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Restricciones de desigualdad Prob. con restricciones de desigualdad: min x f (x ) s.a c (x ) 0 Condiciones necesarias: c (x ) 0 f (x ) + c (x ) T = 0 0.

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1 Restricciones de desigualdad Prob. con restricciones de desigualdad: min x f (x ) s.a c (x ) 0 Condiciones necesarias: c (x ) 0 f (x ) + c (x ) T = 0 0 T c (x ) =0 1

2 Restricciones de desigualdad Dificultad: algunas condiciones son desigualdades no podemos reducir el problema a un sistema de ecuaciones Solución: construir problemas aproximados con restricciones de igualdad 2

3 Restricciones de desigualdad Construcción de problemas aproximados: funciones de barrera: términos en la función objetivo que se comportan como restricción impiden tomar valores fuera de la región factible, y no afectan a los valores en la región factible 3

4 Restricciones de desigualdad Ejemplo: min x x 2 s.a x f (x ) = x 2 x 2 - log(x - 1) x 1 4

5 Restricciones de desigualdad Paso 1. Convertir restricciones: min x f (x ) min x,s f (x ) s.a c (x ) 0 s.a c (x ) - s = 0 s 0 Paso 2. Llevar restricciones a la función objetivo min x f (x ) - i log s i s.a c (x ) - s = 0 5

6 Restricciones de desigualdad Resultado teórico: Sea x * ( ) la solución del problema min x f (x ) - i log s i s.a c (x ) - s = 0, se cumple que lim 0 x * ( ) = x *, donde x * es la solución de min x f (x ) s.a c (x ) 0 6

7 Restricciones de desigualdad Solución del problema modificado: Paso 1. Seleccionar un valor inicial para, por ejemplo, 1 = 1 Paso 2. Tomando como valor inicial x 0 = x * ( s-1 ), resolver el problema min x f (x ) - s i log s i s.a c (x ) - s = 0 7

8 Restricciones de desigualdad Paso 3. Reducir el valor de, por ejemplo, s+1 = 0.1 s y volver al paso 2. El proceso se repite hasta que es del orden del error deseado en la solución Por ejemplo, =

9 Restricciones de desigualdad Precauciones con la función objetivo La función objetivo solo está definida para valores positivos de las variables s i El punto inicial ha de tener s estrictamente positivo La longitud de paso debe asegurar que todos los puntos tengan las s i positivas 9

10 Restricciones de desigualdad Cálculo de la longitud de paso Queremos que el nuevo punto siga siendo positivo S (k+1) = s (k) + k p k > 0 min i {(s (k) ) i + k (p k ) i } > 0 Condición equivalente: k < min{ s i /(-p i ) p i < 0 } k = min{ 1, 0.99 } En caso de tener la restricción x 0, también se aplica esto a las x i 10

11 Restricciones de desigualdad Ejemplo: optimización de cartera min x x T Rx s.a m T x 3.5 e T x = 1 x 0 Datos: e =, m =, R =

12 Restricciones de desigualdad Problema modificado: Problema en forma estándar min x,s x T R x s.a m T x - s = 3.5 e T x = 1 x, s 0 Problema con restricciones de desigualdad min x,s x T R x - ( i log x i + log s ) s.a m T x - s = 3.5 e T x = 1 12

13 Restricciones de desigualdad Paso 0. Sean x 0 = [ ] T, 0 = [0 0] T Tomamos 0 = 0.1 ¿Valor de s 0 ? Positivo Por ejemplo, s 0 = 0.5 > 0 Paso 1.1. ¿Es solución? c (x 0 ) = [ ] T f (x 0 ) + c (x 0 ) T 0 = [ ] T 13

14 Restricciones de desigualdad Paso 1.2. Dirección de movimiento 2 L (x 0, 0 ) c (x 0 ) T d 0 f (x 0 ) - c (x 0 ) T 0 = - c (x 0 ) 0 0 c (x 0 ) d = d 0 = [ ] T, 0 = [ ] T 14

15 Restricciones de desigualdad Paso 1.3. Cálculo de la longitud de paso m (x ) = f (x ) + c (x ), m (x 0 ) = m (x 0 ) = f (x 0 ) + c (x 0 ) T c (x 0 ) / c (x 0 ) = [ ] (0) = m (x 0 ) T d 0 = < 0 Si probamos con = 1, x 0 + d 0 = [ ] T La función objetivo no está definida 15

16 Restricciones de desigualdad Paso 1.3. Cálculo de la longitud de paso Mayor paso admisible: = min{x i /(-p i )| p i < 0} = min{0.5/0.6687, 0.5/2.8593} = = min{1, } Comprobación de la condición: m (x 0 ) = , m (x 0 + p 0 ) = m (x 0 ) + m (x 0 ) T p 0 = > m (x 0 + p 0 ) Aceptamos el paso 16

17 Restricciones de desigualdad Paso 1.4. Nuevo punto: x 1 = x 0 + p 0 = [ ] T 1 = = [ ] T Paso 2.1. ¿Es solución? c (x 1 ) = [ ] T f (x 1 ) + c (x 1 ) T 1 = [ ] T 17

18 Restricciones de desigualdad Programación lineal: min x c T x s.a Ax = b x 0 Transformar el problema: min x c T x - s i log x i s.a Ax = b Aplicar el método de Newton Actualizar s 18

19 19 EJERCICIO Ejercicio optimización con restricciones. x 1 Problema : min f (x ) (1+x 1 2 ) (1+x 2 2 ) s.a x x 2 2 <= 0.8 x >= 0 Punto inicial: x 0 = [ ] T, 0 = 0

20 20 Resultados: ite f || c || || L(x, )|| …. La convergencia es lenta.


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