Simulación estocástica

Simulación estocástica
Modelos descriptivos Estudio de un sistema bajo unas condiciones inciertas Objetivo: generar información estocástica Estimación de valores deseados Valor medio, varianza, percentiles Estimación del error cometido Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo: Generación eléctrica para mercados 5 generadores Coste de generación: C (Kpta) = 8E - E 2/200 Límites: MWh Demanda: Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo: Otros datos Datos de competidores: Costes uniformes dentro del margen Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo Mecanismo de aceptación de ofertas: Casación de oferta con demanda Remuneración al coste marginal Objetivo Maximizar beneficio, sujeto a acciones de competidores Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo: Resultados deseados Beneficio esperado para patrón de ofertas Estudio comparativo de beneficios entre distintos patrones de ofertas Análisis de riesgo: probabilidad de que el beneficio sea inferior a una cierta cantidad Supondremos: Competidores ofertan cantidad máxima Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo Se ofertan 400 Mwh a 7 Pta/Kwh Si se conociese el precio de mercado, max pE - 8E + E 2/200 s.a  E  400 Precio depende de acciones inciertas de competidores Cantidad aceptada también depende de estas acciones Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo Si competidores ofertan a su precio medio A 450/7.5 B 300/6.5 C 500/ D 350/6.75 Ordenar ofertas por precio, y asignar hasta cubrir demanda (1150 Mwh) Se aceptan: B 300, D 350, X 400, C 100 Precio de mercado: 7.25 Beneficios propios (X): 7.25  /200 = 500 Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo Es fácil calcular el beneficio dados precios Pero beneficio para precios medios no sirve de mucho No es el beneficio medio No da información sobre variabilidad (riesgos) Es fácil calcular un valor del beneficio, pero no es fácil calcular el beneficio medio Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Procedimiento propuesto Generar muchos valores del beneficio De muchos valores de precios de competidores Estimar valor esperado a partir de muestra Los valores de la muestra deben ser i.i.d. Los valores de los precios empleados también deben ser i.i.d. Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Formalización del proceso Planteamiento del problema Identificación de variables de entrada Condiciones para la medida Especialmente, aquellas aleatorias Valores de variables deterministas Propiedades de variables aleatorias Identificación de variables de salida Lo que se desea medir del sistema Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Planteamiento del problema Relación variables de entrada y salida: Dados valores de variables de entrada, cómo calcular valor de las variables de salida Tratamiento de la salida De una muestra de valores de las variables de salida, obtener la información deseada Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo: Variables de salida: beneficio esperado probabilidades Variables de entrada: Oferta a realizar (precios en cada periodo) Comportamiento de los competidores Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo: Relación entre variables de entrada y salida: Cierre del mercado: cantidades y precios aceptados de cada oferta Ingresos de las ofertas propias aceptadas Coste de las ofertas propias aceptadas Beneficios asociados Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Procedimiento de simulación: Definir variables: entrada/salida Definir relaciones Generar valores variables de entrada Obtener valores variables de salida Repetir un número suficiente de veces Estimar valores deseados Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Aspectos del procedimiento Generación de datos de entrada Muestra de datos i.i.d. Que sigan la distribución supuesta: Normal Uniforme Exponencial, etc. Que sean independientes Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Generación de datos de entrada Depende de distribución supuesta Datos uniformes/normales Soportados por software Otros datos: Programas especiales Técnicas matemáticas a estudiar más adelante Por ejemplo, para la distribución exponencial: - log U / , U  Unif [0,1] Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Variables de salida Repetir distintos valores de variables de entrada Muestra de valores de variables de salida Obtención de resultados Valores medios e intervalos de confianza m = (1/n) i xi , s 2 = 1/(n - 1) i (xi - m)2 [ m - zs/n , m + zs/n ] Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

¿Cuántas repeticiones? Error decrece con el número de repeticiones Parar cuando error estimado sea suficientemente pequeño Procedimiento habitual: parar cuando zs/n < m  err Error 10 veces menor, 100 veces más repeticiones. Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo mercados eléctricos Valores obtenidos Ordenar precios y cantidades Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo Acumular ofertas Comparar con la demanda Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo Cálculo del valor de interés Repetición del proceso Estimación a partir de la muestra Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo Hemos generado la muestra Estimaciones: Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo Resultados con precio 7 Variabilidad con el número de muestras Errores en la estimación Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo. Resultados Estudio paramétrico (n = 1000) Precio Beneficio Error Dificultades para discriminar (n = 10000) Precio Beneficio Error Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo. Otros resultados Para precio igual a 7, se obtienen beneficios con probabilidad del 25% De la muestra generada se selecciona no la media sino el cuantil correspondiente n Beneficio Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Problemas pendientes: Generación de números aleatorios Números uniformes Otras distribuciones Obtención de resultados con muestras no independientes Reducción de sesgos Con bajo coste computacional Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Generación de n. aleatorios uniformes Otras distribuciones: a partir de estos números Generación de números seudo-aleatorios A partir de fórmulas deterministas Más eficientes computacionalmente Deben parecer aleatorios Distribución uniforme e independencia Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Números seudo-aleatorios Ejemplo: Ultimos 5 dígitos de DNI parecen aleatorios Dividir por 105 los valores resultantes Sistematización: Generar números grandes A partir de los anteriores Multiplicando por algún valor Empleamos los últimos dígitos de los restos Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Procedimiento habitual Generador congruente uk = (auk-1 + b ) mod c , xk = uk /c Valores de a , b y c Propiedades: Apariencia de uniformidad Independencia Valor de c suficientemente grande Número máximo de valores diferentes = c Si c es pequeño, no hay apariencia de uniformidad Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Selección de parámetros Importante la facilidad de cálculo Selección habitual: c = 232 ó c = Selección de b Selección habitual: b = 0 Facilidad de cálculo Selección de a El problema más difícil Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Selección de parámetros Obtener los ciclos más largos posibles La sucesión { xk } tiene periodo igual a c si y solo si se cumple: b y c son primos entre sí a - 1 múltiplo de p para todo p primo divisor de c a - 1 múltiplo de 4 si c es múltiplo de 4 Condiciones no muy útiles Valores escogidos por prueba y error Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo de simulador congruente: uk = 75uk-1 mod ( ) , xk = uk /( ) ¿Independencia? Se comprueba a posteriori Comprobaciones Distribución uniforme Tests tipo Kolmogorov-Smirnov Independencia Rachas, Komogorov-Smirnov sobre n -uplas Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Comprobación de uniformidad Se divide el intervalo [0,1] en subintervalos  Número observaciones en cada subintervalo, i Tests 2 Unidimensionales y multidimensionales Se calcula  (i - N)2/(N)2 Se contrasta con una p-12 Kolmogorov-Smirnov Se calcula max (i /n - ) Se contrasta con las tablas Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Comprobación de independencia Tests de rachas Para rachas de longitud d , asintóticamente (N - E[N ])/Var(N )½  N(0,1) Valores de los momentos E[N ] = 2(n - d - 2)(d 2 + 3d + 1)/(d + 3)! Tests individuales Tests tipo 2 Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Generación de números no uniformes A partir de números uniformes Método general: Transformación inversa U  Unif [0,1] , X = F -1 (U ) , X  F Justificación: sea G la función de distribución de X G (x ) = P(X  x ) = P(F -1 (U )  x ) = P(U  F (x )) = F (x ) Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplos Variable exponencial con parámetro  F (x ) = 1 - e -x , F (x ) = u  1 - e -x = u  x = -(1/) log(1 - u ) Variables discretas X = xi c.p. pi X = xk si 1k-1 pi  u < 1k pi Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Otros ejemplos Uniforme en [a , b ] F (x ) = (x - a )/(b - a ) , X = a + (b - a )U Triangular con parámetros a , b , c (x - a )2/(c - a )(b - a ) F (x ) = (b - a )/(c - a ) + ((c - b )2 - (c - b )2)/(c - a )(c - b ) a + (c - a )(b - a )U X = c - (c - b )2 - (c - a )(b - a )(U - (b - a )/(c - a )) Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Métodos especiales Métodos de composición Métodos de aceptación-rechazo Generación de normales Métodos de alias Variables discretas Métodos de caracterización Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Métodos de composición Variable como suma de otras variables Generación de p2 (p par) Generar p /2 exponenciales con parámetro ½ Generación de Gamma(k ,  ) Generar k exponenciales con parámetro  Generación de binomiales (n , p ) Se generan n Bernouillis con parámetro p Generación de normales Se generan 12 uniformes [0,1] Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Métodos de aceptación-rechazo Generar valores de distribución a partir de otra Cuya densidad es mayorante de la de interés Procedimiento Se tiene función g  0 , mayorante de f Generar Y con densidad h = g /c Generar U uniforme en [0,1] Si U  f (Y )/g (Y ) , hacer X = Y Si no, repetir Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Aceptación-rechazo Justificación Si calculamos la función de distribución de X , P(X  x ) = P(Y  x | U  f (Y )/g (Y )) = x(g (y )/c ) (f (y )/g (y )) dy / (g (y )/c ) (f (y )/g (y )) dy = x f (y ) dy La variable X resultante tiene densidad f Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Aceptación-rechazo Ejemplo: normal a partir de exponencial Densidad de normal estándar mayorada por e exp(-x ) Procedimiento Generar dos uniformes [0,1] Definir Y = -logU1 Si U2  exp(-½ (Y - 1)2) , aceptar X = Y Si no, repetir Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Método de alias Para variables discretas Se generan dos tablas de valores Cortes fi Alias ai Procedimiento Se genera U uniforme en [0,1]. i = nU  + 1 Se genera V uniforme en [0,1] Si V  fi se devuelve i Si no, se devuelve ai Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Métodos de caracterización Generación de normales Basada en la propiedad X1 , X2  N (0,1) independientes  (X1, X2 ) = (R , ), R 2  exp(½),   Unif [0,2] indep. Se generan una uniforme en [0,2],  y una exponencial con parámetro ½, R 2 Se calculan X1 = R cos y X2 = R sin Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Caracterización Funciones trigonométricas costosas Aceptación-rechazo + caracterización Generar U1 y U2 independientes y uniformes Vi = 2Ui - 1 , S = V12 + V22 Si S  1 , rechazar y repetir Si no, X1 = (V1/S )(-2logS ) , X2 = (V2/S )(-2logS ) Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Dependencias en la muestra Ejemplo 2. Gestión de inventarios Venta/distribución de un producto Demanda muy variable Costes: Costes de pedido - fijos: 200 - variables: 10 Costes de inventario: 2 Costes de rotura de stock: 25 Precio de venta: 20 Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo 2 Demanda variable: Distribución exponencial Media: 250 Variables de salida: Beneficio esperado Nivel de inventario Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo 2 Variables de entrada: Demanda Nivel de pedido Cantidad de pedido Datos anteriores (costes, precio) Tiempo de servicio igual a un periodo Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo 2 Estudiaremos políticas (s ,S ) Se fija un nivel s tal que cuando el inventario queda por debajo, se realiza un pedido El tamaño del pedido es fijo, S Estas políticas son óptimas bajo condiciones muy amplias sobre la demanda Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Relación entre entrada y salida: Inventario disponible menos demanda da inventario final y realización de pedidos It - Dt + Pt si It + Pt  Dt It+1 = en otro caso si It < s, Pt+1 = S Se parte de un valor inicial de I Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Generación de salidas Se acumulan valores de costes por unidad de tiempo y de niveles de inventario {It } Bt = pDt - (K + cS + hIt + b (Dt - Dt )) Dt = min(It + Pt , Dt ) {Bt } Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo 2 Los valores de la muestra no son independientes Si los inventarios son altos en un periodo, tienden a ser altos en los siguientes Cautelas a la hora de hacer inferencia Se descartan primeras observaciones Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo 2 Muestra generada. s = 400, S = 600 Inventario 0* 358* * Demanda * 192* * * * 507 Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo 2 Estudio de sensibilidad s S Inventario Error Beneficio Error Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo 2 Valores del beneficio: No es posible que sean correctos simultáneamente los valores 671  y 520  21.4 Error en los valores estimados, o en los intervalos de confianza Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo 2 Problema: Dependencia entre observaciones Solución: Obtener un único valor de toda la simulación Por ejemplo, el beneficio acumulado Otros métodos con menos requisitos computacionales Medias agrupadas, simulación regenerativa Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Muestras dependientes Problemas: Dependencia del valor inicial Dependencia entre valores Suposición Dependencia disminuye con la separación entre observaciones Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Valor inicial Escoger adecuadamente el valor Distribución estacionaria Eliminar las primeras observaciones ¿Cuántas observaciones se eliminan? Análisis de sensibilidad Conocimiento del sistema Experiencia Del orden de 1/5 del total Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Eliminar dependencias entre valores Medias agrupadas Se agrupan las observaciones en submuestras de tamaño M Se calculan las medias de cada submuestra Se estima el valor esperado como la media de las medias anteriores Reducción de sesgos Las medias son más independientes Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Selección del tamaño de submuestras Balance entre variabilidad e independencia Si k = N /M es grande, menos variabilidad Si M es grande, menos dependencia Test de dependencia Rachas: Se cuenta el número de rachas Bajo independencia: E[R ] = (2k - 1)/3 , Var(R ) = (16k - 29)/90 Variabilidad: tamaño intervalo de confianza Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Un método más elegante Simulación regenerativa Ciertos procesos estocásticos tienen tiempos y estados de regeneración Futuro independiente del pasado en esos estados y tiempos Se puede simular el proceso observando ciclos regenerativos Independencia de valores en diferentes ciclos Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Simulación regenerativa Para cada ciclo calcular Valores de interés en el ciclo: yk = i vi Longitud del ciclo: tk Estimar el valor deseado como v = (k yk )/(k tk ) Intervalo de confianza Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo 2 Agrupar 100 valores, 1000 repeticiones Media glob D. típica glob Media agr D. típica agr Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo 2 Dependencia con medias agrupadas s S Inventario Error Beneficio Error Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ejemplo 2 Medias agrupadas s S Inventario Error Beneficio Error Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Ventajas: Muy flexible. Modelos muy generales Procedimiento genérico. Igual para todas las situaciones (excepto en la generación de variables de entrada) Fácil de aplicar: programas de propósito general (hojas de cálculo) Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

Inconvenientes: Muy poco eficiente en algunas situaciones: muy alta variabilidad, sistemas muy saturados No proporciona relaciones entre variables de salida y parámetros del problema Universidad Carlos III de Madrid – Ingeniería Informática Investigación Operativa - Curso 2002/2003

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