@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 PROBABILIDAD U. D. 13 * 4º ESO E. AC.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 PROBABILIDAD U. D. 13 * 4º ESO E. AC.

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.2 PERMUTACIONES U. D. 13.2 * 4º ESO E. AC.

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.3 De m elementos tomados de m en m, son los diferentes grupos que con ellos se pueden formar, de modo que, entrando todos ellos en cada grupo, un grupo se diferencie de los demás en el orden de colocación de los elementos. PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN P = m! m Lista de todos los alumnos de una clase Colocar los libros en una estantería Maneras de colocarse unas personas alrededor de una mesa PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.4 Se llama factorial de un número entero y positivo n, al producto de n factores consecutivos, que comienzan en la unidad y terminan en n. 2! = 1.2 = 2 3! = 1.2.3 = 6 4! = 1.2.3.4 = 24 5! = 1.2.3.4.5 = 120 Los símbolos 1! y 0! no tienen significado por si mismos, pero por convenio (y sobre todo por funcionamiento práctico) su valor es 1. Todo número factorial se puede descomponer en factores. Ello es muy práctico en la simplificación de operaciones. Así: 8! = 8.7.5.4!, 13! = 13.12.11.10.9!, 110! = 110.109.108! 13! / 8! = 13.12.11.10.9.8! /8! = 13.12.11.10.9 110! / 108! = 110.109.108! / 108! = 110. 109 Etc Factorial de un número

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.5 EJEMPLO 1 Con las letras de la palabra AMOR, ¿cuántas palabras de cuatro letras distintas se pueden formar? Si compongo una palabra al azar, ¿qué probabilidad hay de que comience con la letra M? Resolución: Importa el orden de colocación, se cogen todas las letras y deben ser letras distintas… Luego son permutaciones ordinarias P 4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 Al componer al azar la palabra, la letra M ya es fija, está condicionada. P 3 = 3! = 3.2.1 = 6 formas de colocar al azar las otras tres letras. Probabilidad por Laplace: P = Cf/Cp = 6 / 24 = ¼ = 0,25 = 25% EJERCICIOS

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.6 EJEMPLO 2 Con los seis alumnos de la clase, ¿de cuantas formas diferentes les puedo ordenar en una lista? Si realizo la lista al azar, qué probabilidad hay de que Luis esté el primero y Ana la última?. Resolución: Importa el orden de colocación, se cogen todos y serías absurdo repetir alguno de ellos… Luego son permutaciones ordinarias P 6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 manera distintas de ordenarlos. Al componer al azar la lista, los dos nombres ocupan posiciones ya fijadas de antemano, luego no pueden combinarse más. P 4 = 4! = 4·3.2.1 = 24 formas de colocar al azar a los otros cuatro. Probabilidad por Laplace: P = Cf/Cp = 24/ 720 = 0,03333 = 3,33% EJERCICIOS

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.7 EJEMPLO 3 Con los seis alumnos de la clase, ¿de cuantas formas diferentes les puedo ordenar en clase, si dispongo de 24 pupitres? Resolución: Importa el orden de colocación, debo elegir 6 de los 24 pupitres, y no puedo sentar a dos alumnos en el mismo pupitre (no hay repetición )… Luego son variaciones ordinarias V 24,6 = 24! / (24-6)! = 24. 23. 22. 21. 20. 19 = 96.909.120 Importante: No puedo ordenar los 6 alumnos tomados de 24 en 24. Hay que razonar y ver el problema desde los pupitres. Debo elegir 6 pupitres, uno para cada alumno. EJERCICIOS

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.10 EJEMPLO 3 En una carrera ciclista participan 4 equipos, con 7, 6, 5 y 4 corredores respectivamente. ¿De cuántas formas diferentes pueden llegar a la meta los 22 corredores si sólo me importan los equipos?. ¿Qué probabilidad hay de que mi equipo, con 4 corredores, sea el ganador?. Resolución: Importa el orden de colocación, se cogen todos los corredores, pero hay repetición de corredores al haber sólo 4 equipos. Luego son permutaciones con repetición. P 22 7, 6, 5, 4 = 22! / 7!·6!·5!·4! = 107.550.162.720 formas Fijado el primero, las formas de llegar a la meta de los restantes será: P 21 7, 6, 5, 3 = 21! / 7!·6!·5!·3! = 19.554.575.040 formas Probabilidad por Laplace: P = Cf/Cp = 19.554.575.040 / 107.550.162.720 = 0,1818 Ejercicios

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.11 EJEMPLO 4 Empleando todos los dígitos siguientes {5, 5, 5, 7, 7, 7, 7} ¿Cuántos números diferentes se pueden formar?. Si compongo un número al azar, ¿qué probabilidad hay de que comience en 7 y termine en 55?. Resolución: Importa el orden de colocación, se cogen todos y se repiten tres y cuatro veces… Luego son permutaciones con repetición. P 7 3,4 = 7! / 3!·4! = 35 números diferentes. Fijado el primero y los dos últimos, sólo el 7 se repite tres veces. P 4 3 = 4! / 3! = 4 formas Probabilidad por Laplace: P = Cf/Cp = 4 / 35 = 0,1143 = 11,43% Ejercicios