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1 Simulación estocástica Modelos descriptivos Estudio de un sistema bajo unas condiciones inciertas Objetivo: generar información estocástica Estimación.

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1 1 Simulación estocástica Modelos descriptivos Estudio de un sistema bajo unas condiciones inciertas Objetivo: generar información estocástica Estimación de valores deseados Valor medio, varianza, percentiles Estimación del error cometido Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

2 2 Simulación estocástica Ejemplo: Generación eléctrica para mercados 5 generadores Coste de generación: C (Kpta) = 8E - E 2 /200 Límites: MWh Demanda: Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

3 3 Simulación estocástica Ejemplo: Otros datos Datos de competidores: Costes uniformes dentro del margen Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

4 4 Simulación estocástica Ejemplo Mecanismo de aceptación de ofertas: Casación de oferta con demanda Remuneración al coste marginal Objetivo Maximizar beneficio, sujeto a acciones de competidores Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

5 5 Simulación estocástica Ejemplo: Resultados deseados Beneficio esperado para patrón de ofertas Estudio comparativo de beneficios entre distintos patrones de ofertas Análisis de riesgo: probabilidad de que el beneficio sea inferior a una cierta cantidad Supondremos: Competidores ofertan cantidad máxima Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

6 6 Simulación estocástica Ejemplo Se ofertan 400 Mwh a 7 Pta/Kwh Si se conociese el precio de mercado, max pE - 8E + E 2 /200 s.a 0 E 400 Precio depende de acciones inciertas de competidores Cantidad aceptada también depende de estas acciones Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

7 7 Simulación estocástica Ejemplo Si competidores ofertan a su precio medio A 450/7.5 B 300/6.5 C 500/7.25 D 350/6.75 Ordenar ofertas por precio, y asignar hasta cubrir demanda (1150 Mwh) Se aceptan: B 300, D 350, X 400, C 100 Precio de mercado: 7.25 Beneficios propios (X): /200 = 500 Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

8 8 Simulación estocástica Ejemplo Es fácil calcular el beneficio dados precios Pero beneficio para precios medios no sirve de mucho No es el beneficio medio No da información sobre variabilidad (riesgos) Es fácil calcular un valor del beneficio, pero no es fácil calcular el beneficio medio Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

9 9 Simulación estocástica Procedimiento propuesto Generar muchos valores del beneficio De muchos valores de precios de competidores Estimar valor esperado a partir de muestra Los valores de la muestra deben ser i.i.d. Los valores de los precios empleados también deben ser i.i.d. Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

10 10 Simulación estocástica Formalización del proceso Planteamiento del problema Identificación de variables de entrada Condiciones para la medida Especialmente, aquellas aleatorias Valores de variables deterministas Propiedades de variables aleatorias Identificación de variables de salida Lo que se desea medir del sistema Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

11 11 Simulación estocástica Planteamiento del problema Relación variables de entrada y salida: Dados valores de variables de entrada, cómo calcular valor de las variables de salida Tratamiento de la salida De una muestra de valores de las variables de salida, obtener la información deseada Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

12 12 Simulación estocástica Ejemplo: Variables de salida: beneficio esperado probabilidades Variables de entrada: Oferta a realizar (precios en cada periodo) Comportamiento de los competidores Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

13 13 Simulación estocástica Ejemplo: Relación entre variables de entrada y salida: Cierre del mercado: cantidades y precios aceptados de cada oferta Ingresos de las ofertas propias aceptadas Coste de las ofertas propias aceptadas Beneficios asociados Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

14 14 Simulación estocástica Procedimiento de simulación: Definir variables: entrada/salida Definir relaciones Generar valores variables de entrada Obtener valores variables de salida Repetir un número suficiente de veces Estimar valores deseados Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

15 15 Simulación estocástica Aspectos del procedimiento Generación de datos de entrada Muestra de datos i.i.d. Que sigan la distribución supuesta: Normal Uniforme Exponencial, etc. Que sean independientes Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

16 16 Simulación estocástica Generación de datos de entrada Depende de distribución supuesta Datos uniformes/normales Soportados por software Otros datos: Programas especiales Técnicas matemáticas a estudiar más adelante Por ejemplo, para la distribución exponencial: - log U /, U Unif [0,1] Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

17 17 Simulación estocástica Variables de salida Repetir distintos valores de variables de entrada Muestra de valores de variables de salida Obtención de resultados Valores medios e intervalos de confianza m = (1/n) i x i, s 2 = 1/(n - 1) i (x i - m) 2 [ m - zs/ n, m + zs/ n ] Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

18 18 Simulación estocástica ¿Cuántas repeticiones? Error decrece con el número de repeticiones Parar cuando error estimado sea suficientemente pequeño Procedimiento habitual: parar cuando zs/ n < m err Error 10 veces menor, 100 veces más repeticiones. Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

19 19 Simulación estocástica Ejemplo mercados eléctricos Valores obtenidos Ordenar precios y cantidades Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

20 20 Simulación estocástica Ejemplo Acumular ofertas Comparar con la demanda Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

21 21 Simulación estocástica Ejemplo Cálculo del valor de interés Repetición del proceso Estimación a partir de la muestra Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

22 22 Simulación estocástica Ejemplo Hemos generado la muestra Estimaciones: Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

23 23 Simulación estocástica Ejemplo Resultados con precio 7 Variabilidad con el número de muestras Errores en la estimación Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

24 24 Simulación estocástica Ejemplo. Resultados Estudio paramétrico (n = 1000) Precio Beneficio Error Dificultades para discriminar (n = 10000) Precio Beneficio Error Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

25 25 Simulación estocástica Ejemplo. Otros resultados Para precio igual a 7, se obtienen beneficios con probabilidad del 25% De la muestra generada se selecciona no la media sino el cuantil correspondiente n Beneficio Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

26 26 Simulación estocástica Problemas pendientes: Generación de números aleatorios Números uniformes Otras distribuciones Obtención de resultados con muestras no independientes Reducción de sesgos Con bajo coste computacional Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

27 27 Simulación estocástica Generación de n. aleatorios uniformes Otras distribuciones: a partir de estos números Generación de números seudo-aleatorios A partir de fórmulas deterministas Más eficientes computacionalmente Deben parecer aleatorios Distribución uniforme e independencia Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

28 28 Simulación estocástica Números seudo-aleatorios Ejemplo: Ultimos 5 dígitos de DNI parecen aleatorios Dividir por 10 5 los valores resultantes Sistematización: Generar números grandes A partir de los anteriores Multiplicando por algún valor Empleamos los últimos dígitos de los restos Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

29 29 Simulación estocástica Procedimiento habitual Generador congruente u k = (au k-1 + b ) mod c, x k = u k /c Valores de a, b y c Propiedades: Apariencia de uniformidad Independencia Valor de c suficientemente grande Número máximo de valores diferentes = c Si c es pequeño, no hay apariencia de uniformidad Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

30 30 Simulación estocástica Selección de parámetros Importante la facilidad de cálculo Selección habitual: c = 2 32 ó c = Selección de b Selección habitual: b = 0 Facilidad de cálculo Selección de a El problema más difícil Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

31 31 Simulación estocástica Selección de parámetros Obtener los ciclos más largos posibles La sucesión { x k } tiene periodo igual a c si y solo si se cumple: b y c son primos entre sí a - 1 múltiplo de p para todo p primo divisor de c a - 1 múltiplo de 4 si c es múltiplo de 4 Condiciones no muy útiles Valores escogidos por prueba y error Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

32 32 Simulación estocástica Ejemplo de simulador congruente: u k = 7 5 u k-1 mod ( ), x k = u k /( ) ¿Independencia? Se comprueba a posteriori Comprobaciones Distribución uniforme Tests tipo Kolmogorov-Smirnov Independencia Rachas, Komogorov-Smirnov sobre n -uplas Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

33 33 Simulación estocástica Comprobación de uniformidad Se divide el intervalo [0,1] en subintervalos Número observaciones en cada subintervalo, i Tests 2 Unidimensionales y multidimensionales Se calcula (i - N ) 2 /(N ) 2 Se contrasta con una p-1 2 Kolmogorov-Smirnov Se calcula max (i /n - ) Se contrasta con las tablas Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

34 34 Simulación estocástica Comprobación de independencia Tests de rachas Para rachas de longitud d, asintóticamente (N - E[N ])/Var(N ) ½ N(0,1) Valores de los momentos E[N ] = 2(n - d - 2)(d 2 + 3d + 1)/(d + 3)! Tests individuales Tests tipo 2 Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

35 35 Simulación estocástica Generación de números no uniformes A partir de números uniformes Método general: Transformación inversa U Unif [0,1], X = F -1 (U ), X F Justificación: sea G la función de distribución de X G (x ) = P(X x ) = P(F -1 (U ) x ) = P(U F (x )) = F (x ) Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

36 36 Simulación estocástica Ejemplos Variable exponencial con parámetro F (x ) = 1 - e - x, F (x ) = u 1 - e - x = u x = -(1/ ) log(1 - u ) Variables discretas X = x i c.p. p i X = x k si 1 k-1 p i u < 1 k p i Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

37 37 Simulación estocástica Otros ejemplos Uniforme en [a, b ] F (x ) = (x - a )/(b - a ), X = a + (b - a )U Triangular con parámetros a, b, c (x - a ) 2 /(c - a )(b - a ) F (x ) = (b - a )/(c - a ) + ((c - b ) 2 - (c - b ) 2 )/(c - a )(c - b ) a + (c - a )(b - a )U X = c - (c - b ) 2 - (c - a )(b - a )(U - (b - a )/(c - a )) Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

38 38 Simulación estocástica Métodos especiales Métodos de composición Métodos de aceptación-rechazo Generación de normales Métodos de alias Variables discretas Métodos de caracterización Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

39 39 Simulación estocástica Métodos de composición Variable como suma de otras variables Generación de p 2 (p par) Generar p /2 exponenciales con parámetro ½ Generación de Gamma(k, ) Generar k exponenciales con parámetro Generación de binomiales (n, p ) Se generan n Bernouillis con parámetro p Generación de normales Se generan 12 uniformes [0,1] Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

40 40 Simulación estocástica Métodos de aceptación-rechazo Generar valores de distribución a partir de otra Cuya densidad es mayorante de la de interés Procedimiento Se tiene función g 0, mayorante de f Generar Y con densidad h = g /c Generar U uniforme en [0,1] Si U f (Y )/g (Y ), hacer X = Y Si no, repetir Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

41 41 Simulación estocástica Aceptación-rechazo Justificación Si calculamos la función de distribución de X, P(X x ) = P(Y x | U f (Y )/g (Y )) = x (g (y )/c ) (f (y )/g (y )) dy / (g (y )/c ) (f (y )/g (y )) dy = x f (y ) dy La variable X resultante tiene densidad f Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

42 42 Simulación estocástica Aceptación-rechazo Ejemplo: normal a partir de exponencial Densidad de normal estándar mayorada por e exp(-x ) Procedimiento Generar dos uniformes [0,1] Definir Y = -logU 1 Si U 2 exp(-½ (Y - 1) 2 ), aceptar X = Y Si no, repetir Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

43 43 Simulación estocástica Método de alias Para variables discretas Se generan dos tablas de valores Cortes f i Alias a i Procedimiento Se genera U uniforme en [0,1]. i = nU + 1 Se genera V uniforme en [0,1] Si V f i se devuelve i Si no, se devuelve a i Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

44 44 Simulación estocástica Métodos de caracterización Generación de normales Basada en la propiedad X 1, X 2 N (0,1) independientes (X 1, X 2 ) = (R, ), R 2 exp(½), Unif [0,2 ] indep. Se generan una uniforme en [0,2 ], y una exponencial con parámetro ½, R 2 Se calculan X 1 = R cos y X 2 = R sin Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

45 45 Simulación estocástica Caracterización Funciones trigonométricas costosas Aceptación-rechazo + caracterización Generar U 1 y U 2 independientes y uniformes V i = 2U i - 1, S = V V 2 2 Si S 1, rechazar y repetir Si no, X 1 = (V 1 / S ) (-2logS ), X 2 = (V 2 / S ) (-2logS ) Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

46 46 Simulación estocástica Dependencias en la muestra Ejemplo 2. Gestión de inventarios Venta/distribución de un producto Demanda muy variable Costes: Costes de pedido - fijos:200 - variables:10 Costes de inventario:2 Costes de rotura de stock:25 Precio de venta:20 Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

47 47 Simulación estocástica Ejemplo 2 Demanda variable: Distribución exponencial Media:250 Variables de salida: Beneficio esperado Nivel de inventario Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

48 48 Simulación estocástica Ejemplo 2 Variables de entrada: Demanda Nivel de pedido Cantidad de pedido Datos anteriores (costes, precio) Tiempo de servicio igual a un periodo Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

49 49 Simulación estocástica Ejemplo 2 Estudiaremos políticas (s,S ) Se fija un nivel s tal que cuando el inventario queda por debajo, se realiza un pedido El tamaño del pedido es fijo, S Estas políticas son óptimas bajo condiciones muy amplias sobre la demanda Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

50 50 Simulación estocástica Relación entre entrada y salida: Inventario disponible menos demanda da inventario final y realización de pedidos I t - D t + P t si I t + P t D t I t+1 = 0 en otro caso si I t < s, P t+1 = S Se parte de un valor inicial de I Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

51 51 Simulación estocástica Generación de salidas Se acumulan valores de costes por unidad de tiempo y de niveles de inventario {I t } B t = pD t - (K + cS + hI t + b (D t - D t )) D t = min(I t + P t, D t ) {B t } Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

52 52 Simulación estocástica Ejemplo 2 Los valores de la muestra no son independientes Si los inventarios son altos en un periodo, tienden a ser altos en los siguientes Cautelas a la hora de hacer inferencia Se descartan primeras observaciones Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

53 53 Simulación estocástica Ejemplo 2 Muestra generada. s = 400, S = 600 Inventario 0 * 358 * * Demanda * 192 * * * * Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

54 54 Simulación estocástica Ejemplo 2 Estudio de sensibilidad s S Inventario Error Beneficio Error Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

55 55 Simulación estocástica Ejemplo 2 Valores del beneficio: No es posible que sean correctos simultáneamente los valores y Error en los valores estimados, o en los intervalos de confianza Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

56 56 Simulación estocástica Ejemplo 2 Problema: Dependencia entre observaciones Solución: Obtener un único valor de toda la simulación Por ejemplo, el beneficio acumulado Otros métodos con menos requisitos computacionales Medias agrupadas, simulación regenerativa Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

57 57 Simulación estocástica Muestras dependientes Problemas: Dependencia del valor inicial Dependencia entre valores Suposición Dependencia disminuye con la separación entre observaciones Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

58 58 Simulación estocástica Valor inicial Escoger adecuadamente el valor Distribución estacionaria Eliminar las primeras observaciones ¿Cuántas observaciones se eliminan? Análisis de sensibilidad Conocimiento del sistema Experiencia Del orden de 1/5 del total Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

59 59 Simulación estocástica Eliminar dependencias entre valores Medias agrupadas Se agrupan las observaciones en submuestras de tamaño M Se calculan las medias de cada submuestra Se estima el valor esperado como la media de las medias anteriores Reducción de sesgos Las medias son más independientes Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

60 60 Simulación estocástica Selección del tamaño de submuestras Balance entre variabilidad e independencia Si k = N /M es grande, menos variabilidad Si M es grande, menos dependencia Test de dependencia Rachas: Se cuenta el número de rachas Bajo independencia: E[R ] = (2k - 1)/3, Var(R ) = (16k - 29)/90 Variabilidad: tamaño intervalo de confianza Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

61 61 Simulación estocástica Un método más elegante Simulación regenerativa Ciertos procesos estocásticos tienen tiempos y estados de regeneración Futuro independiente del pasado en esos estados y tiempos Se puede simular el proceso observando ciclos regenerativos Independencia de valores en diferentes ciclos Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

62 62 Simulación estocástica Simulación regenerativa Para cada ciclo calcular Valores de interés en el ciclo: y k = i v i Longitud del ciclo: t k Estimar el valor deseado como v = ( k y k )/( k t k ) Intervalo de confianza Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

63 63 Simulación estocástica Ejemplo 2 Agrupar 100 valores, 1000 repeticiones Media glob. 513 D. típica glob. 105 Media agr. 377 D. típica agr. 20 Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

64 64 Simulación estocástica Ejemplo 2 Dependencia con medias agrupadas s S Inventario Error Beneficio Error Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

65 65 Simulación estocástica Ejemplo 2 Medias agrupadas s S Inventario Error Beneficio Error Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

66 66 Simulación estocástica Ventajas: Muy flexible. Modelos muy generales Procedimiento genérico. Igual para todas las situaciones (excepto en la generación de variables de entrada) Fácil de aplicar: programas de propósito general (hojas de cálculo) Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

67 67 Simulación estocástica Inconvenientes: Muy poco eficiente en algunas situaciones: muy alta variabilidad, sistemas muy saturados No proporciona relaciones entre variables de salida y parámetros del problema Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003


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