MÁXIMO COMÚN DIVISOR  En matemáticas, se define el máximo común divisor(MCD) de dos o más números enteros al mayor número entero que los divide sin dejar.

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1 MÁXIMO COMÚN DIVISOR  En matemáticas, se define el máximo común divisor(MCD) de dos o más números enteros al mayor número entero que los divide sin dejar resto

2 PRECISIONES  Si a y b son números enteros distintos de cero y si el número c es de modo que c|a y a su vez c|b, a este número c se denomina divisor común de los números a y b.1 Obsérvese que dos números enteros cualesquiera tienen divisores comunes. Cuando existen, únicamente, como divisores comunes 1 y -1 de los números a y b, estos se llaman primos entre sí.  Un número entero d se llama máximo común divisor (MCD) de los números a y b cuando:  d es divisor común de los números a y b y  d es divisible por cualquier otro divisor común de los números a y b.

3 EJEMPLO  12 es el mcd de 36 y 60. Pues 12|36 y 12|60; a su vez 12 es divisible por 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y -12 que son divisores comunes de 36 y 60.2

4  El máximo común divisor (MCD) de dos o más número natural o enteros (no números con decimales) es el número más grande que les divide.  Para descubrir cuáles son los números que les divide existen dos formas: la forma larga y la forma corta. Esto lo explicaremos a través de un ejemplo. Ejemplo:

5  Forma larga  Máximo común divisor (MCD) de 10 y 20:  Divisor de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.  Divisor de 10: 1, 2, 5 y 10.

6  Una vez sabido que los divisores de 10 y de 20 son:  Divisor de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.  Divisor de 10: 1, 2, 5 y 10.  Vamos a ver cuáles son los números que coinciden que son:  Divisor de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20

7 Para número más grandes es más fácil hacer una descomposición en factores primos. Esta descomposición la empezamos siempre con el número más pequeño divisible del número que analizamos. Por ejemplo, para descubrir el máximo común divisor de 40 y 60. Escribimos el número que vamos a descomponer a la derecha (en este caso el 40) y seguidamente trazamos una recta vertical. Será detrás de esta donde colocaremos los factores primos empezando por el más pequeño. Haremos lo mismo con el 60.

8  En este paso hemos dividido 40:2=20. Ahora buscaremos el mínimo divisor de 20 que es 2 y hacemos lo mismo 20:2= 10. Y seguiremos haciendo lo mismo con todos los anteriores.

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10 MÁXIMO COMÚN MÚLTIPLO  En matemáticas, el mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m), de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo común de todos ellos (o el ínfimo del conjunto de los múltiplos comunes). Este concepto ha estado ligado históricamente con números naturales, pero se puede usar para enteros negativos o enteros gaussianos.

11 CALCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO  Partiendo de 2 o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar todos los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será

12 PROPIEDADES BÁSICAS  Si a es un entero, entonces [a, a] = a  Cuando a y b son enteros, [a, b] = b si, sólo si b es múltiplo de a.  (a,b) = [a,b] si son iguales u opuestos.  [a, b] = [ab] si, sólo si (a,b)= 1  [a/d, b/d] = [m/a, m/b] donde m = mcm y d = mcd.2  [ma,b]= m[a,b] si ([a,b]/a,m) = 13  [a,b,c]= [[a,b], [b,c]]  [a, b, c]|abc, donde abc ≠ 0  [a,b,c] = abc (a,b,c)/(a,b)(b,c)(c,d)4

13 APLICACIONES  El mcm se puede emplear para sumar o restar fracciones de distinto denominador, tomando el mcm de los denominadores de las fracciones, y convirtiéndolas en fracciones equivalentes que puedan ser sumadas. Véase el siguiente ejemplo: