Multiplicación de números enteros de distinto signo

Presentación del tema: "Multiplicación de números enteros de distinto signo"— Transcripción de la presentación:

1 Multiplicación de números enteros de distinto signo
Tema: 3 Multiplicación de números enteros 1 Matemáticas 1.º Multiplicación de números enteros de distinto signo Ejemplo: Beatriz gasta 6 euros cada vez que va al cine. ¿Cuánto dinero ha gastado después de haber ido tres veces? Cada vez que va al cine gasta 6 euros – 6 Va tres veces + 3 (– 6) · (+ 3) = – 18 Gasta: 3 · 6 euros = 18 euros – 18 Gráficamente: –6 –6 –6 +6 +12 –24 –18 –12 –6 El producto de dos números enteros de distinto signo es un número entero negativo, cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores. Otros ejemplos: (a) (–7) ·(+ 9) = – 63 (b) (+12) · (–12) = –144 (c) (– 13) · (+4)= –52 IMAGEN FINAL

2 Multiplicación de números enteros
Tema: 3 Multiplicación de números enteros 2 Matemáticas 1.º Multiplicación de números enteros Para multiplicar números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven. Hay cuatro posibilidades: Regla de los signos: (+7) · (+ 9) = +(7·9) = +63 + · + = + (+7) · (– 9) = –(7·9) = –63 + · – = – (–7) · (+ 9) = –(7·9) = –63 – · + = – (–7) · (– 9) = +(7·9) = +63 – · – = + Observa: 1º. Se halla el producto de sus valores absolutos. 2º. El resultado es positivo(+) si los factores son del mismo signo. El resultado es negativo (–) si tienen distinto signo. Otros ejemplos: (a) (+5) · (– 1) = –55 (b) (–5) ·(+7) = –35 (c) (–3) · (–9) = 27 IMAGEN FINAL

3 División exacta de números enteros
Tema: 3 Multiplicación de números enteros 3 Matemáticas 1.º División exacta de números enteros Para dividir números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven. Pueden darse cuatro casos: Regla de los signos: (+21) : (+ 7) = +(21 : 7) = 3 + : + = + Es la misma que para la multiplicación (+32) : (– 4) = –(32 : 4) = –8 + : – = – (–63) : (+ 9) = –(63 : 9) = –7 – : + = – (–48) : (– 8) = +(48 : 8) = 6 – : – = + Otros ejemplos: (a) 15 : (– 5) = – (15 : 5) = –3 (b) (–54) : (+6) = –(54 : 6) = –9 (c) –35 : 7 = –5 (d) – 72 : (–9) = 8 Observación: El paréntesis es necesario cuando se divide por un número negativo. En cualquier otro caso es optativo. IMAGEN FINAL

4 Propiedad conmutativa
Tema: 3 Multiplicación de números enteros 4 Matemáticas 1.º Propiedad conmutativa De la suma Observa: 7 +(– 12) = – 5 7 +(– 12) = (–12) + 7 (– 12) + 7 = – 5 La suma de dos números enteros no varía cuando se cambia el orden de los sumandos. Del producto Observa: 4 ·(– 5) = – 20 4 · (– 5) = (– 5) · 4 (– 5) · 4 = – 20 El producto de dos números enteros no varía cuando se cambia el orden de los factores. Otros ejemplos: Suma (–5) + 7 = 7 +(–5) = 2 2 + (–13) = (–13) + 2 = –11 Producto (– 3) · (–9) = (– 9) · (–3) = 27 (+6) · (–8) = (–8) · (+6) = –48 IMAGEN FINAL

5 Propiedad asociativa de la suma
Tema: 3 Multiplicación de números enteros 5 Matemáticas 1.º Propiedad asociativa de la suma La suma 10 + (–5) + (–2) puede hacerse de dos maneras: 1º. Sumando los dos primeros números al tercero: [10 + (–5)] + (–2) = 5 + (–2) = 3 2º. Sumando el primer número a los otros dos: 10 + [(–5) + (–2)] = 10 + (–7) = 3 Luego: [10 + (– 5)] + (– 2) = 10 + [(– 5) + (– 2)] Propiedad asociativa de la suma La suma de tres números enteros no varía cuando se asocian los términos de modos distintos Otro ejemplo: [(–5) + 17] + (–8) = = (–8) = 4 (–5) + [17 + (–8)] = = – = 4 IMAGEN FINAL

6 Propiedad asociativa del producto
Tema: 3 Multiplicación de números enteros 6 Matemáticas 1.º Propiedad asociativa del producto El producto (–12) · 8 · (–5) puede hacerse agrupando los factores de dos formas distintas: 1º. (los dos primeros) · (el tercero): [(–12) · 8] · (–5) = (–96) · (–5) = 480 2º. (el primero) · (el producto de los otros dos): (–12) · [8 · (–5)] = (–12) · (–40) = 480 Propiedad asociativa del producto Luego: [(–12) · 8] · (–5) = (–12) · [8 · (–5)] El producto de tres números enteros no varía cuando se asocian los términos de modos distintos Otro ejemplo: [(–5) · 7] · (–3) = = –35 · (–3) = 105 (–5) · [7 · (–3)] = = –5 · (–21) = 105 IMAGEN FINAL

7 Propiedad distributiva
Tema: 3 Multiplicación de números enteros 7 Matemáticas 1.º Propiedad distributiva El valor de la expresión –5 · (–3 + 7) puede calcularse de dos formas distintas: Una forma: Otra forma: Hacemos primero la suma y a continuación la multiplicación. Multiplicamos el factor por cada sumando y después sumamos. –5 · (–3 + 7) = –5 · 4 = –20 –5 · (–3 + 7) = –5 · (–3) +(–5) · 7 = (–35) = –20 El resultado es el mismo Esta es la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma Luego: –5 · (–3 + 7) = –5 · (–3) + (–5) · 7 El producto de un número entero por una suma es igual a la suma de los productos del número entero por cada uno de los sumandos. Otro ejemplo: Sumando antes: 15 · [– (–17)] = 15 · (–19) = –285 15 · [– (–17)] Multiplicando por cada sumando: 15 · [– (–17)] = 15 · (–10) + 15 · · (–17) = – (–255) = –285 IMAGEN FINAL

8 Factor común 3 En la suma –3 · 7 + (–3) · (–2)
Tema: 3 Multiplicación de números enteros 8 Matemáticas 1.º Factor común En la suma –3 · 7 + (–3) · (–2) los sumandos son productos. En ambos se repite el factor –3. Hemos sacado factor común. Decimos que –3 es factor común. Aplicando la propiedad distributiva, leyéndola de derecha a izquierda. Podemos escribir: –3 · 7 + (–3) · (–2) = –3 · [7 + (–2)] Otros ejemplos: (a) 5 · (–10) + 5 · (–17) 5 · [–10 + (–17)] = 5 · (–27) = –135 (b) –6 · (–12) + (–6) · 17 + (–6) · (–9) El factor común es –6. –6 · [(–12) (–9)] = –6 · (–4) = –24 (c) –9 · 7 + (–9) · (–15) + 27 · 12 Aparentemente no hay factor común. Pero como 27 = –9 · (–3), se tiene: –9 · 7 + (–9) · (–15) + (–9 )· (–3) · 12 = –9 · [ 7 + (–15) + (–3 )· 12] = –9 · (–44) = 396 IMAGEN FINAL

9 Operaciones combinadas. Sin paréntesis
Tema: 3 Multiplicación de números enteros 9 Matemáticas 1.º Operaciones combinadas. Sin paréntesis Ejemplos: (a) La operación –5 · 6 + (–4) · 8 +30 debe realizarse en el siguiente orden: Primero hemos hecho los productos y después las sumas – (–32) + 30 = –32 (b) Para hallar –30 : 6 + (–3) · hay que seguir el siguiente orden: Primero divisiones y productos, después las sumas – (–12) + 14 = –3 El orden de las operaciones es: 1º Multiplicaciones y divisiones. 2º Sumas y restas Otros ejemplos: 1º –6 · (–4) + (–12) · 4 + (–5) · (–9) = 24 – = 21 Operando en el paréntesis 2º. 8 ·(– 6) – 3 · (12 –17) –48 – 3 ·(–5) = – = –33 Aplicando la propiedad distributiva 8 ·(– 6) – 3 ·12 –3 · (–17) = –48 – = –33 IMAGEN FINAL

10 Operaciones combinadas. Sin paréntesis
Tema: 3 Multiplicación de números enteros 9 Matemáticas 1.º Operaciones combinadas. Sin paréntesis Ejemplos: (a) La operación –5 · 6 + (–4) · 8 +30 debe realizarse en el siguiente orden: Primero hemos hecho los productos y después las sumas – (–32) + 30 = –32 (b) Para hallar –30 : 6 + (–3) · hay que seguir el siguiente orden: Primero divisiones y productos, después las sumas – (–12) + 14 = –3 El orden de las operaciones es: 1º Multiplicaciones y divisiones. 2º Sumas y restas Otros ejemplos: 1º –6 · (–4) + (–12) · 4 + (–5) · (–9) = 24 – = 21 Operando en el paréntesis 2º. 8 ·(– 6) – 3 · (12 –17) –48 – 3 ·(–5) = – = –33 Aplicando la propiedad distributiva 8 ·(– 6) – 3 ·12 –3 · (–17) = –48 – = –33 IMAGEN FINAL

11 Operaciones combinadas. Resumen
Tema: 3 Multiplicación de números enteros 11 Matemáticas 1.º Operaciones combinadas. Resumen Resumimos con los siguientes casos: Caso 1: –12 + (–3) · (+4) + (–9) = –12 + (–12) + (–9) = –33 Caso 2: [–12 + (–3)] · (+4) + (–9) = (–15) · (+4) + (–9) = –60 + (–9) = –69 Caso 3: –12 + (–3) · [(+4) + (–9)] = –12 + (–3) · (–5) = – = 3 Caso 4: [–12 + (–3)] · [(+4) + (–9)] = –15 · (–5) = 75 Observa que en todos los casos hay los mismos números y operaciones. Cambia la situación de los paréntesis IMAGEN FINAL

12 Resolución de problemas
Tema: 3 Multiplicación de números enteros 12 Matemáticas 1.º Resolución de problemas Problema 1: La suma de dos números enteros es igual a –19 y su producto es igual a 60. ¿Cuáles son esos números? ¿Has advertido que para que el producto sea 60, los dos números deben ser negativos? Primero: Tantear para comprender mejor Si los números suman – 19, uno podría ser –29 y el otro 10. Entonces, su producto sería: –29 · 10 = –290. No puede ser, pues su producto debe ser 60. ¿Por qué no valdrían dos números positivos? Segundo: Hacer una tabla Luego, los números buscados son –4 y –15. Tercero: Comprobación. La suma es: –4 + (–15) = –19. Su producto vale: (–4) · (–15) = 60 Que son las condiciones requeridas. IMAGEN FINAL

13 Resolución de problemas
Tema: 3 Multiplicación de números enteros 13 Matemáticas 1.º Resolución de problemas Problema 2: En un depósito hay 800 litros de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 litros por minuto, y por la parte inferior, por otro tubo, salen 30 litros por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento? Primero: Leer el enunciado y resumirlo. Hay 800 l, entran 25 y salen 30. ¿En 15 min.? +25 durante 15 min. Segundo: Hacer un dibujo explicativo. Hay 800 l -30 Tercero: Hacer los cálculos. · 15 – (30 · 15) = – 450 = 725 Cuarto: Comprobación. Por cada minuto que pasa, el depósito pierde 5 litros: (25 – 30 = –5) En 15 minutos: 15 · (– 5) = –75. Quedan entonces: 800 – 75 = 725. IMAGEN FINAL