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CURIOSIDADES Y PARADOJAS 1.Multiplicando con los dedosMultiplicando con los dedos 2.Multiplicación rusaMultiplicación rusa 3.Multiplicación árabeMultiplicación.

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1 CURIOSIDADES Y PARADOJAS 1.Multiplicando con los dedosMultiplicando con los dedos 2.Multiplicación rusaMultiplicación rusa 3.Multiplicación árabeMultiplicación árabe 4.Algoritmo de ColombiaAlgoritmo de Colombia 5.Productos por el número 8Productos por el número 8 6.Productos por el número 9Productos por el número 9 7.Productos sin repetir cifrasProductos sin repetir cifras 8.Productos con una sola cifraProductos con una sola cifra 9.Los 6 múltiplos de Los 6 múltiplos de Cuadrados notablesCuadrados notables 11.Otra del 8 y el 9Otra del 8 y el Dos más sobre cuadradosDos más sobre cuadrados 13.Demostración sorprendenteDemostración sorprendente 14.Simplificaciones locasSimplificaciones locas 15.Aquiles y la tortugaAquiles y la tortuga 16.El cretense mentirosoEl cretense mentiroso 17.En el cementerioEn el cementerio 18.¿Dónde está la peseta?.¿Dónde está la peseta? 19.Los caníbalesLos caníbales 20.Los tres cofresLos tres cofres 21.Más pena para el mismo reoMás pena para el mismo reo 22.Los tres condenadosLos tres condenados 23.Paradoja de FeijoóParadoja de Feijoó 24.¿Me libraré del examen?.¿Me libraré del examen? 25.El sabio Sancho PanzaEl sabio Sancho Panza Menú Principal

2 1.Como multiplicar dos factores de una cifra, ambos mayores que cinco Curiosidades 2.La tabla del nueve

3 Cómo multiplicar dos factores de una cifra, ambos mayores que cinco: Este truco, utilizado ya por los turcos en la Edad Media, hubiera sido interesante conocerlo cuando estabas aprendien- do la tabla de multiplicar. Recuerda que las tablas de los primeros números eran muy fáciles de recordar: la del 1, menuda tontería; la del dos, sencillísima; la del 3 y la del 4, tampoco ofrecían mucha dificultad, y la del 5, sí que era sencilla (5,0,5,0,5,....). El fastidio comenzaba a partir de aquí. Bueno, pues con la ayuda de las manos, no es necesario aprender más tablas que las cinco primeras: -Si queremos multiplicar 8 x 4, no es necesario saber la tabla del ocho, ya que: 8 x 4 = 4 x 8 = 32 (la tabla del cuatro sí hay que saberla) Curiosidades

4 1.- El problema sería que se quieran multiplicar dos factores mayores que cinco, por ejemplo 7 x 9. Pues bien, se numeran los dedos de cada mano a partir del seis, comenzando por los meñiques:

5 Curiosidades 2.- Se juntan el dedo número 7 de una mano y el dedo número 9 de la otra. 3.- Si se cuentan los dos dedos que están juntos y los que están debajo ( en nuestro caso: = 6 ), ya se tiene la cifra de las decenas. 4.- Multiplicando los que quedan libres de una mano por los que quedan libres en la otra ( 3 x 1 = 3 ), obtenemos las cifras de las unidades. 5.- De esta manera se sabe que 7 x 9 = = 6 3 x 1 = 3 Ejemplo: Demostración

6 Curiosidades La tabla del nueve: Este truco puede servir para aprenderse la tabla del nueve. Pero sí puede ofrecer una alternativa válida, ya que es mucho más fácil que el anterior. -Se abren las dos manos y se numeran todos los dedos de derecha a izquierda, del 1 al 10. (Figura) -Para averiguar cuánto es 9 x 4, por ejemplo, se cuentan los dedos que están a la derecha del dedo número 4, que son 3; y los que están a la izquierda, que son 6, luego: 9 x 4 = 36 !! Prueba con toda la tabla del nueve !!

7 Multiplicación rusa: Los rusos, para multiplicar números grandes, utilizaban el método de dobles y mitades, hasta llegar a la unidad. Como ejemplo, multipliquemos 624 x 432 : En la columna de la izquierda vamos multiplicando por dos, mientras que en la derecha vamos dividiendo por dos, sucesivamente. Cuando nos encontra- mos a la derecha un número impar que impediría la continuación del proceso, le restamos una unidad, y señalamos el nú- mero que está a su izquierda con un asterisco. Para conseguir el producto de los dos números, basta sumar los núme- ros marcados con un asterisco. En efecto: Curiosidades Prefiero la ensaladilla rusa a la multiplica- ción rusa

8 Curiosidades ¿Observas alguna relación entre este método y vuestro algoritmo de la multiplicación? 3.Multiplicación árabe: -Colocamos el multiplicando y el multiplicador arriba y a la derecha de una tabla como la del ejemplo, esto es, arriba de izquierda a derecha; y a la derecha, de arriba hacia abajo. -Construimos una tabla de doble entrada disponiendo los productos de dos cifras de la siguiente manera: la cifra de las decenas arriba, y las de las unidades abajo. -Por último se suman siguiendo las líneas inclinadas Es decir: x =

9 Curiosidades 4.Algoritmo de Colombia: Se llama así porque el documento que lo contiene se conserva en la Universidad de Colombia en Nueva York. Consiste en un método para realizar restas. Veámoslo con un ejemplo: 1.- Se coloca la línea de la ope- ración sobre el minuendo, y se empieza a restar por la izquierda. Se lee así: 3 menos 1, 2. Escribe el 2, tal y como se ve en la si- guiente tabla: menos 7, 15. Se escribe el 1 sobre el 2 y el 5 en la fila de abajo menos 8, 47. Se escribe como en la tabla: menos 5, 69: El resultado es el que se indica en la primera fila. Anímate y haz otra resta utili- zando el algoritmo de Colom- bia.

10 Curiosidades Productos por el número ocho: 1.- Si el número 8 lo multiplicamos por 1, 2, 3,...(la serie natural de los números en forma correlativa y sin limitación) se van obteniendo productos que tienen la particularidad de que sumados los valores absolutos de sus cifras dan la serie decreciente de los números dígitos, descomponiéndolos, a su vez, cuando estas sumas exceden de nueve:

11 Curiosidades 1 x = 9 12 x = x = x = x = x = x = x = x = También con la cifra 8 se tienen las siguientes igual- dades notables:

12 Curiosidades 0 x = 1 1 x = x = x = x = x = x = x = x = Productos por el número 9:

13 Curiosidades Productos sin repetir cifras: Los siguientes productos tienen la particularidad de expre- sarse con igualdades en las que sólo entran una vez cada una de las nueve primeras significativas; no se pone como problema encontrar estos productos, puesto que no hay principios generales para ello. Se les puede encontrar consultando pacientemente tablas como la de CRELLE, que presentan los productos de dos factores hasta 999 x 999, pero se corre el riesgo de soñar con multiplicaciones. Por cierto, ¿cuántos productos tendrá la tabla referida?.

14 Curiosidades Productos que se escriben con una sola cifra: 1.- Una propiedad muy conocida del número (que no deja de ser muy particular) es que al multiplicarlo por 9 da un producto que se escribe con la cifra 1, esto es el número Por tanto, al multiplicarlo por 18 ( 9 x 2), por 27 (9 x 3), por 36, etc., se obtienen productos notables, a saber: x 9 = x 18 = x 27 = x 36 = x 81 =

15 Curiosidades 2.- De no haber conocido este multiplicando, podríamos haber intentado hallarlos sin más que dividir por 9 el número , bajando después da cada resto un uno, en vez de un cero, hasta que la división fuese exacta. Del mismo modo vamos ahora a investigar cuál es el número que multiplicado por 7, da un producto escrito sólo con unos, para así generar números que se escriban con una sola cifra x = Por consiguiente: x 7 = x 14 = x 21 = x 63 =

16 Curiosidades Ejercicio: Requiere más paciencia contestar a esta pregunta: ¿Cuál es el número que multiplicado por 49 da un producto que se escribe con sólo unos?. En efecto, procediendo como antes, se encuentra: 3.- Con la imaginación del lector, pueden idearse más actividades basándose en la misma estrategia. Obsér- vese que en esta misma idea, pero utilizando al 3 como divisor se planteó el juego de magia número 15, titulado treinta y siete

17 Curiosidades Los seis primeros múltiplos de : Son bastante fáciles de calcular, ya que tomando el número anterior como multiplicando y cualquiera de los seis primeros dígi-tos, todos los productos tienen las mismas cifras que el multiplicando, y en el mismo orden; de modo que, para hallar rápidamente uno cualquiera de esos múltiplos, basta multiplicar la cifra de las unidades (7), y luego, a partir de la que indique dicho producto, ir copiando las demás correlativamente. Ejemplo: x 4 = Como el producto de las unidades por 7 termina en 8, el resultado será = Ejercicio: Completa la siguiente tabla:

18 Curiosidades 10.Notables sucesiones de cuadrados: En el Taljis o libro de Aritmética de ABENAL- BANA ( ), famoso matemático hispanoárabe hijo de un albañil granadino, se registran los siguientes cuadrados notables: 1 2 = 11 2 = = = = = = = = = 99 2 = = = = = = = =

19 Curiosidades 0 x = 9 x = 9 8 x = x = x = x = x = x = x = x = Otra vez la magia del 8 y del 9:

20 Curiosidades a) Si los enteros consecutivos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13..., se elevan al cuadrado: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, , se observará esta ley, que es fácil de demostrar: Las cifras de las unidades de los cuadrados de los enteros forman un periodo simétrico, 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0, en el cual las cifras simétricas con relación a 5 ó con relación a 0 son iguales. b) Los pares de cuadrados perfectos: 144 y 441, 169 y 961, y lo mismos que sus res- pectivas raíces, 12 y 21, 13 y 31, 122 y 221, están escritas por las mismas cifras escritas al revés. El matemático V. THÉBAULT ha investigado cuáles son todos los pares que gozan de esta curiosa propiedad. Por ejemplo, halló también el par siguiente: = y = Dos curiosidades más sobre cuadrados:

21 Una demostración sorprendente: -Sean x e y dos números proporcionales a 6 y 4, es decir: X/6 = y/4, de lo que se deduce que 4 x = 6 y -La igualdad anterior se puede transformar en: 14 x – 10 x = 21 y – 15 y -De ella podemos obtener: 5 ( 3 y – 2 x ) = 7 ( 3 y – 2 x ) -Dividiendo los dos miembros por ( 3 y – 2 x ), queda: (Naturalmente se impone la proposición como ejercicio de la justificación de este paradójico resultado) !!! 5 = 7 !!! Curiosidades

22 Simplificaciones escandalosas: Pepe Pinto, llama a su primogénito Pepito, le hace escribir la fracción:, y le pide que la simplifique. Puedo quitar un 6 al numerador y otro seis al denominador –dice Pepito. Una vez hecha la operación la fracción queda así: Está bien – aprueba Pepe Pinto -. Pero puedes hacer algo mejor. Es cierto –reconoce Pepito-, todavía puedo simplificar dos veces con el seis. Y entonces escribe: ¡Olé! –dice Pepe-. ¡Te felicito!. El método de simplificación em- pleado por Pepito Pinto es poco ortodoxo y sin embargo, los re- sultados son exactos. ¿Podrías encontrar una fracción de la mis- ma forma ( con el mismo número de b en el numerador y en el denominador) que pueda simplificarse de la misma manera y que sea equivalente a 1/2 ? Curiosidades

23 Aquiles y la tortuga: Muestra de la saga de Los eleáticos o sofistas, para los que los que lo primordial era convencer de sus habilidades oratorias, fue Zenón de Elea autor de numerosas para-dojas dialécticas, de las que sin duda la más conocidas es la de Aquiles y la tortuga: Aquiles fue un héroe troyano de la mitología griega, que según la leyenda, era invulnerable debido a su madre, que para hacerle invencible, le llevó al Lago Estigio, morada de Medusa, y le sumergió en sus aguas sujeto de un talón. Como su talón fue lo único que no se mojó, este era su único punto débil. Pues bien, Zenón aprovechó la fama de buen corredor de Aquiles para plantear su célebre paradoja: Curiosidades

24 Una osada tortuga reta al veloz Aquiles a competir en una carrera, con la condición de que consciente del pesado lastre que debe trans- portar ella tras su espalda, debe dejarle ciertos metros de ventaja. Los dos comienzan a correr y, cuando Aquiles llega al punto A, de donde salió la tortuga, ésta ya se encuentra en otro punto B. Cuando Aquiles llega a B, la tortuga ha avanzado otro pequeño trozo y ya se encuentra en otro punto C. Cuando Aquiles llega a C, la tortuga ya se encuentra en otro punto D. De manera que, si bien va acercándose peligrosamente a la tortuga, ¡Aquiles nunca alcanzará a la tortuga! Curiosidades

25 El cretense mentiroso: Una paradoja, producida por la imprecisión del lenguaje, conocida en la Grecia clásica, cuenta como Epimenides, un cretense, afirmaba que los cretenses eran embusteros. La afirmación parece lógicamente inofensiva, pero analicemos lo que sucede: Si la frase fuese verdad, debiera ser falsa, puesta que la enunciaba un cretense que (al menos en aquella ocasión) no mentía. Pero si la frase fuese falsa, debiera ser cierta, porque entonces los cretenses no mentirían y Epimenides era un cretense. Con toda evidencia, lo que Epimenides quería decir es que lo cretenses, ordinariamente (no siempre) mentían, y desde luego, daba por supuesto que él, cretense, no mentía en aquella ocasión. Pero la confusión originada, justifica la frase del ilustre matemático POINSOT: Nunca se es demasiado claro hablando de Matemáticas. Como la del no menos ilustre FRECHET, en uno de sus tratados: Todo aquello que se sobreentiende sin decirlo, queda mejor entendido, diciéndolo. Curiosidades

26 En el cementerio: En una tumba en el cementerio de Alencourt, en las cercanías de París, se encuentra la siguiente inscripción, que damos traducida al castellano: Aquí yace el hijo; aquí yace la madre; Aquí yace la hija; aquí yace el padre; Aquí yace la hermana; aquí yace el hermano; Aquí yacen la esposa y el marido. Sin embargo, hay solamente tres personas aquí. Curiosidades Solución

27 Curiosidades Solución: La explicación lógica, pero siempre incestuosa, es la del joven adinerado y mujeriego que perdía a una muchacha humilde y, cosa entonces bastante frecuente, no volvía a preocuparse por lo que hubiera podido acaecer a la hija, fruto de sus amores. Más tarde, ya cuarentón, conocía a una hermosa joven, con la que se casaba sin saber que era su propia hija y con la que tenía un hijo. De esta forma se tiene, en tres personas, al hijo, la hija, el padre, la madre, la esposa, el marido, el hermano y la hermana.

28 ¿Dónde está la peseta?: A ver si sabes darle explicación a la siguiente paradoja: Tres amigos van a un Kiosco y compran chucherías por valor de 25 pesetas. Cada niño pone una moneda de 10 pesetas. Con las cinco pesetas que les devuelve el vendedor, se queda una cada uno y le dan dos pesetas al vendedor de propina, de modo que realmente cada uno ha aportado 9 pesetas, es decir, entre los tres han puesto 27 pesetas, y el vendedor se ha quedado con dos pesetas más, ¿dónde está la peseta que falta?. Solución Curiosidades

29 Solución: Se trata de una formulación confusa de la situa- ción. En realidad, la distribución del dinero es bien sencilla: 25 pesetas para el vendedor 3 pesetas devueltas 2 pesetas de propina para el vendedor No desapareció nada. En otras palabras, de las 27 pesetas pagadas (3 veces 9), 25 se emplearon en la compra y 2 fueron la propina.

30 Los caníbales: Iba un explorador de safari por la selva, cuando fue apresado por una tribu de caníbales. El jefe de la tribu quiso darle una oportunidad y así le ofreció la siguiente alternativa de escapar: Le enseño dos caminos, cada uno de los cuáles estaba custodiado por un guardián. Él podría formular sólo una pregunta a uno de ellos, y elegir un camino hacia la muerte o hacia la libertad.... Pero hay una pequeña pega: uno de los dos guardias siempre miente, y el otro siempre dice la verdad. ¿Cuál puede ser la pregunta salvadora? Curiosidades Solución

31 Curiosidades Solución; Le preguntaría a cualquiera de los dos guardianes, qué respondería el otro guardián si yo le preguntara qué camino conduce a la libertad. Luego tomaría el camino contrario al que me respondiera el guardián al que le formulé la pregunta.

32 Curiosidades Los tres cofres: (Este problema y el siguiente son debidos a Raymond Smullyan) Un sultán propuso el siguiente problema a un reo: He aquí tres cofres: uno rojo, otro azul y otro blanco. Cada uno tiene una inscripción. En el rojo dice: - La llave de la celda está en este cofre -. En el azul dice: - La llave de la celda no está en este cofre -. En el blanco dice: - La llave de la celda no está en el cofre rojo -. De las tres inscripciones, a lo sumo una es cierta. Si sois capaz de adivinar en cuál está la llave os dejaré ir libre. ¿Qué cofre debió elegir el reo? Solución

33 Curiosidades Solución: Aunque hay otras maneras de razonar que también llevan a la respuesta correcta, la más rápida e la siguiente: Observemos que las inscripciones del cofre rojo y del cofre blanco son contradictorias. Por tanto, una de ellas es cierta, y como no puede haber ninguna más que lo sea, la del cofre azul es falsa y en él está la llave.

34 Más penalidades para el reo: Así pues, el reo del problema anterior, habiendo abierto el cofre azul y encontrado en él la llave de la celda, alegremente abrió la puerta y salió hacia la libertad... Pero antes de franquear la puerta principal de la prisión fue detenido por un guardia que – por orden del sultán – le presentaba otros dos cofres: uno rojo y otro azul. En el rojo decía: - La llave de la puerta principal no está aquí -. En el azul decía: - Exactamente una de estas sentencias es cierta -. El sultán, que le había dejado salir de la celda, le exigía pasar una prueba más, acertando el cofre en que estuviese la llave de entrada de la prisión. ¿Qué hizo el reo? Curiosidades Solución

35 Curiosidades Solución: El reo sacó una moneda y se jugó a cara o cruz la elección de uno u otro cofre, ya que no se dijo nada sobre la veracidad o falsedad de las inscripciones, lo que nos permite poner la llave donde nos plazca, sin que por ello exista contradicción alguna. Como el reo se dio cuenta de ello, el sultán comprendió que tenía encarcelado al cerebro del país y lo dejó en libertad antes de que eligiera.

36 22.Los tres condenados: Tres ladrones, que llamaremos A, B y C, fueron capturados mientras robaban en el palacio de un Gobernador despótico, y condenados a muerte por el mismo. Antes de cumplirse la sentencia, el Gobernador se arrepintió de su severidad, y decidió indultar a uno de los tres presos. Para procurar que este beneficio recayese en el más inteligente de los tres condenados, dispuso lo siguiente: A la vista de los presos mostró tres tiras de paño blancas, y dos tiras negras. Después, ordenó que a la espalda de cada preso, por separado, se colgase una de estas cinco tiras. Hecho esto permitió que los presos se viesen libremente entre sí, pero que no se comunicasen. Prometió libertad al que primero supiese acertar, con razonamiento infalible, eso sí, el color de su propia tira. El preso A vio que las tiras de B y C eran blancas, y a los pocos segundos pidió ser llevado ante el Gobernador, a quien expuso la respuesta correcta. ¿Qué fue lo que le dijo A y cómo lo razonó? Curiosidades Solución

37 Curiosidades Solución: Sabiendo la inteligencia de sus compañeros, afirmó: !Mi tira es blanca! Porque si fuera negra alguno de los otros dos hubiera podido encontrar la respuesta: El 1º vería blanca+blanca o blanca+negra. Si ocurrió lo primero, su cinta era blanca. Si ocurrió lo segundo, ¿cuál de los otros tendría la blanca?. Si la tira negra la tuviera yo, el otro hubiera acertado al ver que el 1º no contestaba con seguridad, ya que habría visto una blanca y otra negra, en cuyo caso el 2º sabría que la suya era blanca. Luego sabiendo que mis compañeros son inteligentes, yo sé que mi tira tiene que ser blanca.

38 Una de las paradoxas matemáticas del P. Feijóo: En el Discurso séptimo de su Teatro crítico Universal (1729), el P. Benito J. Felióo ( ) ofrece una miscelánea de paradojas sobre cada una de las partes de las matemáticas. Por ejemplo, una de las que hablan de Geometría dice lo siguiente: (Demostración: Téngase en cuenta que las rectas que contie- nen a las plomadas se cortarían en el centro de la Tierra) Dos paredes de un edificio si están bien hechas a plomo, no pueden ser paralelas o equidis- tantes; antes bien, es preciso que disten más una de la otra por la parte superior que por la inferior. Curiosidades

39 Voy a escribir en un papel una proposición, que en el transcurso de la hora de clase, es decir antes de que toque el timbre, se cumplirá o no se cumplirá. Vosotros/as debéis escribir en un papel: SE CUMPLE o NO SE CUMPLE. Lógicamente si se ha cumplido ganan los primeros y si no, los segundos. Y los que ganan no tendrán que hacer el examen de mañana, !!! SUERTE !!!. Pues bien, ¿sabes cuál es la frase escrita por el/la profesor/a?. ¿Me libraré del examen?: Un día previo a un examen de evaluación, el profesor de ma- temáticas dice encontrarse muy generoso y les propone a los alumnos y alumnas una sencilla adivinanza: Solución

40 Curiosidades Solución: Pues bien, ¿sabes cuál es la frase escrita por el/la profesor/a?. HAS ESCRITO: NO SE CUMPLE Para los/as que escribieron SE CUMPLE, no se cumplió la proposición, por lo que como ellos dijeron que se cumplía, no ganaron. Para los/as que escribieron NO SE CUMPLE, se cumplió, pero como ellos habían vaticinado que no se cumpliría, tampoco ganaron. Así que.... LO SIENTO, !! A ESTUDIAR !!

41 Curiosidades La sabia decisión de Sancho Panza: Para presentar otro tipo de paradojas, de cuyo enunciado caben numerosas variantes, parece lo más conveniente reproducir unas páginas del Quijote, en el Capítulo L1 de la Segunda Parte. Es, sin duda, el escrito de CERVANTES más profesionalmente vinculado a la matemática, y se refiere a un episodio del gobierno de Sancho Panza en la ínsula Barataria. He aquí pues, la cuestión que cierto día ofreció un forastero al juicio y sentencia de Sancho Gobernador: – Señor, un caudaloso río dividía dos términos de un mismo señorío... Y esté vuesa merced atento, porque el caso es de importancia y algo dificultoso. Digo, pues, que sobre

42 Curiosidades Si alguno pasare por este puente de una parte a otra, ha de jurar primero a dónde y a qué va; y si jurare verdad, déjanle pasar, y si dijera mentira, muera por ello ahorcado en la horca que allí se muestra, sin remisión alguna. Sabida esta ley y la rigurosa condición de ella, pasaban muchos, que luego en lo que juraban se echaba de ver que decían verdad, y los jueces los dejaban pasar libremente. Sucedió, pues, que tomando juramento a un hombre, juró y dijo, que para el juramento que hacía, que iba a morir en aquella horca que allí estaba, y no a otra cosa. sobre este río estaba un puente, y al cabo de él una horca y una como casa de audiencia, en la cual de ordinario había cuatro jueces que juzgaban por la ley que puso el dueño del río, del puente y del señorío, que era de esta manera:

43 Repararon los jueces en el juramento y dijeron: Si a este hombre le dejamos pasar libremente, mintió en su juramento, y confor-me a la ley debe morir; y habiendo jurado verdad, por la misma ley debe ser libre. Pídese a vuesa merced, señor Gobernador, ¿qué harán los jueces de tal hombre? Que aún agora están dudosos y suspensos; y ha-biendo tenido noticia del agudo y elevado entendimiento de vuesa merced, me enviaron a mí a que suplicase a vuesa merced de su parte, diese su parecer en tan intrincado y dudoso caso. A lo que respondió Sancho: Por cierto que esos señores jueces, que a mí os envían, lo pudieran haber excusado; porque yo soy hombre que tengo más de mostrenco que de agudo; pero, con todo eso, repetidme otra vez el negocio de modo que yo lo entienda; quizá podría ser que diese con el hito. Volvió una y otra vez el preguntante a referir lo que primero había dicho, y Sancho dijo: Curiosidades

44 A mi parecer, este negocio en dos paletas le declararé yo si es así; el tal hombre jura que va a morir en la horca; y si muere en ella juró verdad; y por tal ley puesta merece ser libre, y que pase el puente; y si no le ahorcan juró mentira, y por la misma ley merecen que le ahorquen. -Así es como vuesa merced dice, dijo el mensajero; y en cuanto a la entereza y entendimiento del caso, no hay más que pedir ni que dudar. -Venid acá, señor buen hombre, respondió Sancho; este pasajero que decís, o yo soy un porro, o él tiene la misma razón para morir que para vivir y pasar el puente; porque si la verdad le salva, la mentira le condena igualmente; y siendo así como lo es, soy de parecer que digáis a esos señores que a mí os enviaron, que pues están en fil las razones de condenarle o absolverle, que le dejaran pasar libremente, pues siempre es alabado más el hacer bien que mal; y esto le diera firmado en mi nombre, si supiera mejor firmar; y yo en este caso no he

45 Curiosidades hablado de mío, sino que se me vino a la memoria un precepto, entre otros muchos, que me dio mi amo don Quijote, antes que viviese a ser gobernador de esta ínsula, que fue cuando la justicia estuviese en duda, me decantase y acogiese a la misericordia; y ha querido Dios que agora se me acordase, por venir en este caso como de molde. ¡Buen Sancho Panza!... Podíamos alabar, después de esta lectura, la no fingida modestia que sus contestaciones transparentan, y también su fidelidad al cristiano y cabal precepto que don Quijote le diera.; pero lo que a cualquier matemático debe resultar simpático es su buen deseo de declarar en dos paletas el planteo de una cuestión cuando, como sucede muchas veces, viene estorbada en su comprensión por una multitud de detalles no esenciales. Existen muchos problemas, que pareciendo distintos, son matemáticamente idénticos al que plantea Cervantes.....

46 Curiosidades Demostración: Expresemos los dos factores algebraicamente de la siguiente manera genérica: 5+x y 5+y. Si te das cuenta la demostración de la regla es equivalente a la justificación de la siguiente identidad algebraica, que por otro lado es trivial: (5+x)(5+y) = 10(x+y)+(5-x)(5-y)


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