Los números naturales y sus operaciones Preparado por: Yuli Domínguez. Portal Educa Panamá Matemáticas.

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1 Los números naturales y sus operaciones Preparado por: Yuli Domínguez. Portal Educa Panamá Matemáticas

2 Los números naturales y sus operaciones  Los números naturales son el 1, 2, 3, 4, y los siguientes. Sirven, sobre todo, para ordenar y enumerar los elementos de un conjunto, como, por ejemplo los lápices que hay en un estuche, o el número de libros que contienen una bolsa A cada elemento se le asigna un número, empezando por el 1, y se prosigue con la serie de los naturales hasta que se han enumerado todos los objetivos. El último número asignado representa la cantidad de objetos contados.  El conjunto de números naturales se representan con la letra N y está formado por infinitos elementos, lo que se representa de la siguiente manera: {1, 2, 3, 4,5…}

3 Lectura y escritura de los números naturales  Las unidades se representan con los dígitos o cifras del 1 al 9. Para escribir un número de más de una cifra, se sitúan en su extremo derecho las unidades; a la izquierda de las unidades se encuentran las decenas y, de nuevo a la izquierda, las centenas. Después vienen las unidades de millar, las decenas de millar, las centenas de millar, las unidades de millón, etc. Por ejemplo, el numero 45 782 está compuesto por 4 decenas de millar, 5 unidades de millar, 7 centenas, 8 decenas y 2 unidades.

4 Cada posición representa una magnitud diez veces mayor que la anterior; así pues, una decena son 10 unidades; una centena son 100 unidades, una unidad de millar son 1 000 unidades y una decena de millar son 10 000 unidades.

5  El número diez es el primero compuesto por más de un dígitos: el 1, que ocupa la posición de decenas, y el 0, que ocupa la posición de las unidades. En la escritura ortográfica, así como en la lectura, los números del once al veintinueve se expresan mediante una sola palabra ( >, >). A partir del treinta, el resto de los números hasta la centena se expresan indicando en primer lugar las decenas (treinta, cuarenta, cincuenta, etc.) y luego las unidades, separadas por la conjunción >  Por ejemplo, el 35 se lee >; 78 se lee >, y 93 se lee >.  Los números formados por 3 cifras, se leen indicando primero las centena, después las decenas y por ultimo las unidades. Así, 100 se lee >, 200 se lee >; 300 se lee >, etc. El número 458, por ejemplo, se expresa como >.

6 En los números de 4 cifras, primero se indica el número de unidades de millar seguido de la palabra >. A continuación, centenas, decenas y unidades se expresan tal y como se ha indicado: 1 000 se expresa como > 2 000 se expresa como >, etc. El numero 8 743, por ejemplo, se expresa como ‘ocho mil setecientos cuarenta y tres’’. Para más de 4 cifras, los números se nombran en grupos de hasta tres, como si se tratara de centenas, decenas o unidades tras lo que se cita el orden de magnitud (miles, millones, etc.) el número 14 000 se expresa como > y 6 000 000 seria ‘’ seis millones’’. Para el caso de los miles de millones, también se emplea el término >. Así, la cifra 10 000 000 000 se expresa como > Tal y como se puede observar, la lectura de los números se efectúa empezando por la izquierda, hasta llegar a las unidades.

7 Ubicación en la recta numérica  Los números naturales se pueden representar gráficamente mediante la denominada recta numérica, una línea sobre la que se sitúan los puntos correspondientes a los números naturales. Para dibujar una recta numérica se traza, en primer lugar, una línea recta y en ella se marca un punto de origen, que representa el cero. A la derecha del cero se hacen distintas señales, siempre separadas de la misma distancia. En la primera señal a la derecha del cero se escribe >, en la segunda señal, >, en la siguiente >, y así sucesivamente hasta el valor que se quiera. El resultado se muestra en el siguiente dibujo:

8 En la recta numérica es posible ubicar cualquier número, aunque para los muy grandes puede ser conveniente para cada señal representante, Por ejemplo, 5 unidades. En tal caso, sobre las marcas se escriben las series 5, 10, 15, 20, 25…De dos números situados sobre la recta numérica, el que quede a la derecha será el mayor y el que quede a la izquierda, el menor.

9 Orden y comparación  Los números naturales están ordenados, es decir, si dos números naturales son diferentes, uno de ellos ha de der necesariamente mayor que el otro. En matemáticas, la relación de orden se expresa mediante los símbolos, >>, que se lee >, y >, >.  Comparar dos números naturales consiste en determinar cuál de ellos es el mayor y cual el menor.

10 UUna forma de comparar tres o más números naturales consiste en situarlos sobre la recta numérica: uno será mayor que el otro si aparece más a la derecha. SSegún este procedimiento, si se quiere comparar el 4, el 2 y el 9, primero se dibuja una recta numérica, en la que se ubican los tres números haciendo una señal en ellos, del siguiente modo: AA partir este dibujo se pueden establecer varias comparaciones. En primer lugar, 9 > 4, por la misma razón, puede escribirse 4 < 9. Luego, se tiene que 2 < 4, porque el numero 2 está más a la izquierda que 4; esta comparación equivale a decir que 4 >2. Por último, se deduce que 2 <, o lo que es lo mismo.

11 Operaciones con Naturales Sumar significa unir, juntar o añadir. La operación de las sumas se define como la reunión de varias cantidades en una sola. También reciben el nombre de adición, y se representa mediante el símbolo >, que se lee >. Para indicar que se quiere sumar, por ejemplo, 2 y 5 de escribe >. Los números que se suman se denominan sumandos. Para sumar dos o más números se escriben uno bajo el otro, teniendo en cuenta que las unidades queden alineadas con las unidades, Las decenas con las decenas, etc. Por ejemplo: Esta operación y su resultado también pueden escribirse horizontalmente, del siguiente modo: 471 + 558 = 1 029

12 Propiedades de la suma La suma de números naturales es una operación interna que cumple las propiedades conmutativas y asociativas, y que tiene un elemento neutro.  Se dice que es una operación interna por que la suma de dos o más números naturales es siempre otro natural. Siempre que se sumen varios números naturales, como 9 y 12, el resultado será otro número natural, en este caso, 21.  Según la propiedad conmutativa, no importa el orden en el que se sumen dos números naturales, ya que el resultado será el mismo. Por ejemplo, si se suman 5 + 7= 12 El resultado es el mismo si se intercambia los valores y se suma: 7 + 5 = 12 Esta propiedad es válida para todos los números naturales, Generalizando, la propiedad conmutativa se expresa con letras en letras en lugar de números, mediante la siguiente igualdad: A + b = b+ a En esta expresión, a y b representan cualquier número natural.

13 La propiedad asociativa  Se aplica al sumar tres o más números. En estos casos, primero se sumandos de ellos, y después, el tercero se suma al resultado obtenido.Según esta propiedad, es indiferente que números se sumen en primer lugar, porque el resultado será el mismo. Por ejemplo, si se suman 2, 3 y 4, se puede proceder de dos maneras distintas. En la primera, se suma 2 + 3, que es igual a 5, y a este resultado se le añade 4, para obtener el resultado final, 9.

14 La otra posibilidad es sumar primero 3 4, que dan 7, para añadir por último el 2 a 7, y la solución es otra vez 9. De forma general, la propiedad asociativa se expresa mediante la siguiente igualdad: A + (b + c) = (a +b) + c La operación que se encuentra ente paréntesis se debe efectuar en primer lugar. Las letras a, b y c representan cualquier numero natural.  Que exista un elemento neutro quiere decir que hay un valor que sumando a cualquier número, no lo modifica. En la suma de naturales, el elemento neutro es el cero, porque todo número que se sume a cero permanece igual. Por ejemplo, si una suma 5 + 0 el resultado sigue siendo 5.

15 Sustracción o resta  Restar significa quitar una parte a todo. La operación de resta se define como la diferencia entre dos números, y es la operación inversa a la suma. El signo que se utiliza para restar es > que se lee>>  > y se coloca entre dos cantidades. La primera de ellas se denomina minuendo y la segunda, sustraendo.  Para restar hay que colocar los números alineando las unidades, las decenas con las decenas y las centenas con las centenas. En cada columna se tiene que contar la diferencia que existe entre los dos números y escribirla debajo de las líneas horizontales.

16  En el ejemplo, las decena del sustraendo son mayores que las del minuendo; en tal caso, se resta como si en el minuendo hubiera una decena más, y a la siguiente columna (la de las centenas) se le añade una unidad al sustraendo a diferencia de la suma, la resta no es una operación interna, ni cumple las propiedades conmutativa ni asociativa. En cambio, el cero es también el elemento neutro de la resta, porque restando de cualquier valor lo deja igual.

17 Supresión de paréntesis, corchetes y llaves Dada la expresión: 17 - {6 + 3 – (- 7 + 3 + (- 3 + 8 – 5) + 6 -1) + 6} + 3 U otras similares, denominadas sumas algebraicas, pueden suprimirse paréntesis, corchetes ( [ ] ) Y las llaves ({ }), solo con tener en cuenta las reglas siguientes:  Cuando el paréntesis, corchete o llave esta esta precedido por el signo (+) puede suprimirse, los términos que encerraba conservan sus signos correspondientes.  Cuando el paréntesis, corchete o llave esta precedido por el signo menos (-) puede suprimirse, pero deben cambiar los signos de los términos que continúan, los (+) por (-), y viceversa.  Las operaciones anteriores deben realizarse en orden, empezando con paréntesis, luego corchetes, las llaves. Dicho de otro modo, se suprimen en primer lugar los agrupadores más internos, y se sigue hacia lo más externos.  En el caso se las suma algebraica inicial, el paréntesis esta precedido el signo +, por lo que cambian los signos de los términos que encierra. Se puede suprimir y resulta: 17 - {6 + 3 – (-7 + 3 – 3 + 8 – 5 + 6 – 1) + 6} +3

18 El corchete esta precedido del signo -, por lo que, al eliminarlo, cambian los signos de todos los números que contiene, y queda: 17 – {6 + 3 + 7 – 3 + 3 – 8 + 5 – 6 + 1 + 6} + 3 La llave va precedida del signo -.por lo que de nuevo deben cambiarse los signos al eliminarla. 17 – 6 – 3 – 7 + 3 – 3 + 8 – 5 +6 – 1 – 6 + 3 Ahora ya se puede operar. Se suman los números positivos por un lado y los negativos por otro lado. La suma de los números positivo es: 17 + 3 + 8 + 6 + 3 = 37 La suma de los números negativos es: 6 + 3 + 7+ 3 + 5 + 1 + 6 = 31 Por lo último, la suma de los negativos se resta de los positivos, y se obtiene el resultado final: 37 - 31 = 6 El corchete esta precedido del signo -, por lo que, al eliminarlo, cambian los signos de todos los números que contiene, y queda: 17 – {6 + 3 + 7 – 3 + 3 – 8 + 5 – 6 + 1 + 6} + 3 La llave va precedida del signo -.por lo que de nuevo deben cambiarse los signos al eliminarla. 17 – 6 – 3 – 7 + 3 – 3 + 8 – 5 +6 – 1 – 6 + 3 Ahora ya se puede operar. Se suman los números positivos por un lado y los negativos por otro lado. La suma de los números positivo es: 17 + 3 + 8 + 6 + 3 = 37 La suma de los números negativos es: 6 + 3 + 7+ 3 + 5 + 1 + 6 = 31 Por lo último, la suma de los negativos se resta de los positivos, y se obtiene el resultado final: 37 - 31 = 6

19 La multiplicación La operación de multiplicar se representa por el signo >, que se lee >. Con el doble propósito de simplificar, por un lado, y el de evitar confusiones con expresiones algebraicas, por el otro lado, el signo en forma de aspa se sustituye a menudo por un punto > En esta obra se empleará por lo general este segundo símbolo. La multiplicaciones una suma de varios sumandos iguales. Por ejemplo, si se suma 3 veces el número 4, la solución es 4 + 4 + 4 = 12. El número repetido recibe el nombre de multiplicando, mientras que las veces que se encuentra repetido se le denomina multiplicador. En forma de multiplicación, la operación anterior se escribe 3 x 4 = 12. El multiplicando y el multiplicador también se le denomina factores, y el resultado de la operación, producto. Por ejemplo, si se multiplica 459 por 34, resulta:

20  En la primera fila bajo los factores se escribe el resultado de multiplicar el multiplicando por las unidades del multiplicador, y en la segunda, el de multiplicando por las decenas del multiplicador, con la precaución de dejar un espacio en blanco a la derecha. El resultado final se obtiene al sumar los dos resultados parciales, tal y como han quedado alineados.  Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros hay que añadir tantos ceros al final del número como ceros acompañan a la unidad. Por ejemplo si se multiplica 4 x 100, se le añaden a la derecha del número 4 dos ceros, de modo que la solución es 400. Si se multiplica 34 x 1 000, la solución es 34 000, porque se añaden tres ceros a la derecha del 34. 

21 Propiedades de la multiplicación La multiplicación de números naturales es una operación interna que cumple las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva respecto de la suma, y que tiene un elemento neutro.  La multiplicación es una operación interna por que el resultado de multiplicar dos números naturales siempre es otro número natural. Si se multiplican, por ejemplo, 6 y 12, el resultado, 72, también es un numero natural.  Gracias a la propiedad conmutativa, de la misma manera que ocurría en la suma, el orden en el que se multiplican dos factores no altera el producto. Esto significa que tanto si se multiplica, por ejemplo, 5 x 6 como 6 x 5, el resultado es 30. De forma general, esta propiedad se escribe del siguiente modo: a x b = b x a donde a y b representan cualquier numero natural.

22  La propiedad asociativa permite que, si quieren multiplicar tres o más números naturales, no importe el orden en el que se efectué las operaciones, pues no afecta el resultado. Si se multiplica, por ejemplo, 3 x 5 x 2 Se puede comenzar multiplicando dos números cuales quiera de los 3, por ejemplo, 3 x 5 = 15. El resultado se multiplica, entonces, por 2 y la solución es, por tanto: 15 x 2 = 30 Si se multiplica en primer lugar 5 x 2= 10, y luego se multiplica este resultado por 3 tal y como sigue: 10 x 3 = 30 El resultado vuelve a ser el mismo. Esta propiedad se representa de forma algebraica, es decir, se generaliza, del siguiente modo: a + b = b x a Donde las letras a y b representan cualquier número natural.

23 El elemento neutro  En la multiplicación es el 1, porque al multiplicar cualquier número por 1, su valor no cambia: por ejemplo, 7 x 1 = 7. También se denomina elemento unidad. Al multiplicar un valor por cero no se mantiene el mismo valor, sino que el resultado es siempre cero. Por este motivo, el cero respecto de la multiplicación se conoce como elemento adsorbente.

24 Por la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma Se puede convertir el producto de una suma en la suma de dos productos, y viceversa. La generalización algebraica de esta propiedad, para tres números naturales cuales quiera a, b y c se expresa de la siguiente forma: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) Por ejemplo, para hacer la operación: 5 x (2 + 4)

25 Se puede convertir en una suma, multiplicando, el 5 por cada uno de los sumandos, es decir, se multiplica 5 x 2 y 5 x 4, según igualdad: 5 x (2 + 4) = (5 x 2) + (5 x 4) Su solución es: (5 x 2) + (5 + 4) = 10 + 20 = 30 Para comprobar que se ha resuelto correctamente el ejemplo, se puede hacer la misma operación de otra manera, efectuando primero la suma que hay entre paréntesis: 2 + 4 = 6. Así pues: 5 x (2 +4) = 5 x 6 = 30

26 El resultado es el mismo que al aplicar la propiedad distributiva. Una operación relacionada con la propiedad distributiva es la que denomina sacar factor común, y supone convertir una suma en una multiplicación. Para sacar factor común, en primer lugar hay que averiguar los factores que están compuestos cada uno de los términos de la suma. Por ejemplo, para convertir la suma 6 + 15 en una multiplicación, primero se convierte Cada uno de los sumandos en los productos de una multiplicación. En este caso, 6 es igual a 2 x 3, mientras que 15 es igual a 3 x 5. Por tanto: 6 + 15 = (2 x 3) + (3 x 5)

27 En ambos productos aparece el número 3, que se convertirá en el factor común (es decir, en el número que multiplica a todo el paréntesis) Los otros dos números se escriben sumados dentro del paréntesis. El resultado es, pues: 6 + 15 = (2 x 3) + (3 x 5) = 3 x (2+5)

28 La división La división es la operación inversa a la multiplicación. Dividir significa repartir, si por ejemplo, cuatro amigos se quieren repartir 8 caramelos, se tiene que efectuar una división para saber cuántos tocaran a cada uno. Se utiliza, para ello, el signo > o bien >, Se leen como dividido por.A menudo las divisiones se escriben también mediante una fracción como por ejemplo 8 para simplificar, esta expresión 4 También se escribe como: 8/4. En la división se distinguen las siguientes partes: dividiendo, divisor, cociente y resto.

29 Si se tiene en cuenta que el dividendo se representa con la letra, el divisor con la d, el cociente con c y el resto con r, se pueden establecer varias igualdades. En primer lugar: D = d x c + r El significado de esta expresión que el dividendo es igual que el divisor por el cociente, más el resto. En la división del ejemplo, el dividendo es 8; el divisor es, 4; el cociente 2, y el resto, 0. Por lo tanto: 8 = 2 x 4 + 0

30 Otra igualdad importante, aunque solo se puede aplicar a aquellas divisiones que son exactas (Es decir, cuyo resto es igual a cero) es la siguiente: d = D c En el ejemplo, se tiene que d = 4; D = 8 y c = 2, y en consecuencia: 4 = 8 2

31 Propiedades de la división Las propiedades de la división son las siguientes: Por la propiedad distributiva de la división respecto a la suma, una división de varios sumandos entre un numero natural se puede transformar en una suma, en la que cada uno de los sumandos es el cociente de una división. Por ejemplo, en la siguiente operación: (4 + 6) ÷ 2 Se divide cada uno de los sumandos entre dos: (4 ÷ 2) + (6 ÷ 2) Como 4 ÷ 2 = 2 y 6 ÷ 2 = 3, ambos resultados se pueden sustituir, por lo que la suma queda: 2 + 3 = 5

32 Escrita la forma algebraica, la propiedad distributiva dice así: (a + b) ÷ n = (a ÷n) + (b ÷n)  Si se divide un producto por un número, en este caso solo será necesario dividir uno de ellos. Por ejemplo, para dividir : (5 x 4) ÷ 2 Se divide solo un número, del siguiente modo: 5 x (4 ÷ 2) Como 4 ÷ 2 = 2, el resultado de la operación es: 5 x 2 = 10.