LOS FRACTALES TIPOS DE FRACTALES

Presentación del tema: "LOS FRACTALES TIPOS DE FRACTALES"— Transcripción de la presentación:

1 LOS FRACTALES TIPOS DE FRACTALES
Creado por: Juan josé Fernandez Adrián García Gonzáles

2 Definición de fractal Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

3 Empleo de los fractales como modelos y situaciones en la naturaleza
Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.

4

5 Sus propiedades más curiosas
A un fractal se le atribuyen las siguientes características: ·Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales. ·Posee detalle a cualquier escala de observación. ·Es autosimilar (exacta, aproximada o estadísticamente). ·Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica. ·Se define mediante un simple algoritmo recursivo. No basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.

6 Otra propiedad de los fractales es poseer detalle a todas las escalas de observación. Se puede completar indicando que un fractal no tiene ninguna escala característica o lo que es lo mismo todas las escalas son "buenas" para representar un fractal. Un fractal es un objeto que exhibe autosemejanza a cualquier escala, es decir, tiene la propiedad de que una pequeña sección suya puede ser vista como una réplica a menor escala de todo el fractal Existen otras dos características propias a los fractales. Ellas son importantes para comprender su estructura y su concepción. Primero, su área o superficie es finita, es decir, tiene límites. Por el contrario y por paradójico que esto resulte, su perímetro o longitud es infinita, es decir, no tiene límites. El área sería siempre semejante o aproximada a la de la circunferencia mayor, pero su longitud (considerándolas no como figuras independientes, sino como todas una sola), sería infinita.

7 ¿Qué es la dimensión fractal?
La dimensión fractal es un exponente que da cuenta de cuán parece llenar un fractal el espacio conforme se amplía el primero hacia escalas más y más finas. No existe una única dimensión fractal sino una serie de dimensiones que frecuentemente resulta equivalentes pero no siempre. Entre estas definiciones está la dimensión de Hausdorff-Besicovitch, la dimensión de la dimensión de empaquetamiento, la dimensión de homotecia y las dimensiones de Rényi. Ninguna de estas dimensiones debería ser tratada como universal, ya que a veces la discrepancia entre ellas está asociada a diferencias en la estructura interna del fractal. Aunque para un buen número de fractales clásicos los valores de las diferentes definiciones de dimensión fractal todas estas dimensiones coinciden, en general no son equivalentes. En la práctica algunas definciones de dimensión fractal resultan más sencillas de calcular, y por eso son más ampliamente usadas, aunque no siempre tienen las propiedades matemáticas más deseables.

8

9

10 Generador de fractales (Ultrafractal.exe)
Este programa es capaz de generar dos fractales: el fractal de Mandelbrot y el fractal de Julia. Su principal característica es la rapidez para el dibujo y la capacidad de ejecutar nuevas fórmulas que el usuario puede crear para dibujar fractales. Otra característica muy atractiva es la capacidad de dibujar fractales en diferentes colores y rotarlos de manera que se crean efectos espectaculares. En contra sólo un defecto, es un programa propietario y por lo tanto se debe pagar por su uso.

11 Triángulo de Sierpinski
El triángulo de Sierpinski tiene una dimensión fractal de Hausdorff-Besicovitch coincidente con su dimensión fractal de homotecia igual a:

12 Iteracción 1 >> Área = 3 / 4 Iteracción 2 >> Área = 9 / 16
Si vamos viendo el área de " El Triangulo Sierpinski" para diferentes iteracciones, obtenemos : Iteracción 1 >> Área = 3 / Iteracción 2 >> Área = 9 / 16 Iteracción 3 >> Área = 27 / 64 Iteracción 4 >> Área = 81 / 256

13 También obtenemos que la dimensión de semejanza es:
Como podemos ver en esta serie el área del triángulo tiende a cero, esto se demuestra analíticamente mediante la siguiente fórmula: area = p ^ i * f ^ i Donde: p = nº de partes i = nº iteraciones f = factor de escala También obtenemos que la dimensión de semejanza es: Ds = log 3 / log 2

14

15 Construcción, longitud y dimensión:
El polvo de Cantor Construcción, longitud y dimensión: Para construirlo seguiremos los siguientes pasos: Tomemos una línea recta de cierta longitud que supondremos que es de valor uno. Dividamos ahora esta línea en tres partes iguales y quitemos la parte central. Cada segmento de los que quedaron tiene ahora longitud igual a (1/3). Enseguida repetimos el mismo procedimiento con cada uno de los segmentos restantes. Cada uno de los segmentos tiene una longitud de (1/9) (un tercio de un tercio). Por tanto ahora se tienen cuatro segmentos de longitud (1/9) cada uno. Si se repite este procedimiento con cada uno de los segmentos obtenidos, se encuentran sucesivamente las líneas mostradas en la figura. En cada paso se va encontrando un número mayor de segmentos, pero cada uno de menor longitud. Si se llevara a cabo este procedimiento un número muy grande de veces, se llegaría a obtener un "polvo" formado de un número extraordinariamente grande de segmentos, cada uno de longitud muy pequeña.

16