Números naturales, enteros y potencias 1.Sistemas de numeración a través de la historia: de Roma a nuestros díasSistemas de numeración a través de la historia:

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1 Números naturales, enteros y potencias 1.Sistemas de numeración a través de la historia: de Roma a nuestros díasSistemas de numeración a través de la historia: de Roma a nuestros días 2.Números naturales. Suma y resta de números naturalesNúmeros naturales. Suma y resta de números naturales 3.Multiplicación y división de números naturales. Jerarquía de las operacionesMultiplicación y división de números naturales. Jerarquía de las operaciones 4.Divisibilidad: múltiplos y divisores. Criterios de divisibilidadDivisibilidad: múltiplos y divisores. Criterios de divisibilidad 5.Números primos y compuestos. Descomposición factorial de un númeroNúmeros primos y compuestos. Descomposición factorial de un número 6.Cálculo del M.C.D. y del m.c.m. de varios números. AplicacionesCálculo del M.C.D. y del m.c.m. de varios números. Aplicaciones 7.Números enteros. Operaciones elementales. AplicacionesNúmeros enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones 8.Potencias y raíces. Operaciones con potenciasPotencias y raíces. Operaciones con potencias 1 Índice del libro

2 1 Números naturales, enteros y potencias 1. Sistemas de numeración a través de la historia: de Roma a nuestros días 1.1. Sistemas de numeración Hay evidencias arqueológicas que demuestran que el ser humano aprendió a contar antes que a escribir: se conservan huesos con más de 30 000 años marcados con muescas hechas a modo de conteo, lo que demuestra que la capacidad del ser humano de contar es anterior a la escritura. LA CAPACIDAD DE CONTAR DEL SER HUMANO Un sistema de numeración es un conjunto de reglas y símbolos que sirven para representar números. Se clasifican en sistemas de numeración posicionales y sistemas de numeración no posicionales. SISTEMA DE NUMERACIÓN

3 1 Números naturales, enteros y potencias 1. Sistemas de numeración a través de la historia: de Roma a nuestros días 1.1. Sistemas de numeración CLASES DE SISTEMAS DE NUMERACIÓN CLASESCARACTERÍSTICAEJEMPLOELEMENTOS POSICIONALES El valor de una cifra dentro de un número depende de su posición Sistema decimal { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } NO POSICIONALES El valor de una cifra dentro de un número no depende de su posición. Números romanos { I, V, X, L, C, D, M } Ejemplo Posicional No Posicional

4 1 Números naturales, enteros y potencias 1. Sistemas de numeración a través de la historia: de Roma a nuestros días 1.1. Sistemas de numeración NÚMEROS ROMANOS LETRAIVXLCDM VALOR1510501005001 000 1º Agrupación de la misma letra seguida varias veces I, X, C, MSe pueden repetir seguidas hasta 3 vecesSe suman V, L, DNo se pueden repetir seguidas nunca 2º Una letra de menos valor a la izquierda de otra de mayor valor se resta 3º Una letra de menos valor a la derecha de otra de mayor valor se suma 4º Valores previamente agrupados y ordenados de mayor a menor se suman

5 1 Números naturales, enteros y potencias 1. Sistemas de numeración a través de la historia: de Roma a nuestros días 1.2. El sistema de numeración decimal El sistema de numeración decimal surgió en la India en el siglo VI y terminó de desarrollarse en el siglo IX adoptando las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. En Europa fue introducido por los comerciantes árabes a finales de la Edad Media ORIGEN Y EXTENSIÓN DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL CARACTERÍSTICAS DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL  Tiene base diez formada por los dígitos { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }. Esto significa que se utilizan estos diez dígitos para escribir cualquier número, por muy grande o muy pequeño que sea.  El 1 se corresponde con la unidad y cada diez unidades se corresponden con una unidad de orden superior. Cada tres órdenes de unidad forman una clase.  Es posicional: el valor de un dígito o cifra depende del lugar que ocupa en el número. El lugar que ocupa cada dígito se llama orden de unidad: la cifra de las unidades, decenas, centenas, unidades de millar, etc.

6 1 Números naturales, enteros y potencias 1. Sistemas de numeración a través de la historia: de Roma a nuestros días 1.2. El sistema de numeración decimal ÓRDENES DE UNIDAD Y CLASES EN EL SISTEMA DECIMAL

7 1 Números naturales, enteros y potencias 1. Sistemas de numeración a través de la historia: de Roma a nuestros días 1.2. El sistema de numeración decimal Para poder leer un número escrito en el sistema decimal debemos separar las cifras en grupos de tres empezando por la derecha y a continuación leer empezando por el primer grupo de números de la izquierda. ¿CÓMO SE LEEN LOS NÚMEROS? Ejemplo El número 46 870 502 se lee «cuarenta y seis millones ochocientos setenta mil quinientos dos» Si expresamos un número como la suma de los valores de sus cifras, se dice que el número está escrito en forma polinómica. EXPRESIÓN EN FORMA POLINÓMICA DE UN NÚMERO Ejemplo El número 76 479 en forma polinómica se escribe así:

8 1 Números naturales, enteros y potencias 2. Números naturales. Suma y resta 2.1. Los números naturales: un conjunto ordenado EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES Los números naturales se pueden representar en una semirrecta, comenzando con el número cero a la izquierda y avanzando hacia la derecha a medida que vamos representando los números más grandes. REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES

9 1 Números naturales, enteros y potencias 2. Números naturales. Suma y resta 2.1. Los números naturales: un conjunto ordenado Los números naturales están ordenados. Para ordenar los números se utiliza el símbolo > para indicar «mayor que» y el símbolo < para indicar «menor que». A veces también se utilizan el símbolo ≥ que significa «mayor o igual que» y el símbolo ≤ que significa «menor o igual que» ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES Ejemplo ¿Qué números naturales son mayores o iguales que 4 y menores que 9? Pues 4, 5, 6, 7 y 8. Si los ordenamos utilizando los símbolos tendríamos 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9.

10 1 Números naturales, enteros y potencias 2. Números naturales. Suma y resta 2.2. Suma y resta de números naturales Sumar consiste en reunir varias cantidades en una sola; significa reunir, agrupar, juntar. También se llama adición. Los números que se suman se llaman sumandos y al resultado de la operación se le denomina suma. SUMA DE NÚMEROS NATURALES Restar consiste en hallar la diferencia entre dos cantidades; significa descontar, disminuir, quitar. También se denomina sustracción. Los números que se restan se llaman minuendo el primero y sustraendo el segundo, y el resultado de la operación se denomina resta o diferencia. RESTA DE NÚMEROS NATURALES

11 1 Números naturales, enteros y potencias 2. Números naturales. Suma y resta 2.2. Suma y resta de números naturales  Conmutativa: cambiar el orden de los sumandos no altera la suma. Ejemplo: como 4 + 6 = 10 y 6 + 4 = 10, tenemos que 4 + 6 = 6 + 4.  Asociativa: la suma de varios números naturales no depende de cómo se agrupen. Ejemplo:  Elemento neutro: sumar el número 0 a otro no lo altera. Ejemplo: 7 + 0 = 0. PROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS NATURALES

12 1 Números naturales, enteros y potencias 3. Multiplicación y división de números naturales. Jerarquía de las operaciones Multiplicar consiste en sumar varias veces el mismo número. Los números que se multiplican se llaman factores y al resultado de la operación se le denomina producto. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES Dividir consiste en repartir en partes iguales. Los términos que intervienen en una división reciben estos nombres: Si el resto de la división es cero, se dice que la división es exacta. Entre estos números se cumple la prueba de la división: Dividendo = divisor ⋅ cociente + resto siendo el resto < divisor. DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES

13 1 Números naturales, enteros y potencias 3. Multiplicación y división de números naturales. Jerarquía de las operaciones  Conmutativa: cambiar el orden de los factores no altera el producto. Ejemplo: como 4 ⋅ 6 = 24 y 6 ⋅ 4 = 24, tenemos que 4 ⋅ 6 = 6 ⋅ 4.  Asociativa: el producto de varios factores no depende de cómo se agrupen los factores. Ejemplo:  Distributiva: el producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos de dicho número por cada sumando (o término de la resta). Ejemplo:  Elemento neutro: si se multiplica un número cualquiera por 1 se obtiene el mismo número. Ejemplo: 7 ⋅ 1 = 7 PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

14 1 Números naturales, enteros y potencias 3. Multiplicación y división de números naturales. Jerarquía de las operaciones JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES: OPERACIONES COMBINADAS Jerarquía de las operaciones (pasos a seguir) Ejemplo (38 - 5) ⋅ 2 - 16 : 4 + 15 1.º Se efectúan las operaciones de los paréntesis y corchetes 33 ⋅ 2 - 16 : 4 + 15 2.º Se hacen las multiplicaciones y divisiones 66 - 4 + 15 3.º Se hacen las sumas y restas y se obtiene el resultado final 66 - 4 + 15 = 77

15 1 Números naturales, enteros y potencias 4. Divisibilidad: múltiplos y divisores 4.1. Divisibilidad: múltiplos y divisores Un número a es divisible por otro b cuando la división es exacta. Si la división de dos números es exacta, entonces:  El número mayor es múltiplo del número menor.  El número menor es divisor del número mayor. NÚMEROS MÚLTIPLO Y DIVISOR Ejemplo 10 es divisible por 2 porque: Por un lado, 10 es múltiplo de 2 porque 10 = 2 ⋅ 5, y por otro, 2 es divisor de 10 porque la división 10 : 2 es exacta.

16 1 Números naturales, enteros y potencias 4. Divisibilidad: múltiplos y divisores 4.1. Divisibilidad: múltiplos y divisores Para calcular los divisores de un número a empezamos con el 2 (puesto que el número 1 es divisor de todos los números naturales), y después continuamos dividiendo por 3, 4, 5, 6… hasta que el cociente sea menor o igual que el divisor. El último divisor que obtendremos será el propio número a porque todo número natural es divisible por sí mismo. El conjunto de los divisores de un número a se designa por D(a). CÁLCULO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO Para calcular los múltiplos de un número a multiplicamos ese número por los diferentes números naturales empezando por el 1. El conjunto de los múltiplos de un número a se designa por M(a) o también. CÁLCULO DE LOS MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO

17 1 Números naturales, enteros y potencias 4. Divisibilidad: múltiplos y divisores 4.1. Divisibilidad: múltiplos y divisores Ejemplo Calcula los divisores del número 12. Ya sabemos que el 1 y el 12 son divisores de 12. Vamos probando con el 2, 3, 4, 5, 6… hasta llegar al 11 sabiendo que debemos parar cuando obtengamos un cociente menor o igual que el divisor en una división exacta: Por tanto D(12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 } Ejemplo Calcula los múltiplos de 4:

18 1 Números naturales, enteros y potencias 4. Divisibilidad: múltiplos y divisores 4.1. Divisibilidad: múltiplos y divisores Ejemplo En un estanque los nenúfares crecen tan deprisa que cada día duplican el área que cubrían el día anterior. Después de 15 días todo el estanque está cubierto de estas plantas. a)¿Después de cuantos días, el estanque se encontraba cubierto solo hasta la mitad? b)Calcula los múltiplos y divisores del 15. a) Después de 14 días. El día 14 el estanque estaba cubierto hasta la mitad y, como duplica su extensión cada día, el día 15 estará completamente cubierto. b) Los múltiplos de 15 son Los divisores de 15 son

19 1 Números naturales, enteros y potencias 4. Divisibilidad: múltiplos y divisores 4.2. Divisibilidad: múltiplos y divisores Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten saber si un número es divisible por otro sin tener que dividir. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Un número es divisible por si Ejemplos 2termina en 0 o en par26, 3 266, 12, 3 456 788 3 la suma de sus cifras es múltiplo de 3 126 es múltiplo de 3 porque 1 + 2 + 6 = 9 5termina en 0 o en 510, 555, 1 245, 23 450 9 la suma de sus cifras es múltiplo de 9 2 538 es múltiplo de 9 porque 2 + 5 + 3 + 8 = 18 10termina en 030, 100, 40, 5 000

20 1 Números naturales, enteros y potencias 5. Números primos y compuestos. Descomposición factorial de un número 5.1. Números primos y compuestos Un número es primo si solo es divisible por sí mismo y por 1. Un número es compuesto si tiene más de dos divisores, o dicho de otra manera, si no es primo. El número 1 no se considera ni primo ni compuesto. NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS Para saber si un número dado es primo tenemos que ir dividiéndolo entre los números primos menores que él: 2, 3, 5, 7… hasta llegar a una división que sea exacta o una división en la que el cociente sea menor o igual que el divisor, y entonces:  Si alguna división es exacta, el número es compuesto (no es primo).  Si ninguna división es exacta, entonces el número es primo. No se conoce un método que nos asegure que, dado un número cualquiera podamos asegurar si es primo o no lo es. ¿CÓMO SE SABE SI UN NÚMERO ES PRIMO?

21 1 Números naturales, enteros y potencias 5. Números primos y compuestos. Descomposición factorial de un número 5.1. Números primos y compuestos Para determinar los números primos existe un método llamado Criba de Eratóstenes que consiste en escribir los números naturales en orden y en ir tachando primero los múltiplos de 2, después los múltiplos de 3, luego los múltiplos de 5, después los múltiplos de 7 y así sucesivamente… Los números que van quedando en la lista son los números primos: Hemos obtenido de esta forma una lista de los números primos menores que 50 (señalados de color amarillo): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47. MÉTODO PARA HALLAR NÚMEROS PRIMOS: CRIBA DE ERATÓSTENES

22 1 Números naturales, enteros y potencias 5. Números primos y compuestos. Descomposición factorial de un número 5.1. Números primos y compuestos Ejemplo Averigua si el número 63 es primo. Por tanto 63 es divisible por 3, luego 63 tiene más de dos divisores → → D(63) = { 1, 3, 63… } → por tanto es compuesto Saber más Conjetura de Goldbach (matemático alemán, 1690–1764) «Todo número entero par mayor que dos puede expresarse como la suma de dos números primos». El tío Petros y la conjetura de Goldbach es el título de un libro. Una editorial inglesa ofreció un premio de 1 000 000 de dólares a quien demostrase esta conjetura, pero todavía nadie lo ha conseguido. Este tipo de problemas (que aún no están resueltos) se denominan problemas abiertos.

23 1 Números naturales, enteros y potencias 5. Números primos y compuestos. Descomposición factorial de un número 5.2. Descomposición factorial de un número en factores primos La descomposición factorial de un número consiste en expresarlo como producto de números primos. Se sabe que «todo número natural mayor que uno puede descomponerse en producto de factores primos». Este resultado es tan importante que se conoce con el nombre de Teorema Fundamental de la Aritmética. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN NÚMERO Saber más Los números primos y la seguridad en Internet Los números primos se usan en los protocolos de seguridad en Internet. Es fácil multiplicar dos números primos, sean por ejemplo los primos a = 11 927 y b = 20 903, de manera que al multiplicarlos obtenemos a · b = c = 249 310 081. En el ejemplo, el número c viene a ser la codificación, mientras a y b son la clave de descodificación. Esta estrategia es la base de un sistema de encriptación de clave pública llamado RSA, muy utilizado en Internet.

24 1 Números naturales, enteros y potencias 5. Números primos y compuestos. Descomposición factorial de un número 5.2. Descomposición factorial de un número en factores primos Ejemplo Descompón en producto de factores primos los siguientes números: a)70 b) 24 a) Divisiones sucesivas En columna Descomposición factorial b) Divisiones sucesivas En columna Descomposición factorial

25 1 Números naturales, enteros y potencias 6. Cálculo del M.C.D. y del m.c.m. de varios números. Aplicaciones 6.1. Cálculo del máximo común divisor El máximo común divisor (M.C.D.) de varios números es el mayor divisor común a todos ellos. Para calcular el máximo común divisor se utiliza la descomposición factorial. El cálculo del máximo común divisor de varios números requiere dos pasos: 1.Se hace la descomposición factorial de los números. 2.Se eligen todos los factores primos comunes con el menor exponente con el que aparecen, y se multiplican. MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE VARIOS NÚMEROS Y SU CÁLCULO.

26 1 Números naturales, enteros y potencias 6. Cálculo del M.C.D. y del m.c.m. de varios números. Aplicaciones 6.1. Cálculo del máximo común divisor Ejemplo Calcula el máximo común divisor de los números 30 y 45. Los factores primos comunes son los que se repiten en las dos listas: el 3 y el 5. Se toman con el MENOR exponente con el que aparecen y se multiplican: M.C.D. (30,45) = 3 · 5 = 15

27 1 Números naturales, enteros y potencias 6. Cálculo del M.C.D. y del m.c.m. de varios números. Aplicaciones 6.2. Cálculo del mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números es el menor múltiplo común a todos ellos. Para calcular el mínimo común múltiplo se utiliza la descomposición factorial. El cálculo del mínimo común múltiplo también se realiza en dos pasos: 1.Se hace la descomposición factorial de los números. 2.Se eligen todos los factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente con el que aparecen, y se multiplican. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS Y SU CÁLCULO.

28 1 Números naturales, enteros y potencias 6. Cálculo del M.C.D. y del m.c.m. de varios números. Aplicaciones 6.2. Cálculo del mínimo común múltiplo Ejemplo Calcula el mínimo común múltiplo de los números 36 y 60. Los factores primos comunes son los que están en las dos listas (2 y 3) y los no comunes los que solo están en alguna (5). Se eligen los que tengan el MAYOR exponente y se multiplican: m.c.m. (36,60) = 2² · 3² · 5 = 180

29 1 Números naturales, enteros y potencias 6. Cálculo del M.C.D. y del m.c.m. de varios números. Aplicaciones 6.3. Aplicaciones  Para poder trabajar con fracciones: cuando hagamos sumas y restas de fracciones será necesario saber calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números.  Para resolver cierto tipo de problemas, como se ve en el ejemplo de abajo. ¿PARA QUÉ SIRVEN EL MÁXIMOCOMÚN DIVISOR Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO? Ejemplo Si una campana toca cada 30 minutos y otra cada 45 y empiezan a tocar a las 12 de la mañana, ¿a qué hora volverán a tocar a la vez? La respuesta debe ser un número mayor que 30 y que 45 y múltiplo de ambos. El m.c.m.(30,45) = 90, luego al cabo de 90 minutos volverán a tocar juntas; a las 13.30 horas.

30 1 Números naturales, enteros y potencias 7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones 7.1. El conjunto de los números enteros EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Una buena forma de entender la necesidad de los números enteros surge cuando pensamos en la altitud de un punto de la superficie terrestre respecto al nivel del mar. NECESIDAD DE LOS NÚMEROS ENTEROS El pico K2 tiene una altura de +8 611 m sobre el nivel del mar. En Holanda hay zonas situadas -7 m por debajo del nivel del mar.

31 1 Números naturales, enteros y potencias 7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones 7.2. Representación gráfica de los números enteros Los números enteros se representan en la recta numérica: se marca el cero, y a su derecha se sitúan los números positivos y a su izquierda los negativos: REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

32 1 Números naturales, enteros y potencias 7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones 7.2. Representación gráfica de los números enteros Para comparar números enteros se utiliza su representación en la recta numérica: un número es mayor que otro si al representarlo en la recta el primero se encuentra a la derecha del segundo. ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS Ejemplo Representa en la recta numérica los números -6, 1, -2, 0, -4, 5 y 3 y después ordénalos de mayor a menor utilizando el símbolo >. Ordenados utilizando el símbolo > quedarían así: 5 > 3 > 1 > 0 > -2 > -4 > -6

33 1 Números naturales, enteros y potencias 7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones 7.2. Representación gráfica de los números enteros El valor absoluto de un número entero es la distancia de ese número al cero y se indica poniendo el número entre dos barras. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO Ejemplo El valor absoluto del +5 se expresa como |+5| = 5. El valor absoluto del -3 se escribe |−3| = 3. Podemos dibujar este ejemplo:

34 1 Números naturales, enteros y potencias 7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones 7.3. Operaciones elementales con números enteros. Aplicaciones Con el mismo signo: para sumar números enteros del mismo signo, se suman los valores absolutos de dichos números y se pone el mismo signo que tengan los números. Con distinto signo: para sumar números enteros con distinto signo, se suman por un lado los positivos, por otro los negativos y después se halla la diferencia entre los valores absolutos de los resultados anteriores y se pone el signo del número que tenga mayor valor absoluto. SUMA DE NÚMEROS ENTEROS Ejemplos de suma de números con el mismo signo.  Calcula (-6) + (-7) + (-2) + (-4). Como todos los sumandos son negativos, sumamos sus valores absolutos: 6 + 7 + 2 + 4 = 19 y ahora ponemos el signo menos: -19.

35 1 Números naturales, enteros y potencias 7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones 7.3. Operaciones elementales con números enteros. Aplicaciones Calcula la suma:(-3) + (-4) + (+6) + (-9) + (-10) + (+8) Se suman los enteros positivos:(+6) + (+8) = 6 + 8 = 14 Se suman los enteros negativos:(-3) + (-4) + (-9) + (-10) = -26 Hallamos la diferencia de los valores absolutos y ponemos el signo del número de mayor valor absoluto: |-26| = 26; |14| = 14 26 - 14 = 12 La solución es por tanto -12 Ejemplos de suma de números con distinto signo.  Pedro va a pagar a la óptica 24 € que debe. Para ello saca del cajero automático 40 €, pero al volver a casa pierde un billete de 10 €. ¿Cuánto dinero le queda? La operación que debemos hacer es: (+40) + (-24) + (-10) = (+40) + (-34) = +6

36 1 Números naturales, enteros y potencias 7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones 7.3. Operaciones elementales con números enteros. Aplicaciones Restar dos números enteros es sumar el primero con el opuesto del segundo. RESTA DE NÚMEROS ENTEROS Ejemplo Calcula (-12) - (+13) Sumamos al primero el opuesto del segundo: (-12) + (-13) = -25 Al dividir dos números enteros siempre se cumple entre ellos la relación:  Si el resto r es cero, la división es exacta.  Si el resto r no es cero, la división es entera. DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

37 1 Números naturales, enteros y potencias 7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones 7.3. Operaciones elementales con números enteros. Aplicaciones Regla de los signos para la MULTIPLICACIÓN Regla de los signos para la DIVISIÓN (+) ⋅ (+) = (+) (+) : (+) = (+) (−) ⋅ (−) = (+) (−) : (−) = (+) (−) ⋅ (+) = (−) (−) : (+) = (−) (+) ⋅ (−) = (−) (+) : (−) = (−) Recuerda Suma y resta de números enteros Cuando en la suma y resta de números enteros aparecen dos signos seguidos, se utiliza la regla de los signos de la multiplicación. Para multiplicar o dividir dos números enteros, primero se averigua el signo del resultado y después se multiplican o dividen los números como si fuesen naturales. REGLA DE SIGNOS PARA LA MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN

38 1 Números naturales, enteros y potencias 7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones 7.3. Operaciones elementales con números enteros. Aplicaciones Ejemplo Un avión despega del aeropuerto de Madrid-Barajas con dirección al aeropuerto de Málaga-Costa del Sol. La temperatura al salir de Madrid es de −3 °C y al llegar a Málaga hay 12 °C. ¿Qué diferencia de temperatura hay entre las dos ciudades? Observa el dibujo y responde a las preguntas: a) ¿A qué altitud se encuentra el avión en Madrid?, ¿y en Málaga? b) ¿Cuántos metros asciende el avión hasta alcanzar su máxima altura? c) ¿A qué profundidad está el submarino?

39 1 Números naturales, enteros y potencias 8. Potencias y raíces 8.1. Potencias Ejemplo En un edificio hay 4 pisos, en cada piso hay 4 habitaciones y cada habitación tiene 4 ventanas. ¿Cuántas ventanas hay en total? Multiplicamos 4 ⋅ 4 ⋅ 4, que en forma de potencia se escribe 4³ (la base es 4 y el exponente es 3), calculando 4³ = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64 ventanas. Una potencia de números es una multiplicación de factores iguales. El factor que se repite es la base y el número de veces que se repite es el exponente. La operación se llama potenciación. Para hallar la potencia de un número, se multiplica la base por sí misma tantas veces como indique el exponente. Por ejemplo: 2⁴ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16. Si el exponente es cero, la potencia siempre vale 1. Ejemplo: (234)⁰ = 1. POTENCIAS

40 1 Números naturales, enteros y potencias 8. Potencias y raíces 8.1. Potencias Se calculan igual que las de números naturales pero conviene tener en cuenta que:  Si la base es negativa y el exponente es par, la potencia es positiva. Ejemplo: (-3)² = (-3) ⋅ (-3) = +9  Si la base es negativa y el exponente es impar, la potencia es negativa. Ejemplo: (-3)³ = (-3) ⋅ (-3) ⋅ (-3) = -27 POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS

41 1 Números naturales, enteros y potencias 8. Potencias y raíces 8.2. Operaciones con potencias OPERACIONES CON POTENCIAS 1 DE 3 Suma y resta de potencias: Para sumar o restar potencias, tengan o no la misma base, se calcula por separado el valor de cada potencia y luego se suman o restan los resultados. Potencia de un producto: La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores.

42 1 Números naturales, enteros y potencias 8. Potencias y raíces 8.2. Operaciones con potencias OPERACIONES CON POTENCIAS2 DE 3 Potencia de un cociente: La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias de los factores. Potencia de una potencia: La potencia de una potencia es igual a la base elevada al producto de los exponentes.

43 1 Números naturales, enteros y potencias 8. Potencias y raíces 8.2. Operaciones con potencias OPERACIONES CON POTENCIAS3 DE 3 Producto de potencias de la misma base: El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base que tiene por exponente la suma de los exponentes. Cociente de potencias de la misma base: El cociente de potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la resta de los exponentes.

44 1 Números naturales, enteros y potencias 8. Potencias y raíces 8.2. Operaciones con potencias PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS Potencia de exponente cero:Potencia de un producto: Potencia de un cociente:Potencia de una potencia: Producto de potencias de la misma base: Cociente de potencias de la misma base:

45 1 Números naturales, enteros y potencias 8. Potencias y raíces 8.3. Potencias de exponente negativo Una potencia de exponente negativo se puede transformar en una potencia de exponente positivo. POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO Ejemplo

46 1 Números naturales, enteros y potencias 8. Potencias y raíces 8.4. Raíces La raíz cuadrada de un número, llamado radicando, es otro número que elevado al cuadrado nos da como resultado el primero. RAÍCES CUADRADAS Las raíces cúbicas se comportan de forma análoga a las raíces cuadradas: RAÍCES CÚBICAS También se pueden calcular raíces de orden superior a 2 y a 3. OTRAS RAÍCES

47 1 Números naturales, enteros y potencias 8. Potencias y raíces 8.4. Raíces Cuando se tienen distintas operaciones combinadas con números enteros, hay que seguir un orden para efectuarlas: 1.º Corchetes y paréntesis. 2.º Potencias y raíces. 3.º Multiplicaciones y divisiones. 4.º Sumas y restas. 5.º Si las operaciones están en el mismo nivel, se empieza por la izquierda. JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS