NÚMEROS ALEATORIOS DEPARTAMENTO DE INFORMATICA UNSL-2007.

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1 NÚMEROS ALEATORIOS DEPARTAMENTO DE INFORMATICA UNSL-2007

2 NUMEROS ALEATORIOS Los números random son un elemento básico en la simulación de la mayoría de los sistemas discretos. Cada número random Ri es una muestra independiente de una distribución uniforme y continua en el intervalo (0,1).

3 NÚMEROS ALEATORIOS 0, x < 0 F(x) x, 0  x  1 1, x<1 1 F(x) 1 1, 0  x  1 f(x) 0, en otro caso 1 f(x) 1 Función de densidad de probabilidad Función de probabilidad acumulada: P(X<= x)

4 NÚMEROS ALEATORIOS * La probabilidad de observar un valor en un particular intervalo es independiente del valor previo observado. * Todo punto en el rango tiene igual probabilidad de ser elegido. * Si el intervalo (0,1) es dividido en n sub-intervalos de igual longitud, el número esperado de observaciones en cada intervalo es N/n. (N número de observaciones totales).

5 El objetivo de cualquier esquema de generación (generador), es producir una secuencia de números entre 0 y 1 que simule las propiedades ideales de distribución uniforme y de independencia. GENERADOR DE NÚMEROS ALEATORIOS

6 NÚMEROS PSEUD0-ALEATORIOS Los números aleatorios son calculados a partir de una semilla (seed) y una fórmula. El problema es que si el método es conocido, entonces la secuencia de números random puede ser replicada. En la práctica ninguna función produce datos aleatorios verdaderos -- las funciones producen números pseudo-aleatorios.

7 La mayoría de los métodos (generadores) comienzan con un número inicial (semilla), a este número se le aplica un determinado procedimiento y así se encuentra el primer número random. Usando este número como entrada, el procedimiento es repetido para lograr un próximo número random. Y así siguiendo. TÉCNICAS PARA GENERAR NÚMEROS ALEATORIOS

8 Método Del Cuadrado Medio: comienza con un número inicial (semilla). Este número es elevado al cuadrado. Se escogen los dígitos del medio de este nuevo número (según los dígitos que se deseen) y se colocan después del punto decimal. Este número conforma el primer número random. Ejemplo: X 0 = 5497 X 0 2 = (5497) 2 = 30,217,009 ===> X 1 = 2170 R 1 = 0.2170 X 1 2 = (2170) 2 = 04,708,900 ===> X 2 = 7089 R 2 = 0.7089 X 2 2 = (7089) 2 = 50,253,921 ===> X 3 = 2539 TÉCNICAS PARA GENERAR NÚMEROS ALEATORIOS

9 Método De Congruencia Lineal: produce una secuencia de enteros X 1, X 2,... entre 0 y m-1 de acuerdo a la siguiente relación recursiva: X i+1 = (a * X i + c) mod m, i=0,1,2,... X 0 es llamado semilla. a es llamado el multiplicador constante. c es el incremento. m es el módulo. El número aleatorio se encuentra de la siguiente manera: R = X / m TÉCNICAS PARA GENERAR NÚMEROS ALEATORIOS

10 Ejemplo: Utilice el método de Congruencia Lineal para generar números aleatorios con las siguiente constantes: X 0 = 27, a = 17, c = 43, m = 100 La secuencia de X i y subsecuentes R i serían: X 0 = 27 X 1 = (17 * 27 + 43) mod 100 = 502 mod 100 = 2 R 1 = 2/100 = 0.02 X 2 = (17 * 2 + 43) mod 100 = 77 mod 100 = 77 R 2 = 77/100 = 0.77 La selección de los parámetros del generador afecta drásticamente las propiedades ideales y la longitud del ciclo. TÉCNICAS PARA GENERAR NÚMEROS ALEATORIOS

11 FUNCIONES DE NÚMEROS (PSEUDO) ALEATORIOS EN LA BIBLIOTECA ESTÁNDAR. El conjunto más simple de funciones es: int rand(void); void srand(unsigned int semilla); Un ejemplo sencillo del uso del tiempo de la fecha es inicializando la semilla a través de una llamada: srand( (unsigned int) time( NULL ) );

12 TEST PARA EL CHEQUEO DE UNIFORMIDAD

13 Test de Kolmogorov-Smirnov: compara la distribución de un conjunto de números generados con una distribución uniforme. Este test compara: la función de Probabilidad Acumulada continua F(x) de una Distribución Uniforme, con la función de Probabilidad Acumulada empírica S N (x), de una muestra de N observaciones.

14 TEST DE KOLMOGOROV-SMIRNOV Por definición, la Función de Probabilidad Acumulada (teórica) uniforme entre 0 y 1 tiene: * F(x) = x, 0<=x<=1 Mientras que una Función de Probabilidad Acumulada Empírica se encuentra: * S N (x) = (cantidad de n.r. generados <=x ) / N Este test se basa en la mayor desviación absoluta entre F(x) y S N (x) sobre todo el rango de variable random. Esto es:D = max|F(x) - S N (x)| La distribución de D está tabulada como una función de N.

15 Ejercitación de Distribución Empírica (S N (x)) Si no se conoce la probabilidad de un fenómeno se debe trabajar con las distribuciones empíricas ( basadas en frecuencias). Ejemplo: Que distribución tiene la siguiente secuencia de números?: 3-4-5-3-4-5-3-6-4-3 344/10=0.44/10=0.4 433/10=0.37/10=0.7 522/10=0.29/10=0.9 611/10=0.1 10/10=1 valor cantidad frel. frelAcum

16 El test procede de la siguiente manera: 1- Ordena los datos de menor a mayor: R (1) <=R (2) <=... <= R (N) (R (i) denota la observación más pequeña.) 2- Computa: D + = max { i/N - R (i) }, 1<=i<=N D - = max { R (i) - (i-1)/N}, 1<=i<=N 3- Computa D  = max (D +,D - ).

17 Ejemplo (continuación) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.03 0.32 0.58

18 El test procede de la siguiente manera (continuación): 4- Determina el valor cr í tico, D  para el nivel de significancia alfa y tama ñ o de muestra N, (estos valores est á n tabulados). 5- Si la muestra estad í stica diferencia ha D es mas grande que el valor cr í tico, D , la hip ó tesis nula es rechazada. Si D <= D  concluye que ninguna diferencia significativa ha sido detectada entre la verdadera distribuci ó n de {R 1,R 2..., R N } y la distribuci ó n uniforme.

19 Ejemplo Para Ejecutar Test De Uniformidad (Kolmogorov - Smirnov) Suponer que se generaron cinco números random y que se desea ejecutar el test de K.S. para un nivel de significancia  = 0.05 Orden cronológico: Orden numérico creciente: R1R2R3 R5 0.030.580.870.320.95 R(1)R(2)R(3) R(5) 0.030.320.580.870.95

20 0 D.Teórica F(x) = R(i) 0.030.320.580.870.95 D.Empírica S N (x)= i/N 0.20.40.60.81 i/N – R(i) (D+ :dif. sup.) 0.17 0.080.020.05 R(i) - (i-1)/N (D- :dif. inf.) 0.030.120.18 0.27 0.15 Evaluación: Ejemplo (continuación) Continuar este ejemplo.....

21 GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS EMPÍRICAS TÉCNICA DE LA TRANSFORMADA INVERSA DEPARTAMENTO DE INFORMATICA UNSL-2007

22 GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS EMPÍRICAS DISCRETAS Suponga que un determinado fenómeno aleatorio tiene la siguiente distribución de probabilidad:

23 0.33 0.91 TECNICA DE LA TRANSFORMADA INVERSA (Generalización de Montecarlo)

24

25 0  R  0.3 entonces x = 20 grs. 0.3 < R  0.7 entonces x = 19 grs. 0.7 < R  1 entonces x = 18 grs. TECNICA DE LA TRANSFORMADA INVERSA (Generalización de Montecarlo)

26 Transformada Inversa Distribuciones Empíricas Continuas Suponga que se han coleccionado 100 tiempos de reparación de un elemento

27 Transformada Inversa Distribuciones Contínuas F(x) Como no se conoce la D. Acum. Teórica, trabajo con la D. Empìrica

28 Transformada Inversa Gráficamente: Generamos R i = 0.83 vamos hasta la curva y encontramos X i XiXi

29 Transformada Inversa Algebraicamente: Dado R i = 0.83 (entre 0.66 y 1), X i es computado por una interpolación lineal entre 1.5 y 2

30 Transformada Inversa Algebraicamente: Dado R i = 0.83 (entre 0.66 y 1), X i es computado por una interpolación lineal entre 1.5 y 2 1.75 0.83