléctrica es atravesada por x electrones a un ritmo de 2 amperes calcula el tiempo de funcionamiento. Transformando electrones a Coulomb 3375x e x 1C/6.25x e = 5400C Calculando el tiempo I = Q/t t=Q/I t = 5400C/2A t = 2700 s t = 45 min

112 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.112 Corriente Eléctrica Un calentador eléctrico de 12Ω de resistencia consume 2400 C en 8 minutos Calcula la caída de tensión. I = Q/t I =2400C/480s I = 5 Amperes V = RI V = (12 Ω)(5 A) V = 60V

113 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.113 Corriente Eléctrica Un ventilador eléctrico funciona con una intensidad de 8 amperios alimentado con un voltaje de 220 voltios calcula la resistencia del ventilador. V = RI R = V/I R = 220V/8 A R = 27.5 Ω

114 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.114 Corriente Eléctrica Una pila seca de 6 Volts de FEM se utiliza en una linterna que tiene un foquito d 2.5 Ω de resistencia, registrándose en los bornes de la pila una caída de tensión igual a 5.85 volts calcula la resistencia interna de la pila. Fem = 6v R= 2.5 Ω T = 5.85 V r = ? (resistencia interna de la pila)

115 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.115 Corriente Eléctrica Para conocer a r interna calculamos los amperes que circulan por el circuito I = 5.85v/ 2.5 Ω I = 2.34 A Cuando la pila entrega energía sufre una caída de tensión (T) por la resistencia interna (se descarga) T = fem – rI r = fem - T/ I r = 6V – 5.85V/2.34ª R = Ω

116 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.116 Corriente Eléctrica Dependencia de la Resistividad con respecto a la Temperatura. La dependencia de la resistividad con respecto a la temperatura es aproximadamente lineal si el cambio de temperatura no es muy grande. Para esta relación se puede escribir una expresión similar a la de la expansión térmica.

117 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.117 Corriente Eléctrica Es decir, la resistividad ρ=(m) a una temperatura T después de un cambio de temperatura ΔT = T –T o está dada por: ρ = ρ o ( 1+ ΔT) En la ecuación anterior es una constante (dentro del intervalo pequeño de temperatura) que se denomina coeficiente de temperatura de la resistividad y ρ o es una resistividad de referencia para T o (por lo general a 20º C ) La ecuación anterior también se puede escribir como : Δ ρ = ρ o ΔT En la ecuación anterior ΔT En la ecuación anterior ΔT

118 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.118 Corriente Eléctrica En donde Δρ = ρ - ρ o es el cambio en la resistividad para un cambio dado en la temperatura (ΔT) Como la relación Δρ / ρ o es adimensional debe tener la unidad C o -1 ó ( 1/ C o ) Entonces la resistencia es directamente proporcional a la resistividad y se pueden utilizar para calcular una expresión para la resistencia de un conductor de sección transversal uniforme, en donde R es la resistencia del conductor a la temperatura de referencia.

119 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.119 Corriente Eléctrica Quedando: R = R o (1 + ΔT) ó ΔR = R o ΔT La variación de la resistencia con la temperatura proporciona un medio para la medición de la temperatura en la forma de un termómetro de resistencia eléctrica.

120 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.120 Corriente Eléctrica Resistividades a (20 o C) y coeficientes de resistividad-temperatura para varios materiales Material ρ (-m) (Co-1) Aluminio x x Cobre x x Hierro x x Mercurio x Nichrome x x Platino x x Tungsteno x x Vidrio x Caucho……10.00 x 10 13

121 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.121 Corriente Eléctrica R = ρL A Donde : R = Resistencia en 0hm, L= longitud en metros A = Área transversal en m 2

122 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.122 Corriente Eléctrica Un conductor de alambre de cobre tiene una long. de 10 Km. y una sección de 3mm 2 su resistividad ρ es de x Hallar su resistencia. L =10 km. A = 3mm 2 ρ =1.72x10 -8 Ω m R = ρ L/A = 1.72x10 -8 Ωm x 10x10 3 m 3 x m 2 R = Ω

123 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.123 Corriente Eléctrica Ejemplo: ¿Cuál es la variación (Como un porcentaje) de la resistencia de un alambre de platino dentro del intervalo de 0 o C a 100 o C (Suponga que es constante dentro de ese rango de temperatura)

124 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.124 Corriente Eléctrica T o = 0 o C Encontrar: ΔR/ Ro (Variación de la T = C resistencia como porcentaje) = 3.93 x 10 3 C o-1 La relación ΔR/Ro = (T – To ) = (3.93 x C0-1 )(100oC -0 o C) = ( x 100%) = 39.3 %

125 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.125 Corriente Eléctrica Observe que estaba dimensionalmente correcta y que fue conveniente trabajar con las magnitudes en miliohms en lugar de convertirlas a 0hms. El carbón y otros elementos semiconductores tienen coeficientes de resistividad con la temperatura negativos. Esto implica que la resistencia de un conductor decrece si la temperatura aumenta o se incrementa si la temperatura disminuye.

126 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.126 Corriente Eléctrica Termómetro de resistencia eléctrica La resistencia de una bobina de alambre de platino que mide 250 m a la temperatura ambiente (20 o C ) Cuando la bobina se coloca en un horno caliente, su resistencia mide 496 m. ¿Cuál es la temperatura del horno?

127 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.127 Corriente Eléctrica Primero encuentre el cambio de temperatura ΔT ΔT = T –T o (a partir del cambio en la resistencia mediante) ΔT = R - R o R o = 496 m m (250m )(3.93 x C 0-1 ) = 250 C -1 Entonces: T = ΔT + T o = 250 o C + 20 o C = 270 o C

128 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.128 Corriente Eléctrica Ley de Ohm. La corriente eléctrica. está formada por cargas que se desplazan de una región a otra, cuando ese movimiento se lleva a cabo dentro de una trayectoria conductora que forma un circuito cerrado a la trayectoria se le conoce como circuito eléctrico.

129 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.129 Corriente Eléctrica Estos circuitos son los medios para transportar la energía de un lugar a otro. Que puede ser un dispositivo en el que dicha energía se almacena o se convierte en otra forma de energía, Sonora, en un aparato de sonido en calor (Calefones) o en luz (Lámparas de Iluminación).

130 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.130 Corriente Eléctrica En un conductor la corriente depende de la velocidad de arrastre de las partículas cargadas en movimiento, De su concentración. De sus cargas, la densidad de corriente es la corriente por unidad de área.

131 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.131 Corriente Eléctrica En un material que se comporta según la Ley de 0hms, la razón del campo eléctrico a la densidad de corriente es una constante llamada resistividad. Para un dispositivo específico que obedece a la Ley de 0hm la razón de la diferencia de potencial establecido entre los terminales del dispositivo a la corriente que pasa por el mismo es una constante llamada resistencia

132 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.132 Corriente Eléctrica Un circuito por el que circula una corriente estacionaria debe incluir una fuente de fuerza electromotriz (fem) como una batería o un generador que suministre energía al circuito y en la cual las cargas se desplacen de las regiones de baja energía potencial a las de alta energía.

133 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.133 Corriente Eléctrica La potencia de entrada o salida para cualquier dispositivo circular es el producto de la corriente a través del dispositivo y la diferencia de potencial entre los terminales del dispositivo.

134 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.134 Corriente Eléctrica Si no hay campo eléctrico dentro de un material conductor las partículas cargadas se mueven al azar dentro del material. Como el movimiento de los electrones es aleatorio no existe un flujo neto de cargas en ninguna dirección. Si se encuentra presente un campo eléctrico E la fuerza eléctrica F = q E

135 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.135 Corriente Eléctrica Provoca un arrastre en el movimiento aleatorio del electrón. Como el electrón tiene carga eléctrica negativa q de modo que las fuerza F = q E Tiene la dirección opuesta al campo E La unidad de corriente en el SI es el Ampere. Un Ampere está definido como un Coulomb por segundo 1A = 1C/s

136 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.136 Corriente Eléctrica La corriente por unidad de área transversal se conoce como densidad de corriente J. J = I/A Donde I = Amperes A = Área

137 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.137 Corriente Eléctrica Tenemos entonces que la densidad de corriente a través de un área transversal se expresa en Amperes por metro cuadrado. En muchos circuitos sencillos (como el de una linterna) la dirección de la corriente siempre es la misma y se conoce ésta como corriente continua CC y también como Corriente Directa CD.

138 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.138 Corriente Eléctrica Resistividad. La densidad de corriente J de un conductor depende del campo E Eléctrico y de las propiedades del material, (en general esta dependencia puede ser compleja) pero para alguno materiales en especial para los metales a cierta temperatura J es casi directamente proporcional a E y el cociente de E y J es constante Esta relación es conocida como Ley de 0hms

139 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.139 Corriente Eléctrica GEORG SIMON OHM ( ) Físico y matemático alemán. Descubrió una de las leyes fundamentales de los circuitos de conocida como Ley de Ohm.

140 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.140 Corriente Eléctrica El cociente de las magnitudes del campo Eléctrico y de la densidad de corriente. Cuanto mas grande sea la resistividad mayor será en campo necesario para ocasionar una cierta densidad de corriente o menor será la densidad de corriente ocasionada por un campo eléctrico dado. Las unidades de ρ son: (V/m)(A/m2) = V.m/A

141 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.141 Corriente Eléctrica Como se conoce 1 V/A se denomina 0hms, Así pues las unidades en el SI de la resistividad son:. m (0hms por metro) Un conductor perfecto tendría una resistividad cero y la resistividad de un aislante perfecto sería infinita. El reciproco de la resistividad es la conductividad

142 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.142 Corriente Eléctrica Resistencia. Para un punto con resistividad ρ la densidad de corriente J en un punto donde el campo eléctrico es E y queda dado por la ecuación siguiente E = ρ J

143 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.143 Corriente Eléctrica Entonces cuando se cumple la ley de 0hms ρ es constante e independiente de la magnitud del campo eléctrico. De modo que E es directamente proporcional a J. Sin embargo a menudo estamos más interesados en la corriente total de un conductor que en J y más interesados en la diferencia de potencial entre los extremos que en E. Esto se debe a que la corriente y la Diferencia de potencia (ddp) es mucho más fácil de medir que E y J.

144 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.144 Corriente Eléctrica

145 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.145 Corriente Eléctrica Esto muestra que cuando ρ es constante la corriente total es I es proporcional a la ddp. V Y quedamos entonces que la razón de V a I para un conductor en particular se conoce como su resistencia. Quedando: R = V/I Conocida la ecuación de la Ley de 0hms. V = RI

146 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.146 Corriente Eléctrica Para un resistor que sigue la ley de 0hm el de la gráfica de corriente eléctrica en función de la ddp (Voltaje) es una línea recta la pendiente de la recta es 1/R, si el signo de la ddp. cambia también lo hace la corriente producida.

147 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.147 Corriente Eléctrica RESISTORES EN SERIE Y PARALELO. Estudiaremos el comportamiento de los resistores, cuando se conectan en un circuito, más de un resistor, se pueden crear redes con éstos componentes, muy complejas. Pueden ser para conseguir un valor de resistencia que no se fabrica comercialmente. Se pueden hacer redes para lograr divisores de Voltaje. Se pueden hacer redes para lograr divisores de Corrientes. Se combinan resistencias en serie, paralelo, y serie-paralelo con el fin de conseguir valores en el cual se puedan lograr valores de Potencia a disipar en función de la corriente que se necesita

148 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.148 Corriente Eléctrica Suponga que tenemos tres resistencias R 1, R 2, R 3 con la configuración de la figura 1. En el circuito, la corriente tiene una sola trayectoria entre los puntos a, y b, entonces decimos que están conectados en serie, tendremos que la corriente I debe ser igual en todos ellos, ésta corriente no se consume al pasar por los resistores.

149 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.149 Corriente Eléctrica Aplicando: Entonces la ddp. completa a través de la combinación completa es la suma de las ddp. individuales.

150 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.150 Corriente Eléctrica Queda: y así

151 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.151 Corriente Eléctrica El cociente es por definición, la resistencia equivalente. Por consiguiente: Resulta fácil generalizar para cualquier número de resistores

152 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.152 Corriente Eléctrica Resistores en paralelo. Si los resistores están en paralelo como en la figura la corriente no necesariamente es igual, en cada resistor pero la ddp. entre los terminales de cada resistor debe ser la misma e igual Vab.

153 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.153 Corriente Eléctrica Sea la corriente en cada resistor I 1, I 2, I 3 Entonces la expresión: En general la corriente es distinta en cada resistor, y como la carga no se acumula ni se pierde en el punto a la corriente total debe ser igual a la suma de las corrientes en los resistores.

154 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.154 Corriente Eléctrica Quedando: ó

155 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.155 Corriente Eléctrica De nuevo es fácil generalizar la expresión para cualquier número de resistores en paralelo. Diciendo que: El recíproco de la resistencia equivalente es igual a la suma de los recíprocos de las resistencias individuales. Esto demuestra que las corrientes que pasan por resistores en paralelo son inversamente proporcionales a su resistencia.

156 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.156 Corriente Eléctrica Ejemplos: Circuito serie: Req = = 60

157 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.157 Corriente Eléctrica Circuito paralelo:

158 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.158 Corriente Eléctrica

159 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.159 Corriente Eléctrica

160 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.160 Corriente Eléctrica La resistencia de la figura representa un elemento del circuito con diferencia de potencial V a - V b = V ab Entre sus terminales por lo cual pasa una corriente I en dirección al punto b. Cuando una carga pasa por un elemento del circuito el campo realiza trabajo sobre la carga.

161 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.161 Corriente Eléctrica El trabajo total realizado sobre la carga q y la ddp (V ab ). Así la corriente es I entonces en un intervalo de tiempo Queda: dt Para una cantidad de carga dQ = idt Y el trabajo realizado sobre la carga será dW = V ab dQ = V ab Idt

162 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.162 Corriente Eléctrica Este trabajo representa la energía eléctrica transferida hacia adentro de este elemento de circuito. La razón temporal de transferencia de energía se conoce como: POTENCIA Y se representa por: P

163 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.163 Corriente Eléctrica Al dividir la ecuación anterior entre dt Obtendremos la razón a la cual el efecto del circuito entrega energía eléctrica a este elemento. dW = V ab I dt

164 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.164 Corriente Eléctrica Puede ser que el potencial en b sea mayor que en el punto a entonces Vab es negativo y existe una transferencia neta de energía hacia fuera del circuito, en este caso el elemento actúa como fuente y entrega energía eléctrica al circuito que esta conectado. Si el elemento es una resistencia pura: P = V ab I = I 2 R = V 2 ab R

165 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.165 Corriente Eléctrica Ej: Calcular el trabajo y la potencia que corresponde a una intensidad de 1 Ampere cuando recibe 220 Voltio durante media hora. Datos: W =? P = ? I = 1 A V = 220V T = 0.5 h = 1800s

166 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.166 Corriente Eléctrica Calculando el trabajo: W = I 2 Rt pero V = IR Reemplazando el trabajo: W = I Vt W = (1A)(220v)(1800s) W = julios Calculando potencia con: P = W/t P = J/ 1800s P = 220 Watt

167 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.167 Corriente Eléctrica La potencia de un foco eléctrico es de 60 watt. Calcule la resistencia cuando recibe 220 voltios ¿Cuál es la intensidad de corriente en el foco? Datos P = 60 watt R = ? V = 220 v I = ?

168 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.168 Corriente Eléctrica Calcular Intensidad. P = I 2 R pero V = IR Reemplazando P = I(IR) P = IV Despejando intensidad. I = P/V I = 60 w/220 v I = V/I I = 0.27 A

169 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.169 Corriente Eléctrica Calculando resistencia. V = IR Despejando R R = V/I Reemplazando R R = 220v/ 0.27 A R = Ω

170 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.170 Corriente Eléctrica Leyes de Kirchhoff. Las leyes de Kirchhoff se aplican a circuitos complejos, fundamentadas en las leyes de conservación de la carga y la energía. a.-Primera ley de Kirchhoff regla de los nudos En cualquier nudo, la suma de las intensidades que llegan es igual a la duma de la intensidades que sales del nudo.

171 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.171 Corriente Eléctrica I 1 + I 2 +I 3 –I 4 –I 5 = 0 ó I 1 + I 2 +I 3 = I 4 + I 5

172 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.172 Corriente Eléctrica b.- La segunda ley de Kirchhoff o regla de las mallas. Esta ley se basa en la conservación de la energía. La suma de las f.e.m. de una mallas cualquiera es igual a la suma algebraica de los productos de las intensidades por las respectivas resistencias que pertenecen a la malla en cuestión.

173 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.173 Corriente Eléctrica

174 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.174 Corriente Eléctrica Un circuito cerrado o malla es cualquier trayectoria cerrada continua alrededor de un circuito que deja un punto en una dirección y retorna al mismo punto

175 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.175 Corriente Eléctrica Ejemplo:

176 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.176 Corriente Eléctrica

177 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.177 Corriente Eléctrica

178 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.178 Inductores.

179 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.179 Inductores. El inductor o bobina posee características que en gran medida son similares a las del capacitor, aunque los papeles del voltaje y corriente están intercambiados. Es una bobina de alambre arrollada sobre un núcleo que puede ser aire u otro material Al igual que el capacitor(en una condición ideal) no disipa la energía eléctrica sino que la almacena en forma de (campo magnético)

180 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.180 Inductores. Ejemplo: Determine la inductancia L de la bobina siguiente:

181 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.181 Inductores. N 2 µ r µ o A L = N 2 µ r A = N 2 µ r µ o A l l L = (100) 2 (400)(4 Лx10 -7 )(1.3x10 -4 ) 25 x L = H L = 26.1 mH

182 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.182 Inductores. El tratamiento de inductores en serie o paralelo es similar al tratamiento que se les da a las resistencias.

183 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.183 Magnetismo Imanes y polos magnéticos Campo magnético terrestre Materiales magnéticos Fuerzas magnéticas Producción de campos magnéticos

184 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.184 Magnetismo Los imanes son objeto en los cuales el efecto magnético se manifiesta de forma natural, actuando sobre objetos de hierro o acero. También cuando interactúan se observa que existe atracción o repulsión. El efecto magnético se manifiesta en forma intensa en los extremos de un imán llamados polos magnéticos Norte y Sur.

185 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.185 Magnetismo Clasificación de los materiales magnéticos Tipo de material Características No magnéticos: No afecta el paso de las líneas de campo magnético Ej.: Vacío Diamagnéticos : Material débilmente magnético si se sitúa un barra magnética cerca de el esta lo repele Ej: Plomo, Plata, Agua,

186 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.186 Magnetismo Ferromagnético: Material fuertemente atraído por la barra magnética Ej:Hierro Cobalto Níquel Acero Antiferromágnetico: No magnéticos aun bajo la acción de un campo magnético inducido Ej: Oxido de manganeso

187 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.187 Magnetismo MAGNETISMO Es la parte de la Física que estudia los fenómenos relacionados con los Imanes y los campos magnéticos, O sea, la propiedad que tiene un cuerpo cuando crea a su alrededor un campo magnético.

188 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.188 Magnetismo Las primeras piedras de imanes se encontraron hace unos 600 a.C. llamadas piedras de imán que podían atraer pedazos de la misma roca. Sabemos ahora que es un tipo de roca llamado magnetita (Fe3O4 Oxido de hierro) Se cree que fueron halladas por primera vez en una región llamada magnesia (que ahora es Turquía) de donde deriva el nombre de Magneto

189 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.189 Magnetismo En la actualidad los imanes son de fácil producción y su utilización está difundida en equipos de Comunicación y potencia así como en motores y otros usos. Una de las primeras cosas que se advierten al examinar una barra de imán es que tiene, dos polos o Centros de fuerza cada uno en los extremos del imán. Estos polos se llaman Norte ( N ) y Sur (S ) Esta terminología proviene del primer uso de la brújula magnética. El polo norte de una brújula magnética es el extremo que se orienta hacia el norte,

190 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.190 Magnetismo

191 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.191 Magnetismo Las líneas del campo magnético pueden observarse utilizando limaduras de hierro La atracción y repulsión entre los polos de los imanes es similar al comportamiento de las cargas eléctricas iguales y contrarias, Es decir, La Ley de las cargas es análoga a la ley de los polos Por tanto polos iguales se repelen y contrarios de atraen Los polos magnéticos siempre aparecen en pares, en un llamado dipolo magnético, Si se rompe un imán tendríamos dos imanes mas pequeños pero nunca se pueden separar sus polos magnéticos

192 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.192 Magnetismo El que existan dos polos nos hará preguntarnos acerca de la naturaleza del magnetismo. El concepto de polo magnético puede parecer similar al de carga eléctrica y los conceptos de polo Norte y polo Sur parecerían, similares a los de carga negativa y positiva, Pero la analogía es errónea porque aunque si existen cargas positivas y negativas separadas, no hay pruebas de que exista un polo magnético aislado,

193 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.193 Magnetismo La primera prueba de la relación del magnetismo con las cargas en eléctricas en movimientos fue descubierta en 1819 por el científico danés Hans Christian Oersted quien encontró que la aguja de una brújula era desviada por un cable por el que circulaba una corriente. En Francia André Ampere realizó investigaciones parecidas, Después Michael Faraday (Inglaterra) Joseph Henry (USA) descubrieron que al mover un imán cerca de una bobina conductora podían producir en ella una corriente.

194 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.194 Magnetismo Las interacciones eléctricas y magnéticas están íntimamente vinculadas a continuación desarrollaremos los principios unificadores del electromagnetismo y culminaremos expresándolos en las ecuaciones de Maxwell

195 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.195 Magnetismo Según los estudios sobre el de Campo eléctricos tenemos que: 1.- Una distribución de carga eléctrica en reposo produce un campo Eléctrico E en el espacio que la rodea. 2.- Un campo eléctrico ejerce una fuerza F = qE sobre cualquier carga q que se encuentre en el campo.

196 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.196 Magnetismo Podemos escribir las interacciones magnéticas de manera parecida 1.- Una carga en movimiento o una corriente producen un campo magnético en el espacio circundante (además del campo eléctrico) 2.- El campo magnético ejerce una fuerza F sobre cualquier otra carga en movimiento o corriente que esté presente en el campo. 3.- Al igual que el campo eléctrico el campo magnético es un campo vectorial es decir un vector asociado con cada punto del espacio.

197 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.197 Magnetismo Utilizaremos el símbolo B para referirnos al campo magnético, En cualquier posición la dirección de B está definida como aquella a la que tiende a señalar el polo de la aguja de una brújula Para cualquier imán B apunta hacia fuera de su polo norte y hacia adentro de su polo sur

198 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.198 Magnetismo ¿Cuáles son las características de la fuerza magnética sobre una carga en movimiento ? Su magnitud es proporcional a la magnitud de la carga Si dos cargas una de 1μC y otra de 2 μC se mueve a través de un campo magnético dado con la misma velocidad, la fuerza sobre la carga de 2 μC, es dos veces mayor que la fuerza sobre la carga de de 1 μC La magnitud de la fuerza también es proporcional a la magnitud Intensidad del campo.

199 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.199 Magnetismo Por ejemplo utilizando dos barras magnéticas en lugar de una, sin cambiar la carga o velocidad, la fuerza se duplica. La fuerza magnética también depende de la velocidad de la partícula. Ésta es muy diferente de la fuerza del campo eléctrico, Que es igual si la carga se mueve o no.

200 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.200 Magnetismo Una partícula cargada en reposo no experimenta fuerza alguna, Además la fuerza magnética F no tiene la misma dirección que el campo magnético B sino que siempre es perpendicular a B y a la velocidad v La magnitud de F de la fuerza es proporcional a la componente de v perpendicular a B y a la velocidad v La magnitud F de la fuerza es proporcional a la componente de v perpendicular al campo, cuando esa componente es cero (esto es cuando v y B son paralelos o antiparalelos), la fuerza es cero

201 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.201 Magnetismo

202 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.202 Magnetismo Un ejemplo de interacción electromagnética ocurre cuando una partícula con una carga positiva (+q), que se mueve a una velocidad constante, entra en una región con un campo magnético uniforme en una velocidad tal que la velocidad y el campo, son perpendiculares

203 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.203 Magnetismo

204 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.204 Magnetismo Cuando la carga entra en el campo se desvía en una trayectoria curva A partir del estudio de la dinámica se sabe que esta desviación se debe a una fuerza perpendicular a la velocidad de la partícula. Pero¿ Que da origen a esta fuerza? No existe ningún campo eléctrico (sino el que causa la carga misma) y la fuerza de la gravedad es muy débil (por ser la partícula tan pequeña) y la desviaría (hacia abajo mas que a los lados). Es claro pues que, la fuerza se debe a la interacción de la carga en movimiento y el campo magnético.

205 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.205 Magnetismo Una partícula cargada que se mueve en un campo magnético puede experimentar una fuerza. Si variamos la magnitud de la carga, su velocidad y el campo magnético podemos observar, que la magnitud de la fuerza de desviación es directamente proporcional a cada una de estas magnitudes Esto es: F = qvB

206 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.206 Magnetismo La constante de proporcionalidad tiene un valor de 1 por la selección de la unidad de campo magnético. Esto da una expresión para la fuerza (magnitud) del campo magnético en términos de magnitudes familiares. F = qvB ó B = F /qv

207 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.207 Magnetismo Es decir B es la fuerza magnética por carga en movimiento En la ecuación anterior se puede ver que un campo magnético tiene unidades que deben ser iguales para F/qv por tanto las unidades son en el SI de N/C.(m/s) ó dado que 1 A es C/s ( 1A = C/s), Esta combinación recibe el nombre de Tesla ( T ) El campo magnético se da algunas veces en Weber por metro cuadrado (Wb/m 2 ), y 1 T = Wb/ m 2 Otra unidad para el campo magnético es el Gauss (G) 1T = Wb/ m 2

208 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.208 Magnetismo Si la dirección de la velocidad de la partícula no es perpendicular al campo magnético, la magnitud de la fuerza magnética sobre la partícula no se obtiene de la ecuación anterior. Se sabe entonces que la magnitud de esta fuerza depende del ángulo (θ ) entre la velocidad y los vectores del campo específicamente, del seno de ese ángulo Esto quiere decir que la fuerza es cero cuando v y B son paralelos y alcanzan su valor máximo cuando estos dos vectores son perpendiculares, En general F = qvB sen θ

209 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.209 Magnetismo Regla de la mano derecha para una fuerza magnética Cuando el dedo índice de la mano derecha apunta extendido en la dirección de B el pulgar derecho extendido apunta en la dirección de F

210 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.210 Magnetismo Ejemplo. Fuerza sobre una carga en movimiento. Una partícula con una carga negativa de -5.0 x C se mueve con una rapidez de 1.0 x 10 2 m/s en la dirección +x hacia un campo magnético uniforme de 2T en la dirección +y ¿Cuál es la fuerza sobre la partícula cuando entra en el campo magnético?

211 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.211 Magnetismo Solución. Dados : q = -5.0 x C v = 1.0 x 10 2 m/s B = 2.0 T Encontrar fuerza. F = qvB sen Ө = (5.0x10 -4 C)(1.0x10 2 m/s) (2.0 T) (1) = 0.10 N

212 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.212 Magnetismo

213 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.213 Magnetismo

214 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.214 Magnetismo Una carga positiva de 0.25 C se mueve horizontalmente con una velocidad de m/s y entra en un campo magnético de 0.4 T dirigido verticalmente hacia arriba. a.- Cual es la magnitud de la fuerza? b.- Cual es su dirección y sentido? C,. Cual es el sentido de giro de la carga?

215 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.215 Magnetismo a.- F = q v B senθ = 0.25 C T sen 90º = 20 N b.- Si la dirección y sentido de la velocidad es de izquierda a derecha la fuerza es positiva y saliendo del papel. c.- Sentido antihorario

216 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.216 Magnetismo Un alambre recto y horizontal conduce una corriente de 50 A (este a oeste). Cual es la magnitud y la dirección del campo magnético a un metro abajo del cable. B = 4 Л Tm/A. 50 A B = 1.0 x10 -5 T

217 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.217 Magnetismo Un alambre de longitud 1 m es colocado en un campo magnético B de 1 T Por el conductor circula una corriente de 20 Amperes y forma un ángulo de 45º respecto al campo B. Encuentre la magnitud de la fuerza que se le aplica al conductor

218 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.218 Magnetismo F = I. L. Senθ = 20 A. 1 m. 1T.sen45 0 = 14 N

219 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.219 Magnetismo Un conductor con corriente de 10 A genera un campo magnético a su alrededor. Calcule su magnitud a una distancia de 1 cm.

220 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.220 Magnetismo B = 4 Л N/A A 2 Л m B = T

221 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.221 Magnetismo UNA APLICACIÓN COMÚN DE LAS FUERZAS MAGNÉTICAS

222 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.222 Magnetismo El campo magnético creado por el imán permanente ejerce una fuerza sobre la bobina móvil de voz proporcional a la corriente en la bobina, la dirección de la fuerza es a la izquierda o a la derecha, dependiendo de la dirección de la corriente. La señal que proviene del amplificador ocasiona la que la dirección y magnitud de corriente oscilen, La bobina y el cono del altavoz al cual está conectado responden oscilando con una amplitud proporcional a la de la corriente en la bobina. Al girar el mando del amplificador, aumenta la amplitud de la corriente y en consecuencia, también la amplitud de la oscilación del cono y de la onda sonora producida por el cono en movimiento.

223 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.223 Magnetismo LINEAS DE CAMPO MAGNÉTICO Y FLUJO Podemos representar cualquier campo magnético mediante las líneas de campo magnético, es la misma idea que para las líneas de campo eléctrico estudiadas anteriormente, trazamos las líneas de modo, que en cualquier punto sean tangentes al vector campo magnético B en dicho punto. FLUJO MAGNÉTICO Y LEY DE GAUSS PARA EL MAGNETISMO. Definimos el flujo magnético B a través de una superficie como lo hicimos con el flujo eléctrico en relación son la ley de Gauss. Podemos dividir cualquier superficie en elementos de área dA

224 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.224 Magnetismo

225 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.225 Magnetismo El Flujo magnético a través de un elemento de área dA se define como : d B = dA Para cada uno de los elementos determinamos,la componente de Normal a la superficie de la Posición de dicho elemento como se muestra en la fig.

226 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.226 Magnetismo Donde B = B cos siendo el ángulo entre la dirección de B y una recta perpendicular a la superficie ( no confunda con B ) En general ésta componente varía de un punto a otro de la superficie

227 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.227 Magnetismo En general ésta componente varía de un punto a otro de la superficie Definimos el flujo magnético d B a través de esta área como d B = B dA = B cos dA = B. dA El flujo magnético total a través de la superficie es la suma de las contribuciones de los elementos de área individuales.

228 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.228 Magnetismo B = Flujo magnético a través de una superficie Ésta ecuación utiliza los conceptos de área vectorial e integral de superficie

229 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.229 Magnetismo El flujo magnético es una cantidad escalar, En el caso especial en que B es uniforme sobre una superficie plana con área total AB, y son iguales en todos los puntos de la superficie, y B = BA cos Si resulta de que B es perpendicular a la superficie entonces cos = 1

230 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.230 Magnetismo y la ecuación se reduce a : B = BA Usaremos mucho el concepto de flujo magnético al estudiar la inducción electromagnética. La unidad del flujo magnético en el SI es igual a la unidad del campo magnético ( 1T) por la unidad de área (1 m2) Ésta unidad se denomina Weber ( Wb) en honor a Físico Alemán Wilhelm Weber ( )

231 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.231 Magnetismo 1 Wb = 1 T. m 2 Además 1 T = N/A. m De modo que tenemos : 1Wb = 1 T. m 2 = 1 N.m/A En la ley de Gauss el flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica total encerrada por la superficie.

232 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.232 Magnetismo Concluimos que: El flujo magnético total a través de una superficie cerrada siempre es cero y queda. Flujo magnético a través de un superficie cerrada

233 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.233 Magnetismo Esta ecuación se conoce como la Ley de Gauss para el magnetismo Puede verificarla en la fig. Si traza una superficie cerrada en cualquier lugar de cualquiera de los mapas de campo que se muestran en ella verá que cada línea de campo que penetra en la superficie también sale de ella: El flujo neto a través de la superficie es cero

234 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.234 Magnetismo También concluimos que las líneas de campo eléctrico que empiezan y terminan en cargas eléctricas, Pero las líneas de campo magnético nunca tienen puntos finales, tal punto indicaría la existencia de un monopolo Y se ha demostrado que no existen tales

235 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.235 Magnetismo Para la Ley de Gauss que siempre trata de superficies cerradas el elemento de área vectorial dA siempre apunta hacia afuera de la superficie Si el elemento de área dA forma un ángulo recto con las líneas de campo entonces llamado dA al área tenemos. B= d B /dA

236 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.236 Magnetismo Es decir la magnitud del campo magnético es igual al flujo por unidad de área a través de un área que forma un ángulo recto con el campo magnético. Por esta razón el campo magnético se conoce como densidad de flujo magnético.

237 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.237 Magnetismo A un solenoide de (Bobina, Reley) de 100 espiras que posee un radio de 1 cm. Se le hace pasar una corriente de 1 A. Calcular el campo interior.

238 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.238 Magnetismo Como L>>r Tenemos: B = 4 Л N/A A m B = 2Л T

239 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.239 Inducción eléctrica Inducción Electromagnética Ley de Faraday Michael Faraday ( )

240 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.240 Inducción eléctrica Michael Faraday ( ) Inglaterra y Joseph Henry en EU. Declararon: Si una bobina de alambre está conectada a un galvanómetro, cuando el imán cercano está estacionario en el medidor no indica presencia de corriente. Pero cuando movemos el imán ya sea alejándolo o acercándolo el instrumento indica la presencia de corriente pero solamente cuando el imán está en movimiento. Si movemos la bobina y mantenemos en imán fijo de nuevo detectamos una corriente.

241 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.241 Inducción eléctrica Esta Corriente se llama corriente inducida. Y la correspondiente fem requerida para producir ésta corriente se conoce como fem inducida Si sustituimos el imán por una segunda bobina conectada a una batería. Cuando la segunda bobina está estacionaria no hay corrientes en la primera bobina pero si tenemos un movimiento relativo entre las dos de nuevo aparece una corriente inducida que detectará en el instrumento correspondiente

242 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.242 Inducción eléctrica Veremos adelante varias observaciones de Faraday. 1.- Conectamos una bobina de alambre a un instrumento (Amperímetro, Oscilógrafo) cuando no hay corriente en la bobina el instrumento no indica nada. De modo que: El campo magnético B = Cuando se enciende el electroimán existe una corriente momentánea que pasa por el Amperímetro cuando B aumenta.

243 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.243 Inducción eléctrica 3.- Cuando B se establece en un valor estacionario la corriente baja hasta cero sin importar la magnitud de B 4.- Con la bobina en el plano horizontal la apretamos de modo que disminuimos el área transversal de la bobina en el instrumento se detecta inducción durante la deformación de las espiras no antes ni después.

244 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.244 Inducción eléctrica 5.- Cuando se apaga el electroimán existe una inducción momentánea en la dirección opuesta a cuando encendimos ésta bobina. 6.- Cuanto más rápido hagamos los movimientos mayor será la corriente de inducción. B El elemento común a todos estos experimentos es el flujo magnético variable a través de un circuito Φ B cambiante que pasa a través de la bobina

245 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.245 Inducción eléctrica LA LEY DE FARADAY ESTABLECE QUE: La fem inducida en una espira cerrada es igual a menos la razón temporal de cambio del flujo magnético a través de la espira. B ε = - d ΦB dt Ley de Inducción de Faraday

246 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.246 Inducción eléctrica Ejemplo: Fem y corriente inducida en una espira En la figura el campo magnético entre los polos de un electroimán es uniforme en cualquier instante pero su magnitud aumenta a razón de T/s El área de la espira conductora que se encuentra en el campo es de 120 cm 2 y la resistencia total del circuito incluyendo al medidor es de 5.

247 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.247 Inducción eléctrica

248 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.248 Inducción eléctrica Encuentre la fem (V) y la corriente inducida en el circuito. AB B Los vectores A área B campo magnético son paralelos y B es uniforme El área A es constante, de modo que la razón de cambio del flujo magnético es. Ф B = B.A cosθ V = (0.020 T/s)(0.012m 2 )(1) = 2.4 x v = 0.24 mvolt

249 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.249 Inducción eléctrica Unidades en éste cálculo: Observe que la relación de la Fuerza magnética F = qv x B, 1 T = ( 1N) / (1m2) Entonces las unidades del flujo magnético se pueden expresar como : (1T ) (1m2) = 1N. s. m/C y la razón de cambio del flujo magnético como: 1N. m/C = 1 J/C = 1 Volt. Por consiguiente la unidad de: B. d ΦB es el volt. dt dt

250 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.250 Inducción eléctrica Recuerde también que la unidad de flujo magnético es el Weber : (Wb) : 1T. m 2 = 1Wb de modo que 1 Volt = 1 Wb/s Finalmente la corriente inducida en el circuito es de : I = ε = 2.4 x V = 4.8 x Amp. R 5.0 I = mA

251 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.251 Inducción eléctrica Una bobina de alambre de 500 espiras circulares con 4.00 cm de radio está situada entre los polos de un electroimán grande, en ésta región el campo magnético es uniforme y forma 60º de ángulo con el plano de la bobina el campo disminuye a razón de 0.20 T/s cuales son la magnitud y dirección de la fem inducida?

252 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.252 Inducción eléctrica Escogemos la dirección de A mostrada en la figura. Entonces el ángulo entre A y B es cos Φ = 30º El flujo en cualquier instante está dado por B = Φ B = BA cos Φ y la razón de cambio de flujo está dada por B d Φ B / dt = ( dB/dt )A cos Φ en este problema dB/dt = T/s y A = П((0.0400m) 2 = m 2 de modo que: B = d Φ B = A cos 30º = ( T/s )(0.0053m 2 )(0.866) dt dt = x T.m 2 /s = x Wb/s

253 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.253 Inducción eléctrica Y la fem inducida es: B = -(500)(-8.71 x Wb/s) ε = -N d Φ B = -(500)(-8.71 x Wb/s) dt dt = V.

254 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.254 Inducción eléctrica Una bobina consta de 200 vueltas de alambre y tiene una resistencia total de 2 Ω Cada vuelta es un cuadrado de 18 cm de lado y se activa un campo magnético uniforme perpendicular al plano de la bobina. Si el campo cambia literalmente de 0.50 Teslas en 0.80 seg. ¿Cuál es la magnitud de la fem inducida en la bobina mientras está cambiando el campo magnético ε = - N dB A = volts dt

255 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.255 Inducción eléctrica El área de una vuelta de la bobina es: (0.16 m) 2 = m 2 El flujo magnético a través de la bobina en t=0 es cero puesto que B = 0 en dicho momento. En t = 0.80 seg. El flujo a través de una vuelta es de Ф B =BA = (0.50T)( m 2 ) = Tm 2

256 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.256 Inducción eléctrica Por lo tanto la magnitud de la Fem inducida es a partir de la ecuación | E |= N ФB t 200(0.0162T m seg Quedando que: | E |= 4.1 T m2/s = 3.1 Volt Entonces la corriente mientras el campo varía es de 2.0 Amp.

257 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.257 Generadores y motores Los generadores eléctricos se utilizan para producir energía eléctrica. Para comprender cómo funcionan considere que el generador de corriente alterna (CA) es un dispositivo que convierte la energía mecánica en energía eléctrica. En su forma más simple se compone de una espira de alambre que gira por medios externos en un campo magnético.

258 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.258 Generadores y motores

259 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.259 Generadores y motores Diagrama esquemático de un generador de CA, Una Fem es inducida sobre una espira que gira en un campo magnético La Fem inducida alterna en la espira graficada como función del tiempo

260 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.260 Generadores y motores En las centrales eléctricas la energía requerida para rotar la espira puede obtenerse de numerosas fuentes: Hidroeléctrica, Agua que cae directamente sobre las paletas Hidrocarburos Energía de los combustibles líquidos o gaseosos Otros energéticos

261 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.261 Generadores y motores Cuando la espira gira dentro de un campo, el flujo magnético a través del área encerrada por la espira cambia con el tiempo. Esto induce una Fem y una corriente en la espira de acuerdo con la Ley de Faraday. Los extremos de la espira se conectan a anillos deslizantes que giran con la espira. Las conexiones desde estos anillos deslizantes actúan como terminales de salida del generador. Al circuito externo y lo hacen por medio de las escobillas o carbones estacionarios en contacto con los anillos deslizantes.

262 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.262 Generadores y motores Entonces: Suponga que en lugar de una sola vuelta la espira tiene N vueltas una situación más práctica todas las espiras de la misma área A Giran en un campo magnético con una rapidez angular constante ω.

263 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.263 Generadores y motores Si Ө es ángulo entre el campo magnético y la normal al plano de la espira, como se ve entonces el flujo magnético a través de la espira en cualquier momento t es. B = BA cos Ө = BA cos ωt

264 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.264 Generadores y motores Donde se ha utilizado la relación Ө= ωt entre el desplazamiento angular y la rapidez angular por consiguiente la Fem inducida en la bobina es:

265 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.265 Generadores y motores Este resultado muestra que la Fem varía senoidalmente con el tiempo como grafica la fig. Se ve que la Fem máxima inducida tiene valor de: ε max = NABω Lo cual ocurre cuando ωt = 90º ó 270º En otras palabras

266 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.266 Generadores y motores Cuando el campo magnético está en el plano de la bobina y la rapidez de cambio en el. Tiempo del flujo es un máximo. Entonces la Fem es cero cuando: ó

267 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.267 Generadores y motores Es decir cuado В es perpendicular al plano de la bobina y a la rapidez de cambio en el tiempo del flujo cero. La frecuencia de los generadores comerciales en Bolivia es de 50 Hz Recuerde que donde es la frecuencia en Hertz

268 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.268 Generadores y motores Ejemplo: Un generador de CA consta de ocho vueltas de alambres cada una tiene de área A = m 2 y la resistencia total del alambre es de La espira gira en un campo magnético de T a una frecuencia constante de 60 Hz.

269 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.269 Generadores y motores a.- Encuentre la máxima Fem inducida. s -1 Así que la ecuación queda: ε max=NABω= 8(0.09 m 2 )(0.50T)(377s -1 ) = 136 Volt.

270 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.270 Generadores y motores ¿ Cuál es la máxima corriente inducida cuando las terminales de salida están conectadas a un conductor de 12 Ω de resistencia?

271 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.271 Generadores y motores Determine la variación en el tiempo de la Fem y la corriente inducida. = 11.3 Amp. I =Imax sen = (11.3 A)sen 377t

272 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.272 Transformadores Una de las ventajas de la distribución de energía de ca. sobre la de cc. Es que es mucho mas fácil elevar o disminuir los niveles de voltaje con la corriente alterna que con la corriente continua. Esta conversión se realiza mediante transformadores.

273 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.273 Transformadores

274 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.274 Transformadores Un transformador consta de dos bobinas enrolladas, aisladas eléctricamente entre si pero enrolladas sobre el mismo núcleo típicamente este núcleo esta hecho con un material que posee una permeabilidad relativa K m grande como el hierro esto hace que las líneas de campo magnético debido a la corriente en uno de los enrollados estén casi completamente dentro del núcleo.

275 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.275 Transformadores El flujo magnético Ф B es el mismo en cada uno de los enrollados, el enrollados primario tiene N vueltas cuando varía el flujo las Fem inducida son:

276 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.276 Transformadores El cociente entre de las Fem primaria y secundaria es igual en cada instante el cociente de las vueltas del primario y del secundario.

277 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.277 Transformadores Si los enrollados tienen resistencia cero, las Fem inducidas son iguales a los voltajes en terminales a través del primario y del secundario respectivamente entonces tendremos las relaciones siguientes. Transformadores ideales.

278 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.278 Transformadores Los transformadores reales tienes pérdidas Resistencia del alambre I 2 R Histéresis del núcleo Hierro con curva estrecha Corrientes parásitas Núcleo laminado. La resultante de estas pérdidas da lugar a la eficiencia del transformador eléctrico que siempre será menor que 1

279 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.279 Transformadores Ejemplo: Se tiene un equipo que funciona con 240 V para obtener una potencia de 960 Watts ¿Qué podemos hacer para que funcione a 120 V? ¿Cuánta corriente tomará de la línea de 120V ?

280 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.280 Elementos R,L,C en C.A. Valor efectivo (RMS) Como un voltaje o corriente senoidal tiene la misma forma arriba y abajo del eje, la pregunta de cómo se puede entregar potencia a una carga puede ser molesta porque parece que el flujo neto hacia una carga en un ciclo completo es cero.

281 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.281 Elementos R,L,C en C.A. Sin embargo, simplemente hay que tener en cuenta que en cada instante de la porción positiva o negativa de la onda se entrega potencia y la carga la disipa. Por tanto, la potencia entregada en cada instante es aditiva aun cuando la corriente puede cambiar de dirección.

282 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.282 Elementos R,L,C en C.A. Para determinar un solo valor numérico que pueda asociarse con el voltaje o corriente senoidal que varían con el tiempo. Se desarrolló por medio de experimentos una relación entre una cantidad de CD. Y una cantidad de CA. Cuyo resultado sería que cada una entregue la misma cantidad de potencia a una carga.

283 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.283 Elementos R,L,C en C.A. Los resultados señalaron que si se aplica una fuente de dc. De 10 Volts a una carga se puede entregar la misma potencia con un voltaje senoidal cuyo valor máximo sea de Volt ca. En forma de ecuación, El valor de cd. Equivalente o efectivo de un voltaje senoidal es igual a veces del valor máximo de ac.

284 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.284 Elementos R,L,C en C.A.

285 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.285 Elementos R,L,C en C.A. En la fig. anterior 0.707(V p ) = (14.14) = 10 V En forma de ecuación V cd equivalente = E efect = 0.707(V max )= 1/2 (V max ) y I cd equivqlente = I efect = (I max ) = 1/2 (I max )

286 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.286 Elementos R,L,C en C.A. Sea la función: v = 170Vmax sen (ω t + ө) Donde: ω = 2 Лf Siendo f = 60 Hz ө = 0 Queda: v = 170 sen 377t V efec = 0.707(170) V efec = 120 V. Nótese que la frecuencia no interviene en la determinación del valor de cd equivalente

287 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.287 Elementos R,L,C en C.A.

288 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.288 Elementos R,L,C en C.A. Se tienen las siguientes formas de ondas

289 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.289 Elementos R,L,C en C.A. Ej: De las formas de ondas anteriores determine los valores efectivos de Corriente y voltaje. I efect = (0.707) (5 x A) = mA V efect = (0.707) (100 V) = 70.7 V

290 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.290 Elementos R,L,C en C.A. Escriba la expresión senoidal para un voltaje que tiene un valor rms de 40 mV una frecuencia de 500 Hz y el defasaje inicial de + 40º

291 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.291 Elementos R,L,C en C.A. V p = 1.414(V rms ) =1.414(40mV) = mV ω = 2 Лf = (6.283)(0.5 kHz) = x 10 3 rad/s V = x sen(3142t + 40º)

292 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.292 Elementos R,L,C en C.A.

293 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.293 Elementos R,L,C en C.A. Analizaremos el efecto de una señal de ca. En los elementos R, C y L En el resistor R

294 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.294 Elementos R,L,C en C.A. Tenemos que: i = v/R = V/R sen ωt i = 20/5 sen ωt i = 4 sen ωt Potencia en el resistor: P R = I 2 R R = V 2 R /R = V R I R

295 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.295 Elementos R,L,C en C.A. En el caso de la fig. Tenemos: P R = V R I R (20/2V) (4/2A) = 80/2 W P R = 40 Watts. Llamada potencia real ó Activa

296 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.296 Elementos R,L,C en C.A. La reacción de una bobina o de un capacitor a una señal de ca. Es completamente diferente a la de una resistencia. Ya que los capacitores y las bobinas limitan la cantidad de corriente aunque ninguno de ellos disipan la energía que reciben. Simplemente la almacenan en la forma de un campo eléctrico en el capacitor y en un campo magnético en inductor.

297 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.297 Elementos R,L,C en C.A.

298 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.298 Elementos R,L,C en C.A. Para un sistema de ca. La ecuación básica de la potencia es: P = V P I P /2 cos ө = V efect I efect cos ө El ángulo ө es el ángulo de fase entre V e I en caso de un resistor puro se encontró que V e I estaban en fase y que ө = 0

299 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.299 Elementos R,L,C en C.A. Si bien la reactancia es similar a la resistencia en lo que respecta a su capacidad de limitar la corriente hay que considerar que no es una forma de disipar energía como las de los elementos resistivos Tendremos en cuenta que la reactancia inductiva es directamente proporcionar a la frecuencia de la señal aplicada. Por tanto la reactancia es cero para cd.

300 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.300 Elementos R,L,C en C.A.

301 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.301 Elementos R,L,C en C.A. El valor máximo de la corriente se determina mediante una aplicación simple de la Ley de Ohm. Ip = Vp /Xc = 10V/ Ω = A = 37.7 mA Nótese que en este caso se introdujo un defasaje de 90º adelantado

302 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.302 Elementos R,L,C en C.A. Sustituyendo en la ecuación de potencia se obtiene: P c = V i cos θ = VI cos 90º = VI(0) = 0 W El factor cos θ en la ecuación general de potencia se llama factor de potencia de la red factor de potencia = cos θ = Fp

303 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.303 Elementos R,L,C en C.A. Fasores y números complejos En redes de un solo elemento el ángulo de fase apropiado se determina con poco esfuerzo. En redes mas complejas se utiliza el método de vectores los cuales se pueden utilizar para representar corrientes y voltajes de ca.y reactancias.

304 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.304 Elementos R,L,C en C.A.

305 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.305 Elementos R,L,C en C.A. Elementos de un circuito de corriente alterna Un circuito de corriente alterna consta de una combinación de elementos (resistencias, capacidades y autoinducciones) y un generador que suministra la corriente alterna. Una fem alterna se produce mediante la rotación fem alterna de una bobina con velocidad angular constante dentro de un campo magnético uniforme producido entre los polos de un imán. v=V0 sen(w t)

306 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.306 Elementos R,L,C en C.A. Un ejemplo del primer procedimiento, es la interpretación geométrica del Movimiento Armónico Simple como proyección sobre el eje X de un vector rotatorio de longitud igual a la amplitud y que gira con una velocidad angular igual a la frecuencia angular interpretación geométrica del Movimiento Armónico Simple

307 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.307 Elementos R,L,C en C.A. Mediante las representaciones vectoriales, la longitud del vector representa la amplitud y su proyección sobre el eje vertical representa el valor instantáneo de dicha cantidad. Los vectores se hacen girar en sentido contrario al las agujas del reloj. Con letras mayúsculas representaremos los valores de la amplitud y con letras minúsculas los valores instantáneos.

308 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.308 Elementos R,L,C en C.A. Una resistencia conectada a un generador de corriente alterna La ecuación de este circuito simple es (intensidad por resistencia igual a la fem) iR=V 0 sen(w t)

309 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.309 Elementos R,L,C en C.A. iR=V 0 sen(w t) La diferencia de potencial en la resistencia es vR= V0sen(w t) En una resistencia, la intensidad iR y la diferencia de potencial vR están en fase.

310 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.310 Elementos R,L,C en C.A. La relación entre sus amplitudes es: con V R =V 0, la amplitud de la fem alterna

311 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.311 Elementos R,L,C en C.A. Como vemos en la representación vectorial de la figura, al cabo de un cierto tiempo t, los vectores rotatorios que representan a la intensidad en la resistencia y a la diferencia de potencial entre sus extremos, ha girado un ángulo w t. Sus proyecciones sobre el eje vertical marcados por los segmentos de color azul y rojo son respectivamente, los valores en el instante t de la intensidad que circula por la resistencia y de la diferencia de potencial entre sus extremos.

312 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.312 Elementos R,L,C en C.A. Un condensador conectado a un generador de corriente alterna

313 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.313 Elementos R,L,C en C.A. En un condensador la carga q, la capacidad C y diferencia de potencial v entre sus placas están relacionadas entre sícondensador q=C·v Si se conecta las placas del condensador a un generador de corriente alterna q=C· V 0 ·sen(w t)

314 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.314 Elementos R,L,C en C.A. La intensidad se obtiene derivando la carga respecto del tiempo, i=dq/dt

315 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.315 Elementos R,L,C en C.A. Para un condensador, la intensidad i C está adelantada 90º respecto a la diferencia de potencial v C. La relación ente sus amplitudes es: con V C =V 0, la amplitud de la fem alterna

316 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.316 Elementos R,L,C en C.A. Una bobina conectada a un generador de corriente alterna

317 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.317 Elementos R,L,C en C.A. Ya hemos estudiado la autoinducción y las corrientes autoinducidas que se producen en una bobina cuando circula por ella una corriente i variable con el tiempo.. corrientes autoinducidas La ecuación del circuito es (suma de fem igual a intensidad por resistencia), como que la resistencia es nula

318 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.318 Elementos R,L,C en C.A. Integrando esta ecuación obtenemos i en función del tiempo

319 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.319 Elementos R,L,C en C.A. La intensidad i L de la en la bobina está retrasada 90º respecto de la diferencia de potencial entre sus extremos v L. La relación entre sus amplitudes es con V L =V 0, la amplitud de la fem alterna

320 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.320 Elementos R,L,C en C.A. Medida de la autoinducción de un anillo Se simula una experiencia diseñada para medir la autoinducción de un anillo. Es un ejemplo ilustrativo de interconexión entre varios conceptos que se han explicado a lo largo de esta sección. Inducción mutua Circuito de corriente alterna. Ley de Ohm

321 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.321 Elementos R,L,C en C.A. La experiencia consta de dos partes: Se coloca una espira de radio igual al del anillo en el interior de un largo solenoide. Se hace circular una corriente alterna por el solenoide (primario), se observa en la pantalla del osciloscopio la fem producida en la espira (secundario)

322 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.322 Elementos R,L,C en C.A. Se sitúa el anillo en el interior del solenoide. Se hace circular la misma corriente alterna por el solenoide (primario), se mide la fem producida en el anillo (secundario). Se observa en la pantalla del osciloscopio un cambio en la amplitud y la fase. En la experiencia real, se sitúa el anillo en el interior de la espira, rodeándolo completamente, tal como se indica en la figura.

323 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.323 Elementos R,L,C en C.A. Comparando las amplitudes relativas y la diferencia fases de las representaciones de las dos fem en la pantalla de un osciloscopio, se determina la autoinducción del anillo.

324 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.324 Elementos R,L,C en C.A. Corriente inducida en la espira Supongamos que el solenoide está formado N espiras, de longitud l recorrido por una corriente de intensidad i1. Denominaremos circuito primario al solenoide y secundario a la espira.circuito primario al solenoide y secundario a la espira

325 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.325 Elementos R,L,C en C.A.

326 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.326 Elementos R,L,C en C.A. El campo magnético creado por el solenoide (primario) suponemos que es uniforme y paralelo a su eje, y cuyo valor hemos obtenido aplicando la ley de Ampèrecampo magnético creado por el solenoide

327 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.327 Elementos R,L,C en C.A. Este campo atraviesa la sección de la espira (secundario) de área S, el flujo de dicho campo a través de la espira vale.flujo

328 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.328 Elementos R,L,C en C.A. Cuando la intensidad de la corriente i 1 en el primario cambia con el tiempo, se induce en el secundario una fem V e que se opone a los cambios de flujo. Aplicamos la ley de Faraday, derivando el flujo que atraviesa el secundario respecto del tiempoley de Faraday

329 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.329 Elementos R,L,C en C.A. La fem en el secundario V e siempre actúa en el sentido que se opone a la variación del flujo producido por el primario. Si la corriente que circula por el primario i 1 varía con el tiempo de la forma i 1 =I 0 ·cos(ωt) La fem producida en la espira es:

330 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.330 Elementos R,L,C en C.A. El anillo como circuito R-L en serie conectado a una fem alterna El anillo tiene una autoinducción L y una resistencia R. Supongamos que el anillo es un circuito R-L en serie conectado a una fem alterna de la forma V e = V 0 ·sen(w t). circuito R-L en serie conectado a una fem alterna

331 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.331 Elementos R,L,C en C.A. La diferencia de potencial en los extremos de la autoinducción L está adelantada 90º respecto de la intensidad que circula por ella. La relación de amplitudes es V L =I0·w L.diferencia de potencial en los extremos de la autoinducción La diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia R está en fase con la intensidad. La relación de amplitudes es V R =I0·R.diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia Como vemos en la figura, la fem V e, está adelantada un ángulo φ respecto de la intensidad I a.

332 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.332 Elementos R,L,C en C.A.

333 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.333 Elementos R,L,C en C.A. Resistencia del anillo Supongamos que tenemos un anillo hecho de un material de resistividad ρ en forma toroidal de diámetro medio D, y cuya sección es un círculo de diámetro d, siendo d<

334 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.334 Elementos R,L,C en C.A. La ley de Ohm establece que la resistencia es: En esta tabla se proporcionan datos acerca de la resistividad de algunos conductores metálicos. Material Resistividad ρ (10 -6 Ω·m ) Aluminio Cobre Hierro Plata0.016 Plomo0.221

335 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.335 Números complejos. Números Complejos y Operaciones básicas Los números a + jb, donde a y b son dos números reales, se llaman Complejos. El número a se llama parte real; bj parte imaginaria del número complejo. Por ejemplo: 3+2j a=3 b=2 ½ - j2 a=½ b=2

336 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.336 Números complejos. Dos números complejos a+bj y a 1 + b 1 j se consideran iguales cuándo y solo cuando son iguales, por separado, sus partes reales e imaginarias, o sea, si: a+bj = a 1 + b 1 j tendremos que: a=a 1 b=b 1 Si a=0, b=0, el número complejo a + b j se convierte en un número Imaginaria puro bj ; b se llama coeficiente de la unidad imaginaria

337 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.337 Números complejos. Representación Gráfica de un Número Complejo. Re = Parte Real Img = Parte Imaginaria

338 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.338 Números complejos. Suma. Definición: Se llama suma de dos números complejos Z 1 = a 1 +b 1 j y Z 2 = a 2 + b 2 j el número complejo Z= a + bj, cuyas partes real e imaginaria son iguales respectivamente a las sumas de las partes reales e imaginarias de los números sumandos Z 1 y Z 2 es decir Z= Z1 + Z2 = (a1+b1j) + (a2+b2j). Ejemplo (2+3j)+(3-j) = (2+3) + (3-1)j = 5 + 2j

339 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.339 Números complejos. Resta. Definición: Por Sustracción de un número complejo z 1 = a 1 +b 1 j y z 2 = a 2 + b 2 j se sobreentiende la determinación de un número z=a+bj, que sumando al sustraendo z 2 nos da el número z 1. Por los tanto Z 1 – z 2 = z Si : z + z 2 = z 1, ó bien : (a 1 + b 1 j) – (a 2 + b 2 j) = a + bj A condición de que: A + bj + a 2 + b2 j = a 1 + b 1 j

340 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.340 Números complejos. Sumando obtendremos: (a+a 2 ) + (b+b2)j = a1 + b 1 j En la condición de igualdad de dos números complejos, obtendremos: a+a 2 = a 1, de donde a= a 1 – a 2 b+b 2 = b 1, de donde b= b 1 – b 2

341 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.341 Números complejos. Conclusión: En la Sustracción de dos números complejos se restan separadamente sus partes reales e imaginarias. Ejemplo (7+3j)-(3+j) = 7+3j-3- j = 4 + 2j

342 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.342 Números complejos. Multiplicación. Definición: Dos números complejos a 1 +b1 j y a 2 +b 2 j se multiplican según la regla ordinaria del producto de polinomios; en el resultado j² se sustituye por -1 y se separa la parte real de la imaginaria: (a 1 +b 1 j) (a 2 +b 2 j) = a 1 a 2 + a 1 b 2 j + b 1 j a 2 + b 1 j b 2 j = a 1 a 2 - b 1 b 2 + j (a 1 b 2 + b 1 a 2 ) Parte Real Parte Imaginaria Es importante tener en cuenta que la multiplicación de dos números complejos es también un número complejo.

343 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.343 Números complejos. Ejemplo (2+3j)* (3+4j) = j + 3j.3 + 3j.4j = 6 + 8j + 9j + 12j² Pero j² = -1, Entonces: = 6+8j+9j-12 = j

344 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.344 Números complejos. División. Definición: Se llama cociente de la división de dos números complejos a1+b1 y a2+b2j el número complejo x + y j que multiplicando por el divisor nos da el dividendo. Existe una manera mas sencilla de obtener la división de dos números complejos, es utilizando el conjugado de un número complejo.

345 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.345 Números complejos. El conjugado de un número complejo z= a+jb se define como : z=a-jb, como se notará el conjugado de un número complejo no es otra cosa que el mismo número con el signo contrario de la parte imaginaria. Ejemplo Dividir Z1=2+3j entre Z2=1+2j Z1/ Z2 = 2+3j * 1-2j (2+3j). (1-2j) 2-4j+3j+6 4-j 1+2j 1-2j = (1+2j). (1-2j) = 1+4 = 5 4 – j = 4/5 – j/5. 5

346 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.346 Números complejos. Números Complejos en Forma Trigonométrica Un número complejo en forma cartesiana se puede expresar en forma trigonométrica o fasorial. Sea el Z= a+jb el número complejo expresado en forma cartesiana se puede expresar en forma fasorial o trigonométrica de la siguiente manera: Z= a + jb Z fasorial = /Z/ /Ψ Donde: /Z/=a² + b / Ψ = Arcotg-1 (b/a)

347 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.347 Números complejos. Ejemplo Sea Z= 3 + 4j El número complejo Z en forma fasorial se puede expresar como: Z= ( ). /_ Arcotg-1(4/3) Z = 5 /_ 53.13º El mismo número complejo expresado en forma trigonométrica será: Z= 5 Cos(53.13º) + j 5 Sen(53.13º).

348 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.348 Números complejos. Multiplicación en forma Trigonométrica. Sea Z 1 = a+jb y Z 2 = c+jd, la multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica será: Primero transformamos a un número complejo fasorial: Z 1 = a 2 +b 2 /_ tg -1 (b/a) y Z 2 = c 2 +d 2 /_ tg -1 (c/d) Entonces : Z 1 * Z 2 será: Z 1 * Z 2 = ( a 2 +b 2 )( c 2 +d 2 ) /_tg -1 (a/b) + tg -1 (c/d).

349 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.349 Números complejos. Ejemplo Multiplicar: Z 1 = 3+2j por Z 2 = 4+j Primero transformamos a su forma trigonométrica: /Z 1 /= (32+22) =3,6 Ψ1=( tg -1 2/3) = 33,7º entonces: Z 1 = 3,6 ( Cos 33,7º + j sen 33,7º). /Z 2 /= (42+12) = 4,12 Ψ1=( tg -1 1/4) = 14,04 entonces: Z 2 = 4,12 ( Cos 14,04º + j sen 14,04º).

350 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.350 Números complejos. La Multiplicación será: Z 1 *Z 2 = (3,6 /_33.7º ) * (4,12 /_14,04º ) = 3,6 * 4,12 /_(33.7º + 14,04º = 14,83/_47,74º.

351 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.351 Números complejos. División en forma Trigonométrica. Sea Z 1 = a+jb y Z 2 = c+jd, la división de números complejos en su forma trigonométrica será: Primero transformamos a un número complejo fasorial: Z 1 = a 2 +b 2 /_ Ψ 1 y Z 2 = c 2 +d 2 /_ Ψ2 Después realizamos la división: Z1 / Z2 : Z 1 / Z 2 = (/Z 1 /)/((/Z 2 /) /_ Ψ1- Ψ2

352 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.352 Números complejos. Ejemplo Multiplicar: Z 1 = 3+2j por Z 2 = 4+j Primero transformamos a su forma trigonométrica: /Z 1 /= (32+22) =3,6 Ψ 1 =( tg -1 2/3) = 33,7º entonces: Z 1 = 3,6 ( Cos 33,7º + j sen 33,7º).

353 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.353 Números complejos. /Z 2 /= (42+12) = 4,12 Ψ 2 =( tg-1 1/4) = 14,04 entonces: Z 2 = 4,12 ( Cos 14,04º + j sen 14,04º). La División será: Z 1 /Z 2 = (3,6 /_33.7º ) / (4,12 /_14,04º ) = (3,6 / 4,12) /_(33.7º - 14,04º) = 0,87 /_19,66º

354 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.354 Números complejos. Forma Exponencial de un Número Complejo. La forma exponencial de un número complejo se basa en la fórmula de Euler, que relaciona las funciones trigonométricas del argumento real con la función exponencial del argumento imaginario. Para esto expondré la primera fórmula de Euler sin deducción: ejφ= Cosφ + j Senφ

355 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.355 Números complejos. Dónde el número e, tomado como base de los logaritmos naturales, es e=2,718. Sustituyendo en la fórmula de Euler φ por -φ tenemos la segunda fórmula de Euler que dice: e-jφ= Cos(-φ) + jSen(-φ) o bién: e-jφ= Cosφ – jSenφ

356 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.356 Números complejos. Ejemplo Representar en forma Exponencial: Z= 3 + 4j El módulo /Z/=32+42 = 5 Hallamos el argumento φ: Puesto que tg φ =4/3 entonces φ = tg -1 (4/3) = 0,93º Entonces : Z= 3 + 4j = 5e0,93j

357 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.357 Números complejos. PRACTICA Nro. 1 (Números Complejos) 1.Calcular los cocientes de: (1-20j)/7-2j) (17-6j)/(3-4j) ((1+j)/(1-j)) +((1-j)/(1+j))

358 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.358 Números complejos. 2.Elevar a Potencia: (1+j) 4 (-0,5 – 0,5j3) 2 j136 ((1+j7)/(2)) 4 + ((1+j7)/(2)) 4 Cómo se dispone en el plano la representación de dos números complejos conjugados? Graficar

359 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.359 Números complejos. 3.Representar en forma trigonométrica los números: j ½ +j3/2Calcular los productos: (cos 40º +j sen 40º). (cos 50º + j sen 50º) (cos 60º +j sen 60º). 3(cos 30º + j sen 30º) 6(cos 20º +j sen 20º). (cos 90º + j sen 90º) (cos 35º +j sen 35º).45 (cos 80º + j sen 80º)

360 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.360 Números complejos. Representar en forma de vectores los siguientes números complejos: 2+j 1+ je e 2 + j e 4

361 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.361 Números complejos.

362 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.362 Números complejos.

363 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.363 Números complejos.

364 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.364 Números complejos.

365 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.365 Números complejos.

366 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.366 Números complejos.

367 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.367 Números complejos.

368 Ing. L. Emilio Martinez Lugo.368 Números complejos.


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