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UNIDAD I. En el gran premio de F1 de España en 2008, los autos de Fernando Alonso y Kimi Raikkonen están uno al lado del otro al inicio de la carrera,

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Presentación del tema: "UNIDAD I. En el gran premio de F1 de España en 2008, los autos de Fernando Alonso y Kimi Raikkonen están uno al lado del otro al inicio de la carrera,"— Transcripción de la presentación:

1 UNIDAD I

2 En el gran premio de F1 de España en 2008, los autos de Fernando Alonso y Kimi Raikkonen están uno al lado del otro al inicio de la carrera, la velocidad del auto conducido por Kimi Raikkonen se denota por (Vr) mientras que la velocidad el auto conducido por Fernando Alonso se denota por (Va). En la siguiente tabla se observan las velocidades de cada vehículo durante los primeros 10 segundos. ¿cuántos metros aventaja el auto de Fernando Alonso al de Kimi Raikkonen después de 10 segundos? t(s) Vr Va

3 Para poder resolver éste problema, necesitamos conocer: 1) La fórmula de la velocidad 2) La fórmula de la distancia 3) ¿La velocidad cambia si la expresión está dada en km/h o m/s? 4) Cómo se representa en un plano el tiempo y la velocidad? 5) Menciona algunas figuras geométricas que expresen área 6) ¿Cuál es la fórmula de cada una de ellas? 7) ¿Habrá una herramienta matemática que solucione el problema? 8) ¿El resultado obtenido es exacto?

4 Iremos contestando éstas preguntas poco a poco. 1) La fórmula de la velocidad es v = d/t, su unidad de medida principal es m/s. 2) Despejando la distancia de la fórmula de la velocidad encontramos que d = (v)(t) 3) Si convertimos la velocidad de km/h a m/s, no cambia la velocidad, lo que cambia es la expresión y la magnitud. 4) El tiempo se representa en el eje de las abscisas y la velocidad en el eje de las ordenadas. 5) Algunas figuras geométricas que expresen área pueden ser: círculo, triángulo, rectángulo, cuadrado, trapecio, etc. 6) La fórmula de cada una de las figuras anteriores es: πr2, b(h)/2; b(h); l(l); (B+b)(h)/2; respectivamente. Las dos últimas las dejaremos para después.

5 Lo primero que necesitamos hacer es: convertir las velocidades de km/h a m/s Para convertir se hace así: 30km 1000 m 1 h = m h 1 km 3600 s 3600 s = 8.3 m/s Lo mismo se hace en los demás casos. v (km/h) v (m/s) T(S)Kimi RFernando A.Kimi RFernando A ,39, ,316, ,821, ,225, ,529, ,833, ,935, ,838, ,640, ,842,5

6 Grafiquemos por separado el tiempo vs la velocidad de cada uno de ellos.

7 El tema 1.1 es área bajo la curva ¿Qué relación tiene el área bajo la curva con respecto a la distancia de ventaja de los corredores? Si nos regresamos a la pregunta #2 y la relacionamos con la respuesta de la pregunta #6, notaremos que el área de un rectángulo es semejante en cuanto a la forma de representarlo. Observa: d = v(t) A = b(h) Esto nos lleva a concluir que si conocemos el área bajo la curva, entonces podremos conocer la distancia que recorrió cada uno de ellos. v….. t h…. b

8 Pero, ¿Cómo calcular el área bajo la curva, sino es una figura regular? No te preocupes, no es difícil, lo que tenemos que hacer es dividir el área bajo la curva con figuras geométricas que conoscas. ¿Cuál crees que sea la figura geométrica más adecuada para cubrir el área? si usamos el círculo nos quedarían muchos espacios vacíos. Su utilizamos el triángulo nos complicaríamos con la ley de los senos y los cosenos en los lugares donde no se pueda aplicar el triángulo rectángulo. Correcto, el más sencillo para trabajar es el rectángulo. Observa:

9 Ahora, calcula el área de cada uno de los rectángulos. Recuerda: Área = b(h) pero la base es el tiempo y la altura es la velocidad, => A= t(v) = distancia. ÁreaCálculounidades 18,3m 213,3m 315,8m 419,2m 522,5m 625,8m 728,9m 830,8m 933,6m Total198,3m A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 ¿Éste resultado es exacto? Justifica. No, porque la distancia recorrida por Kimi R. es TODA el área bajo la curva y faltan espacios.

10 Haremos lo mismo que hicimos que con Kimi Raikkonen. Sucede lo mismo; la distancia no es TODA la recorrida por Fernando Alonso. A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 ÁreaCálculounidades 19,2m 216,1m 321,7m 425,6m 529,4m 633,3m 735,8m 838,9m 940,8m Total250,8m

11 La ventaja que tiene Fernando Alonso con respecto a Kimi Raikkonen es: Ventaja = distancia Fernando A. – distancia Kimi R. V = m – m = 52.5 metros Pero podemos concluir que el resultado no es exacto debido a todas las superficies que se pierden al colocar los rectángulos.

12 ¿Qué sucede si volvemos a hacer lo mismo, pero ahora la base de los rectángulos mide 0.5 segundos? A2A2 A4A4 A6A6 A8A8 A10A10 A12A12 A14A14 A16A16 A18A18 A1A1 A3A3 A5A5 A7A7 A9A9 A11A11 A13A13 A15A15 A17A17 A19A19 A2A2 A4A4 A6A6 A8A8 A10A10 A12A12 A14A14 A16A16 A18A18 A3A3 A5A5 a1a1 A7A7 A9A9 A11A11 A13A13 A15A15 A17A17 A19A19 La distancia recorrida por Kimi Raikkonen es de: d = metros La distancia recorrida por Fernando Alonso es de: d = metros Ventaja : 55.6 metros

13 Tablas para calcular el área con 0.5 segundos de base Área bajo la curva de Kimi Raikkonen Rect áng ulo Altura del rectán gulo Área Rect áng ulo Altura del rectáng ulo Área 13,81,901125,212,60 28,34,151225,812,90 310,75,351328,114,05 413,36,651428,914,45 514,47,201530,515,25 615,87,901630,815,40 718,19,051732,616,30 819,29,601833,616,80 921,310,651935,517, ,511,25 TOTAL 209,20 Área bajo la curva de Fernando Alonso Rec tán gul o Altura del rectán gulo Área Rec tán gul o Altura del rectán gulo Área 1 4,22, ,915,95 2 9,34, ,516, ,56, ,617,8 4 16,28, ,69, ,818,9 6 21,810, ,119, ,911, ,720, ,812, ,421,2 9 27,913, ,821, ,614,8 total 264,8

14 Ahora, volveremos a hacer lo mismo pero los rectángulos los colocaremos por arriba de la curva.. A1 A2 A3 A5 A4 A6 A7 A8 A9 A 10 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A 10 La distancia recorrida por Kimi Raikkonen es de: d = 234 metros La distancia recorrida por Fernando Alonso es de: d = metros Ventaja = 65,1 metros

15 Tablas para calcular el área con rectángulos por arriba de la curva con base de 1 segundo Distancia de Kimi Raikkonen RectángulohA = d 1 8,3 2 13,3 3 15,8 4 19,2 5 22,5 6 25,8 7 28,9 8 30,8 9 33, ,8 Total 234 Distancia de Fernando Alonso RectángulohA = d 1 9,2 2 16,1 3 21,7 4 25,6 5 29,4 6 34,4 7 36,9 8 39,7 9 41, ,2 Total 299,1 Ventaja = 65,1 metros

16 Distancia recorrida por K. R. con base de o.5 seg Rectán gulo hA = d Rectán gulo hA = d 1 2,51, ,812,9 2 6,73, ,613,3 3 10,75, ,914,5 4 12,56, ,714,9 5 14,77, ,815,4 6 15,87, ,116,1 7 17,48, ,616,8 8 19,29, ,717,4 9 22,511, ,817, ,311, ,118,6 Total 230,2 Tablas para calcular el área con rectángulos por arriba de la curva con base de 0.5 segundo Distancia recorrida por F. A. con base de o.5 seg Rectán gulo hA = d Rectán gulo hA = d 1 4,22, ,0 2 9,24, ,417,2 3 12,76, ,317,7 4 16,18, ,918,5 5 19,39, ,618,8 6 21,710, ,719,9 7 24,512, ,320,7 8 25,612, ,921,0 9 28,114, ,721, ,414, ,222,1 Total 288,4 Ventaja = 58,2 metros

17 Gráficas de distancia con 0,5 seg de base La ventaja de Fernando Alonso con respecto a Kimi Raikkonen es de: 58.2 metros A1A1 A3A3 A5A5 A9A9 A7A7 A11A11 A13A13 A15A15 A17A17 A19A19 A2A2 A4A4 A6A6 A10A10 A8A8 A12A12 A14A14 A16A16 A18A18 A20A20 A1A1 A3A3 A5A5 A7A7 A9A9 A11A11 A13A13 A15A15 A17A17 A19A19 A2A2 A4A4 A6A6 A8A8 A10A10 A12A12 A14A14 A16A16 A18A18 A20A20

18 Resumen Analicemos los resultados que nos arrojaron las gráficas: Primer caso. Ventaja = 52.5 metros Rectángulos tienen un segundo de base. Ventaja = 55.6 metros Rectángulos tienen 0.5 segundos de base. CONCLUSIÓN: Al observar los resultados y el procedimiento que me llevó a ellos, se concluye que mientras más pequeña sea la base del rectángulo, mayor será la aproximación a la ventaja exacta. Segundo caso: Ventaja = 64.1 metros La base mide 1 segundo. Ventaja = 58.2 metros La base mide 0.5 segundos CONCLUSIÓN: En éste caso, la ventaja comienza a disminuir cuando la base de los rectángulos disminuye, si se sigue disminuyendo la base, la ventaja se aproximará a la exacta. CONCLUSIÓN FINAL: Analizando ambos casos, llegamos a la conclusión de que la ventaja exacta se encuentra entre 55.6 metros y 58.2 metros; es decir: 55.6 < Ventaja exacta < 58.2


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