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RELATIVIDAD GENERAL Y ESPECIAL Julián David Lozano Cardozo G7N14 Cod.:200721.

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1 RELATIVIDAD GENERAL Y ESPECIAL Julián David Lozano Cardozo G7N14 Cod.:200721

2 Teoria de la Relatividad General Es una teoría del campo gravitatorio y de los sistemas de referencia generales, publicada por Albert Einstein en 1915 y El nombre de la teoría se debe a que generaliza la llamada teoría especial de la relatividad. Los principios fundamentales introducidos en esta generalización son el Principio de equivalencia, que describe la aceleración y la gravedad como aspectos distintos de la misma realidad, la noción de la curvatura del espacio-tiempo y el principio de covariancia generalizado. La intuición básica de Einstein fue postular que en un punto concreto no se puede distinguir experimentalmente entre un cuerpo acelerado uniformemente y un campo gravitatorio uniforme. La teoría general de la relatividad permitió fundar también el campo de la cosmología.

3 Principios Generales Las características esenciales de la teoría general de la relatividad son las siguientes: El principio general de covariancia: las leyes de la física deben tomar la misma forma en todos los sistemas de coordenadas. El movimiento libre inercial de una partícula en un campo gravitatorio se realiza a través de trayectorias geodésicas. El principio de equivalencia o de invariancia local de Lorentz: las leyes de la relatividad especial (espacio plano de Minkowsky) se aplican localmente para todos los observadores inerciales.

4 Principio de Covarianza El principio de covariancia es la generalización de la teoría de la relatividad especial, donde se busca que las leyes para la naturaleza tengan la misma forma en todos los sistemas de referencia, lo cual equivale a que todos los sistemas de referencia sean indistinguibles. En otras palabras, que cualquiera que sea el movimiento de los observadores, las ecuaciones tendrán la misma forma y contendrán los mismos términos. Ésta fue la principal motivación de Einstein para que estudiara y postulara la relatividad general. El principio de covariancia sugería que las leyes debían escribirse en términos de tensores, cuyas leyes de transformación covariantes y contravariantes podían proporcionar la "invariancia" de forma buscada, satisfaciéndose el principio de covariancia.

5 Principio de Equivalencia. Un hito fundamental en el desarrollo de la teoría de la Relatividad General lo constituyó la enunciación por Albert Einstein en el año 1912 del principio de equivalencia. Dicho principio supone que un sistema que se encuentra en caída libre y otro que se mueve en una región del espacio- tiempo sin gravedad se encuentran en un estado físico sustancialmente similar: en ambos casos se trata de sistemas inerciales. Los dos astronautas de la imagen se encuentran en una nave en caída libre. Por ello no experimentan gravedad alguna (su estado se describe coloquialmente como "de gravedad cero"). Se dice por ello que son observadores inerciales.

6 La mecánica clásica distinguía entre cuerpos de movimiento inercial (en reposo o moviéndose a velocidad constante) o cuerpos de movimiento no inercial (aquellos sometidos a un movimiento acelerado). En virtud de la segunda ley de Newton, toda aceleración estaba causada por la aplicación de una fuerza exterior. La relación entre fuerza y aceleración se expresaba mediante esta fórmula: Donde a la aceleración, F la fuerza y m la masa. La fuerza podía ser de origen mecánico, electromagnético, y cómo no, gravitatorio.

7 Sin embargo, la Teoría de la Relatividad considera que los efectos gravitatorios no son creados por fuerza alguna, sino que encuentran su causa en la curvatura del espacio-tiempo generado por la presencia de masas. Por ello, un cuerpo en caída libre es un sistema inercial, ya que no está sometido a fuerza alguna (porque la gravedad no lo es). Un observador situado en un sistema inercial (como una nave en órbita) no experimenta aceleración alguna y es incapaz de discernir si está atravesando o no un campo gravitatorio. Como consecuencia de ello, las leyes de la física se comportan como si no existiera curvatura gravitatoria alguna. De ahí que el principio de equivalencia también reciba el nombre de Invariancia Local de Lorentz: En los sistemas inerciales rigen los principios y axiomas de la Relatividad Especial.

8 Ejemplos de sistemas inerciales según el Principio de Equivalencia Sistema¿Es inercial? (Principio de Equivalencia) ¿Es inercial? (Mecánica Newtoniana) Cuerpo en Caída Libre Cuerpo en Reposo sobre la superficie terrestre Planeta orbitando alrededor del sol Nave precipitándose hacia la tierra Cohete Despegando desde una base de lanzamiento Si No Si No Si No

9 La curvatura Espacio-Tiempo La aceptación del principio de equivalencia por Albert Einstein le llevó a un descubrimiento ulterior: La contracción o curvatura del tiempo como consecuencia de la presencia de un campo gravitatorio, que quedó expresado en su artículo de 1911 "Sobre la influencia de la gravedad en la propagación de la luz". 1 1 Supongamos que un fotón emitido por una estrella cercana se aproxima a la Tierra. En virtud de la ley de conservación del tetramomentum la energía conservada del fotón permanece invariante. Por otro lado, el principio de equivalencia implica que un observador situado en el fotón (que es un sistema inercial, es decir, se halla en caída libre) no experimenta ninguno de los efectos originados por el campo gravitatorio terrestre. De ello se deduce que la energía conservada del fotón no se altera como consecuencia de la acción de la gravedad, y tampoco lo hace la frecuencia de la luz, ya que, según la conocida fórmula de la física cuántica, la energía de un fotón es igual a su frecuencia (v) multiplicada por la constante de Planck (h): E = hν.

10 Ahora bien, si las observaciones las realizara un astrónomo situado en la superficie de la Tierra, esto es, en reposo respecto su campo gravitatorio, los resultados serían muy diferentes: El astronomo podría comprobar cómo el fotón, por efecto de su caída hacia la Tierra, va absorbiendo progresivamente energía potencial gravitatoria y, como consecuencia de esto último, su frecuencia se corre hacia el azul. Los fenómenos de absorción de energía por los fotones en caída libre y corrimiento hacia el azul se expresan matemáticamente mediante las siguientes ecuaciones: ν rec = ν em e Φ Donde E OBS es la energía medida por un observador en reposo respecto al campo gravitatorio (en este caso un astrónomo), Φ el potencial gravitatorio de la región donde se encuentra éste, E CON la energía conservada del fotón, ν em la frecuencia de emisión, ν rec es la frecuencia percibida por el observador (y corrida hacia el azul) y h la constante de Planck.

11 Teoría de la Relatividad Especial La Teoría de la Relatividad Especial, también llamada Teoría de la Relatividad Restringida, es una teoría física publicada en 1905 por Albert Einstein. Surge de la observación de que la velocidad de la luz en el vacío es igual en todos los sistemas de referencia inerciales y de sacar todas las consecuencias del principio de relatividad, según el cual cualquier experiencia hecha en un sistema de referencia inercial se desarrollará de manera idéntica en cualquier otro sistema inercial.

12 Postulados Primer postulado - Principio especial de relatividad - Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales. En otras palabras, no existe un sistema inercial de referencia privilegiado, que se pueda considerar como absoluto. Segundo postulado - Invariancia de c - La velocidad de la luz en el vacío es una constante universal, c, que es independiente del movimiento de la fuente de luz.

13 Principio de la Relatividad Henri Poincaré a finales del siglo XIX sugirió que el principio de relatividad se mantenga para todas las leyes de la naturaleza. Joseph Larmor y Hendrik Lorentz descubrieron que las ecuaciones de Maxwell, la piedra angular del electromagnetismo, era invariante solo por una variación en el tiempo y una cierta unidad longitudinal. Lo que produjo mucha confusión en los físicos, ellos estaban tratando de argumentar las bases del éter lumínico, pero este éter era incompatible con el principio de relatividad. En su publicación de 1905 en electrodinámica, Henri Poincaré y Albert Einstein explicaron que, con las transformaciones hechas por Lorentz, éste principio se mantenía perfectamente invariable. La contribución de Einstein fue el elevar a este axioma a principio y proponer a las transformadas de Lorentz como primer principio. Además descartó la noción de tiempo absoluto y requirió que la velocidad de la luz en el vacío sea la misma para todos los observadores, sin importar si éstos se movían o no. Esto era fundamental para las ecuaciones de Maxwell, ya que éstas necesitan de una invarianza general de la velocidad de la luz en el vacío.

14 Transformaciones de Lorentz Los físicos de la época habían encontrado una inconsistencia entre la completa descripción del electromagnetismo realizado por Maxwell y la mecánica clásica. Para ellos, la luz era una onda electromagnética transv ersal que se movía por un sistema de referencia privilegiado, al cual lo denominaban éter. Diferentes sistemas de referencia para un mismo fenómeno.

15 Hendrik Lorentz trabajó en resolver este problema y fue desarrollando unas transformaciones para las cuales las ecuaciones de Maxwell quedaban invariantes y sin necesidad de utilizar ese hipotético éter. La propuesta de Lorentz de 1899, conocida como la Teoría electrónica de Lorentz, no excluía -sin embargo- al éter. En la misma, Lorentz proponía que la interacción eléctrica entre dos cuerpos cargados se realizaba por medio de unos corpúsculos a los que llamaba electrones y que se encontraban adheridos a la masa en cada uno de los cuerpos. Estos electrones interactuaban entre sí mediante el éter, el cual era contraído por los electrones acorde a transformaciones específicas, mientras estos se encontraban en movimiento relativo al mismo. Éstas transformaciones se las conoce ahora como transformaciones de Lorentz. La formulación actual fue trabajo de Poincaré, el cual las presentó de una manera más consistente en Donde es el llamado factor de Lorentz y es la velocidad de la luz en el vacio

16 Simultaneidad Se refiere al hecho de que no se puede decir con sentido absoluto que dos acontecimientos en diferente lugar puedan haberse realizado al mismo tiempo. Si dos observadores, en el mismo lugar (espacio), presencian un fenómeno, podrían decir simultáneamente que se realizó en el mismo tiempo. Los dos indicarían el mismo tiempo del acontecimiento. Pero si los dos presencian ese acontecimiento en lugares diferentes, espacios diferentes, al mismo tiempo, ninguno de ellos podría afirmar que se realizó simultáneamente. Matemáticamente, esto puede comprobarse en la primera ecuación de la transformación de Lorentz: un evento que se realiza en el sistema de referencia S, que satisface,no no no necesariamente debe ser simultáneo en otro sistema de referencia inercial S', para satisfacer.

17 Dilatación del Tiempo El tiempo en esta teoría deja de ser absoluto como se proponía en la mecánica clásica. O sea, el tiempo para todos los observadores del fenómeno deja de ser el mismo. Si tenemos un observador inmóvil haciendo una medición del tiempo de un acontecimiento y otro que se mueva a velocidades relativistas, los dos relojes no tendrán la misma medición de tiempo.

18 Mediante la transformación de Lorentz nuevamente llegamos a comprobar esto. Se coloca un reloj ligado al sistema S y otro al S', lo que nos indica que x = 0. Se tiene las transformaciones y sus inversas en términos de la diferencia de coordenadas: Si despejamos las primeras ecuaciones obtenemos: De lo que obtenemos que los eventos que se realicen en el sistema en movimiento S' serán más largos que los del S. La relación entre ambos es esa γ. Éste fenómeno se lo conoce como dilatación del tiempo.

19 Contracción de la Longitud. Si se dice que el tiempo varía a velocidades relativistas, la longitud también lo hace. Un ejemplo sería si tenemos a dos observadores inicialmente inmóviles, éstos miden un vehículo en el cual solo uno de ellos "viajará" a grandes velocidades, ambos obtendrán el mismo resultado. Uno de ellos entra al vehículo y cuando adquiera la suficiente velocidad mide el vehículo obteniendo el resultado esperado, pero si el que esta inmóvil lo vuelve a medir, obtendrá un valor menor. Esto se debe a que la longitud también se contrae. Gráfico que explica la Contracción de Lorentz

20 Volviendo a las ecuaciones de Lorentz, despejando ahora a x y condicionando a se obtiene: de lo cual podemos ver que existirá una disminución debido al cociente. Estos efectos solo pueden verse a grandes velocidades, por lo que en nuestra vida cotidiana las conclusiones obtenidas a partir de éstos cálculos no tienen mucho sentido. Un buen ejemplo de estas contracciones y dilataciones fue propuesto por Einstein en su paradoja de los gemelos.

21 Anterior a la Relatividad Especial, la velocidad de un cuerpo en dos sistemas venía dado por donde es la velocidad del cuerpo con respecto al sistema S', U es la velocidad del sistema y V es la velocidad desde el sistema en reposo S. Ahora, debido a la alteración en la dirección de la noción de simultaneidad esto deja de ser del todo cierto. Con los cálculos debidos en las transformadas de Lorentz se logra obtener la siguiente ecuación: Al observar con cuidado esta fórmula se nota que si un cuerpo se mueve a la velocidad de la luz en el sistema S, también lo hará en el sistema S'. Además se obtiene que si las velocidades son muy pequeñas en comparación con la luz, esta fórmula se aproxima a la anterior dada por Galileo.

22 Masa, Momento y energia El concepto de masa en la teoría de la relatividad especial tiene dos bifurcaciones: la masa invariante y la masa relativista. La masa relativista es la masa que va a depender del observador y puede incrementar dependiendo de su velocidad, mientras que la invariante es independiente de quien la mire y como su nombre lo dice no varía. Matemáticamente se obtiene que M=γm donde M es la masa relativista, m es la invariante y γ es el factor de Lorentz

23 Energía La relatividad especial postula una ecuación para la energía, la cual inexplicablemente llego a ser la ecuación más famosa del planeta, E=mc2. A esta ecuación también se la conoce como la equivalencia entre masa y energía. En la relatividad, la energía y el momento están relacionados mediante la ecuación Esta relación de energía-momento formulada en la relatividad nos permite observar la independencia del observador tanto de la energía como de la cantidad de momento. Para velocidades no relativistas, la energía puede ser aproximada mediante una expansión de una serie de Taylor así

24 Fuerza Empleando la segunda ley de Newton, tenemos que la fuerza es: contrariamente a lo que se decía en la mayoría de los casos en la mecánica newtoniana, aquí la masa deja de ser una constante para ser una invariante. De este modo, la tan usada ecuación de F=m.a ya no puede ser utilizada aquí. Por lo que más estrictamente hablando la ecuación tendría que ser: donde M es la masa inercial. Además la fuerza podría no tener necesariamente la dirección de la aceleración por lo que relativísticamente se suele usar esta fórmula:

25 Bibliografía einstein-explicadahttp://refugioantiaereo.com/2006/08/emc2-la-teoria-de- einstein-explicada Stephen W. HawkingLa Teoría del Todo. Ed. Debate R. Eisberg y R. Resnick, Física cuántica: átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas, Limusa. P. A. Tipler, Física para la ciencia y la ingeniería, volumen 2, Reverté. R. Serway, Física, tomo 2, McGraw Hill, tercera edición. P. Fishbane, S. Gasiorowicz y S. T. Thornton, Física para ciencias e ingeniería, volumen 2, Prentice-Hall.


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