Unidad 3 Capítulo XI Ejercicios

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1 Unidad 3 Capítulo XI Ejercicios

2 U-3. Cap. XI Ejercicios 1 En un sitio grande de pesca, con mucha disponibilidad de alimento, se observa que la población de peces se duplica cada año cuando no se pesca ningún pez. Tomando el número inicial de peces en el sitio como N0 y mediante el uso de la ley maltusiana de crecimiento, obtenga una relación para el número de peces como función del tiempo si se pesca continuamente a razón de 0.002N0 por día. 2 Se observa que la población de cierta colonia de bacterias se duplica cada tres horas. Suponiendo que la ley maltusiana de crecimiento poblacional es válida, determine cuánto tiempo tardará en cuadruplicarse la población original. 3 Considere un país cuya población crece a razón de 0.2% por año. Si esta tasa de crecimiento permanece constante, ¿en cuántos años se duplicará la población de ese país? 4 Dada la ecuación 6y’ + 3y = 0 y la condición inicial y(0) = 10, sin resolverla determine cuánto tarda y(t) en llegar aproximadamente a y = 3.7. ¿Cuánto tarda en llegar a y = 0.2?

3 U-3. Cap. XI Ejercicios 5 Dada la ecuación 15y’ + 3y = 24 y la condición inicial y(0) = 10, determine cuál es el valor en estado estacionario de y(t). Sin resolver la ecuación, ¿cuánto tarda y(t) en llegar aproximadamente a y = 5.04, y cuánto en llegar a y = 7.84? 6 La vida media del radio 226 es cercana a años. Determine la constante de desintegración de dicho elemento y la fracción que se desintegra en 100 años. 7 Una pequeña bola de cobre que esta inicialmente a temperatura T1 = 30°C se deja caer en agua helada en t = 0. Se observa que la temperatura de la bola baja a 20°C en t = 1 min. Utilice la ley de Newton del enfriamiento para determinar la temperatura de la bola en t = 2 min. 8 Una uva de 1 cm de diámetro que esta inicialmente a una temperatura uniforme de 20°C se coloca en un refrigerador de modo que l = hA/mc = s1. Determine la temperatura de la uva después de 10 minutos mediante la ley de Newton del enfriamiento.

4 U-3. Cap. XI Ejercicios 9 Una placa caliente de aluminio que esta inicialmente a una temperatura uniforme de 250°C se enfría exponiéndola a una corriente de aire a 50°C. Los diversos parámetros que participan en el proyecto son tales que l = hA/mc = s1. Usando la ley de enfriamiento de Newton, determine el tiempo necesario para enfriar la placa a 100°C. 10 Un tanque contiene 200 L de salmuera con 10 kg de sal. Si se hace entrar agua pura al tanque con flujo de 5 L por minuto, y la mezcla bien agitada sale de éste a la misma velocidad. Determine la cantidad de la sal en el tanque después de 30 min. ¿Cuánto tiempo tomará para que la cantidad de sal en el tanque sea de 1 kg? 11 Un cuerpo de masa m = 5 kg se deja caer de un edificio de 50 m de altura. Golpea el suelo con una colisión perfectamente elástica que invierte la dirección de su movimiento, pero no cambia la magnitud de la velocidad al ocurrir el golpe. Suponiendo que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo, con una constante de proporcionalidad k = 2 N·s/m y considerando g = 9.8 m/s2, determine a qué altura rebotará el cuerpo después de golpear el suelo.

5 U-3. Cap. XI Ejercicios 12 Un cuerpo esférico de masa m, cuya densidad es rb, se suelta desde el reposo al agua y se sumerge. Mientras la gravedad tira del cuerpo hacia abajo, una fuerza de flotación, que se define por rwgV, donde rw es la densidad del agua (en kg/m3), g es la constante de la gravedad (en m/s2) y V es el volumen del cuerpo sumergido en el agua (en m3), está empujando el cuerpo hacia arriba. Suponga que la resistencia del agua debida al efecto viscoso es proporcional a la velocidad del cuerpo con una constante de proporcionalidad k y deduzca la ecuación de movimiento del cuerpo en términos de los parámetros dados. Determine también la velocidad terminal de inmersión del cuerpo considerando que t  . Finalmente, grafique la velocidad del cuerpo como función del tiempo considerando m = 15 kg, rb = 2000 kg/m3, rw = 1000 kg/m3, k = 15 N·s/m y g = 9.8 m/s2.

6 U-3. Cap. XI Ejercicios 13 El circuito RL que se muestra en la figura tiene los siguientes valores: R = 104 W, L = H y E = 10 V.  Si la corriente es inicialmente cero cuando se aplica el voltaje, determine el valor de estado estacionario de la corriente. b) Sin resolver la ecuación diferencial, determine en forma aproximada cuánto tardará la corriente en alcanzar su valor de estado estacionario. 14 El crecimiento logístico poblacional con un umbral se describe mediante la ecuación diferencial: Obtenga una solución general de esta ecuación y grafique el crecimiento (o la declinación) poblacional para varios valores iniciales de la población N0. Determine el valor umbral de N0, debajo del cual no habrá crecimiento y ciertas especies se extinguirán.

7 Obtenga la ecuación de movimiento y despeje la velocidad v(t).
U-3. Cap. XI Ejercicios 15 Un modelo más realista y complejo para el crecimiento poblacional es el que no permite el crecimiento no acotado pero permite la extinción. Tal modelo se describe agregando otro factor a la ecuación diferencial en el problema anterior de modo que la tasa de crecimiento se vuelve negativa cuando N es grande. Se expresa como: Obtenga una solución general de esta ecuación diferencial y determine las soluciones de equilibrio. 16 En un cohete de dos etapas, la primera de ellas tiene un empuje T = 300 kN y una masa en el despegue de m = 5000 kg. La fuerza de arrastre aerodinámico D para este cohete específico tiene la forma D = v2, donde la velocidad v está dada en metros por segundo. Obtenga la ecuación de movimiento y despeje la velocidad v(t). b) Determine la velocidad del cohete después de 4 s.

8 U-3. Cap. XI Ejercicios 17 Determine las trayectorias ortogonales de la familia de curvas de un parámetro para: a) x2 – y2 = C, b) x2 + y2  2kx = 0, c) y = kx2. 18 Las mediciones de temperatura se basan en la transferencia de calor entre el sensor de un dispositivo de medición (termómetro ordinario, termopar) y el medio cuya temperatura se va a medir. Una vez que el sensor se pone en contacto con el medio, recibe (o pierde) rápidamente el calor y llega al equilibrio térmico con el medio (el medio y el sensor están a la misma temperatura). El tiempo requerido para que se establezca el equilibrio térmico varía de una fracción de segundo a varios minutos. Puede suponerse que el sensor está a una temperatura uniforme en todo momento por lo que aplica la ley de enfriamiento de Newton. Es común usar termopares para medir la temperatura de corrientes de gases. Si l = hA/mc = 0.02 s1, e inicialmente, la junta de termopar está a una temperatura Ti, y la corriente de gas a T0, determine cuánto tardará el termopar para detectar 95% de la diferencia inicial de temperatura entre la junta y el gas.

9 U-3. Cap. XI Ejercicios 19 Un cuerpo de masa m en la cúspide de una torre de 100 m de alto se arroja verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 10 m/s. Suponga que la resistencia del aire FD que actúa sobre el cuerpo es proporcional a la velocidad v, de modo que FD = kv. Tomando g = 9.8 m/s2 y k/m = 5 s, determine: a) ¿qué altura alcanzará el cuerpo arriba de la torre?, b) ¿cuánto tardará el cuerpo en tocar el suelo? y c) ¿con qué velocidad el cuerpo tocará el suelo?. 20 Repita este problema suponiendo ahora que el cuerpo se arroja hacia arriba con un ángulo de 30° con respecto a la horizontal, en lugar de hacerlo verticalmente. 21 Considere un cuerpo de masa m que se deja caer desde el reposo en t = 0. El cuerpo cae bajo la influencia de la gravedad, y la resistencia del aire FD que se opone al movimiento se supone proporcional al cuadrado de la velocidad, de modo que FD = kv2. Llame x a la distancia vertical y tome la dirección positiva del eje x hacia abajo, con origen en la posición inicial del cuerpo. Obtenga relaciones para la velocidad y la posición del cuerpo en función del tiempo t.

10 U-3. Cap. XI Ejercicios 22 Una reacción química de segundo orden implica la interacción de dos sustancias A y B para formar un nuevo compuesto X. En estos casos se observa que la rapidez de reacción es proporcional al producto de las cantidades remanentes de las dos sustancias originales. La ecuación diferencial que describe la reacción equimolar A + B  X puede expresarse en la forma: en donde k es una constante positiva, a y b son las concentraciones iniciales de los reactivos A y B, respectivamente y x(t) es la concentración del nuevo compuesto para cualquier t. Si al inicio no hay ninguna cantidad del compuesto X, obtenga una relación para x(t). ¿Qué sucede cuando t  ? 23 Repita este problema, suponiendo que la concentración inicial de la primera sustancia reactiva es el doble de la concentración inicial de la segunda sustancia, de modo que a = 2b. 24 Repita este problema, suponiendo que las concentraciones iniciales de los reactivos A y B son iguales, de modo que a = b.

11 U-3. Cap. XI Ejercicios 25 Repita este problema, suponiendo que la reacción es una dimerización, es decir, A = B, en este caso la ecuación química es A + A  2A. Construya el modelo para la función a(t) que representa la cantidad remanente de reactivo A y considere que la cantidad inicial de reactivo es a0. 26 Un tanque de 2 m3 está dividido en dos partes iguales mediante una partición permeable. Inicialmente, cada una contiene una disolución de diferentes concentraciones, x1 y x2. Demuestre que la concentración en la primera parte está regida por la ecuación diferencial: en donde k es la constante de proporcionalidad y resuelva esta ecuación diferencial, reduciéndola a primer orden, mediante la sustitución: