@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS1 INFERENCIA ESTADÍSTICA U.D. 14 * 2º BCS.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS1 INFERENCIA ESTADÍSTICA U.D. 14 * 2º BCS

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS2 INFERENCIA EN LA PROPORCIÓN U.D. 14.4 * 2º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS3 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES En una población la proporción de elementos (personas, animales, cosas o entes) que posee una cierta característica es p. En una población de 1000000 habitantes el 20% contrae una determinada enfermedad. O sea p=0,20 es la proporción de gente enferma. Si tomamos una muestra de 1000 habitantes, la proporción pr de gente enferma es del 17%, o sea pr=de 0,17. Si tomamos otra muestra de 1000 habitantes, la proporción pr de gente enferma es del 21%, o sea pr=de 0,21. Si tomamos otra muestra de 1000 habitantes, la proporción pr de gente enferma es del 23%, o sea pr=de 0,23. En cada una de las muestras habrá una proporción, pr, de gente que reúne dicha característica (estar enferma) distinta. ¿Cómo se distribuyen todos los posibles valores de pr?. Pues bien, los elementos con dicha característica en las muestras de tamaño n sigue una distribución normal de media p y desviación típica √(p.q/n). Es decir: N (p, √(p.q/n) )

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS4 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES Sea x el nº de elementos de la muestra que posee cierta característica. x es la Binomial B(n, p) Siendo p la probabilidad de que se posea la característica. q=(1 – p) será la probabilidad de que no se posea la característica Si n.p ≥ 5 y n.q ≥ 5 podemos considerar una buena aproximación a la normal. Esta aproximación es mejor cuanto mayor sea n y p esté lo más próximo a 0,5. Lo que debemos de estimar es qué proporción p de esta población tiene o no tiene la característica.

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS5 EJEMPLO_1 El porcentaje de individuos que contraen una determinada enfermedad es del 20%. Consideramos una muestra de 1000 individuos. ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos el 21% de los individuos, tengan dicha enfermedad? Resolución: Tenemos n=1000 y p=0,2  Hallamos q = 1 – p = 0,8 La variable aleatoria P de las proporciones muestrales se aproxima a una normal N(p, √(pq/n) = N( 0’2, √(0,2.0,8/1000) = N(0’2, 0’0126) 0’21 – 0’2 Luego P(pr ≥ 0,21) = P(Z ≥ -------------- ) = 1 - P(Z ≥ 0,79) = 0,2148 0’0126 Además podemos afirmar que es una buena aproximación, pues: 0’2.1000 = 200 > 5 y 0,8.1000 = 800 > 5

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS6 EJEMPLO_2 Una máquina produce tornillos. Se sabe que el 3% de ellos son defectuosos. Se embalan en cajas de 500. a)¿Cómo se distribuye la proporción pr de tornillos defectuosos en las cajas? b)Encontrar un intervalo en el cual se encuentre el 90% de las proporciones de tornillos defectuosos. Resolución: Tenemos que la proporción, p, de tornillos defectuosos es p=0,03 Cada caja es una muestra de 500 tornillos, luego n=500 Hallamos q = 1 – p = 0,97 Media: p=0,03 Desviación típica: σ = √(pq/n) = √(0,03.0,97/500) =0,0076 Será la normal N(0’03, 0’0076) Una probabilidad del 90% significa: 1 – α = 0,9  α/2 = 0,05  z α/2 = 1,645 El intervalo correspondiente es: (0,03 – 1,645. 0,0076, 0,03 + 1,645. 0,0076) = (0,0275, 0,0425) El 90% de las cajas tiene una proporción de tornillos defectuosos entre 2,75% y 4,25%.

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS7 EJEMPLO_3 Supongamos que el 25% de los alumnos del instituto son de pueblos, y que todos los grupos son de 30 alumnos. a)¿Cómo se distribuye la proporción pr de alumnos de pueblos en las clases? b)Encontrar un intervalo en el cual se encuentre el 99% de las proporciones de dichos alumnos. Resolución: Tenemos que la proporción, p, de alumnos de pueblos p=0,25 Cada grupo es una muestra de 30 alumnos, luego n=30 Hallamos q = 1 – p = 0,75 Media: p=0,25 Desviación típica: σ = √(pq/n) = √(0,25.0,75/30) =0,0790 Será la normal N(0’25, 0’0790) Una probabilidad del 99% significa: 1 – α = 0,99  α/2 = 0,005  z α/2 = 2,575 El intervalo correspondiente es: (0,25 – 2,575. 0,0790, 0,25 + 2,575. 0,0790) = (0,0466, 0,4534) El 99% de las clases tiene una proporción de alumnos de pueblos entre el 4,66% y el 45,34%.