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Álgebra, ecuaciones y sistemas 1.Las letras en las matemáticas: las expresiones algebraicasLas letras en las matemáticas: las expresiones algebraicas 2.Transformación.

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1 Álgebra, ecuaciones y sistemas 1.Las letras en las matemáticas: las expresiones algebraicasLas letras en las matemáticas: las expresiones algebraicas 2.Transformación de expresiones algebraicas: operaciones con monomiosTransformación de expresiones algebraicas: operaciones con monomios 3.Polinomios. Operaciones con polinomiosPolinomios. Operaciones con polinomios 4.Identidades notables. FactorizaciónIdentidades notables. Factorización 5.Ecuaciones de primer grado con una incógnita: sencillas y con denominadoresEcuaciones de primer grado con una incógnita: sencillas y con denominadores 6.Utilización de ecuaciones de primer grado para la resolución de problemasUtilización de ecuaciones de primer grado para la resolución de problemas 7.Ecuaciones de segundo grado con una incógnitaEcuaciones de segundo grado con una incógnita 8.Número de soluciones de la ecuación de segundo grado. Interpretación gráficaNúmero de soluciones de la ecuación de segundo grado. Interpretación gráfica 9.Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Representación gráficaEcuaciones de primer grado con dos incógnitas. Representación gráfica 10.Sistemas de ecuaciones de primer grado. Resolución gráfica y discusiónSistemas de ecuaciones de primer grado. Resolución gráfica y discusión 11.Métodos algebraicos de resolución de sistemasMétodos algebraicos de resolución de sistemas 12.Resolución de problemas con sistemasResolución de problemas con sistemas 1 Índice del libro

2 Álgebra, ecuaciones y sistemas 1. Las letras en las matemáticas: Las expresiones algebraicas 1 Expresión algebraica: expresión matemática de un conjunto de operaciones entre números (los datos conocidos) y letras (las incógnitas o variables). Los elementos de una expresión algebraica son: Variables: son las cantidades desconocidas que se representan con letras. Términos: Cada uno de los sumandos de la expresión algebraica. Cada término tiene una parte literal (letras) y parte numérica (coeficiente). EXPRESIÓN ALGEBRAICA Ejemplo: expresión algebraica de una superficie ¿Cuál es la superficie total de las dos parcelas?

3 Álgebra, ecuaciones y sistemas 2. Transformación de expresiones algebraicas: operaciones con monomios 1 Monomio: expresión algebraica de un solo término en la que hay un número que multiplica a una o varias variables (con exponente natural). Grado de un monomio: número de letras que tiene su parte literal. Se calcula sumando los exponentes. Dos monomios son semejantes cuando sus partes literales son iguales. MONOMIOS Ejemplos: monomios

4 Álgebra, ecuaciones y sistemas 2. Transformación de expresiones algebraicas: operaciones con monomios 1 Solo se pueden sumar y restar monomios semejantes. Para sumar o restar monomios semejantes, se suman o se restan sus coeficientes y se deja la misma parte literal. SUMA Y RESTA DE MONOMIOS Ejemplos: suma de monomios  Suma

5 Álgebra, ecuaciones y sistemas 2. Transformación de expresiones algebraicas: operaciones con monomios 1 Para multiplicar o dividir monomios no es necesario que sean semejantes. Basta con operar los coeficientes por un lado y las letras (parte literal) por otro utilizando las propiedades de las potencias. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE MONOMIOS Ejemplos: multiplicación y división de monomios  Multiplica  Divide

6 Álgebra, ecuaciones y sistemas 3. Polinomios. Operaciones con polinomios 1 Polinomio: suma de monomios. Cada uno de los monomios que lo forman se llama término. El grado de un polinomio viene dado por el término de mayor grado. Los números que multiplican a las letras en cada término se llaman coeficientes. Un polinomio puede tener varias letras diferentes, llamadas variables. Vamos a estudiar polinomios con una sola variable, x, P(x) POLINOMIOS Ejemplos: tipos de polinomios

7 Álgebra, ecuaciones y sistemas 3. Polinomios. Operaciones con polinomios 1 Para sumar dos polinomios se agrupan sus términos semejantes y se suman. Para restar dos polinomios sumamos al minuendo el opuesto del sustraendo. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS Ejemplos: suma y resta de polinomios

8 Álgebra, ecuaciones y sistemas 3. Polinomios. Operaciones con polinomios 1 Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de los polinomios por todos los términos del otro polinomio y después se agrupan los términos semejantes obtenidos. PROCUCTO DE DOS POLINOMIOS Ejemplo: producto de polinomios

9 Álgebra, ecuaciones y sistemas 3. Polinomios. Operaciones con polinomios 1 Para dividir dos polinomios debemos seguir un procedimiento que tiene varios pasos. Vamos a ver con un ejemplo como se dividen dos polinomios. DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOS Ejemplo: división de dos polinomios 1 de 4 Vamos a dividir el polinomio entre el polinomio 1.El grado del polinomio dividendo debe ser mayor que el grado del polinomio divisor y ambos deben colocarse con sus términos ordenados en forma decreciente:

10 Álgebra, ecuaciones y sistemas 3. Polinomios. Operaciones con polinomios 1 Ejemplo: división de dos polinomios 2 de 4 2.Se divide el término de mayor grado del dividendo entre el término de mayor grado del divisor. Este resultado es el primer término del cociente: 3.Se multiplica el término obtenido en el cociente por todos los términos del divisor, se ponen los monomios obtenidos debajo de los términos semejantes correspondientes del dividendo con el signo contrario del obtenido y después se suman. Se baja el siguiente término del dividendo 4x :

11 Álgebra, ecuaciones y sistemas 3. Polinomios. Operaciones con polinomios 1 Ejemplo: división de dos polinomios 3 de 4 4.De nuevo, dividimos el término de mayor grado del nuevo dividendo entre el término de mayor grado del divisor A continuación se multiplica el cociente obtenido por el divisor, los términos obtenidos se ponen cambiados de signo debajo de los términos semejantes correspondientes del dividendo y después se suman:

12 Álgebra, ecuaciones y sistemas 3. Polinomios. Operaciones con polinomios 1 Ejemplo: división de dos polinomios 4 de 4 5.Continuamos con este proceso hasta que el grado del dividendo sea menor que el grado del divisor. En este caso ya hemos llegado en el dividendo a 9, con lo que hemos terminado la división y este 9 será el resto de la misma.

13 IDENTIDADES NOTABLES Cuadrado de una suma Cuadrado de una diferencia Suma por diferencia de dos cantidades iguales Álgebra, ecuaciones y sistemas 4. Identidades notables. Factorización 4.1. Identidades notables 1

14 Álgebra, ecuaciones y sistemas 4. Identidades notables. Factorización 4.2. Factorización de polinomios 1 Factorizar un polinomio: expresarlo como producto de factores irreducibles. Para factorizar un polinomio se pueden utilizar varias estrategias: unas veces podremos hacerlo sacando factor común, otras, aplicaremos las igualdades notables. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Ejemplos: factorización de polinomios  Factorizar

15 Álgebra, ecuaciones y sistemas 5. Ecuaciones de primer grado con una incógnita: sencillas y con denominadores 1 Una ecuación es de primer grado con una incógnita cuando solo tiene una variable y el mayor exponente de la variable es 1. Resolver una ecuación de primer grado con una incógnita consiste en encontrar el valor de la letra x que hace que se verifique la igualdad: este valor se llama solución de la ecuación. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Ecuación ¿Primer grado con una incógnita? Sí No Sí

16 Álgebra, ecuaciones y sistemas 5. Ecuaciones de primer grado con una incógnita: sencillas y con denominadores 1 Ecuaciones son equivalentes: tienen la misma solución. Para resolver ecuaciones debemos de ir transformando la ecuación que nos dan en otra equivalente que sea fácil de resolver. Para ello, podemos hacer algunas transformaciones que mantienen la equivalencia. ECUACIONES EQUIVALENTES Transformación equivalenteRegla prácticaEjemplo Regla de la suma: sumar o restar la misma expresión en ambos miembros de la ecuación. Si un término está sumando en un miembro, pasa al otro restando, y si está restando, pasa sumando. Regla del producto: multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número distinto de cero. Si un número está multiplicando en un miembro, pasa al otro dividiendo, y si está dividiendo, pasa multiplicando.

17 Álgebra, ecuaciones y sistemas 5. Ecuaciones de primer grado con una incógnita: sencillas y con denominadores 1 Pasos para resolver una ecuación de primer grado con denominadores a)Quitar denominadores. Se calcula el m.c.m. de los denominadores, se divide este m.c.m. por cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador. b)Quitar paréntesis. Operamos teniendo en cuenta la regla de los signos: un signo menos delante de un paréntesis cambia todos los signos que hay dentro del mismo. c)Transponer los términos con x. Lo que está sumando pasa al otro miembro restando, y lo que está dividiendo pasa multiplicando. De esta forma, pasamos las letras al primer miembro, y los números quedan en el segundo. d)Simplificar y reducir términos semejantes en cada miembro. e)Despejar la incógnita y simplificar si es necesario.

18 Álgebra, ecuaciones y sistemas 6. Utilización de ecuaciones de primer grado para la resolución de problemas 1 1.Lectura y comprensión del enunciado del problema. Hay que entender los datos, las preguntas, y cuáles es la incógnita. 2.Planteamiento de la ecuación y resolución. Se plantea la relación traduciendo al lenguaje algebraico. Se escribe la ecuación y se resuelve. 3.Comprobación. Se escriben las respuestas a las preguntas del enunciado y se comprueba la solución. RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Tipo de problemaPosibles estrategias Móviles Utilizar la ecuación Geométricos Realizar un dibujo de la situación asignando los datos conocidos Numéricos Intentar asociar la incógnita con el número menor Edades Hacer una tabla organizando las edades Mezclas Hacer una tabla con la información de cada sustancia y de la mezcla

19 Álgebra, ecuaciones y sistemas 7. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita 7.1. Resolución de ecuaciones incompletas 1 Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una expresión algebraica de la forma a · x 2 + b · x + c = 0 donde a, b y c son números reales y a ≠ 0  Si c = 0, entonces, la ecuación a resolver es a · x 2 + b · x = 0 Estas ecuaciones se resuelven sacando x factor común Una solución es x = 0  Si b = 0, entonces, la ecuación a resolver es a · x 2 + c = 0 Se resuelve despejando x 2 y haciendo la raíz cuadrada  Si b = 0 y c = 0, entonces, la ecuación a resolver es a · x 2 = 0 La solución es x = 0 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

20 Álgebra, ecuaciones y sistemas 7. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita 7.2. Resolución de ecuaciones completas 1 Las soluciones de una ecuación de segundo grado completa se obtienen con la siguiente fórmula: SOLUCIÓN ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA Ejemplo: resolver una ecuación de segundo grado

21 Álgebra, ecuaciones y sistemas 8. Número de soluciones de la ecuación de segundo grado. Interpretación gráfica 1 Discriminante Δ Número de soluciones Δ > 0dos soluciones distintas Δ = 0una solución Δ < 0la ecuación no tiene solución (en los Números Reales) NÚMERO DE SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO El número de soluciones de una ecuación de segundo grado depende del signo del discriminante:

22 Álgebra, ecuaciones y sistemas 8. Número de soluciones de la ecuación de segundo grado. Interpretación gráfica 1 INTERPRETACIÓN GRÁFICA

23 Álgebra, ecuaciones y sistemas 8. Número de soluciones de la ecuación de segundo grado. Interpretación gráfica 1 REPERESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CASOS POSIBLES DE CORTE Δ > 0 Δ = 0Δ < 0

24 Álgebra, ecuaciones y sistemas 9. Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Representación gráfica 1 Una ecuación de primer grado con dos incógnitas también se denomina ecuación lineal y es una expresión de la forma Los puntos ( x, y ) forman una recta, por eso se llama ecuación lineal. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS O ECUACIÓN LINEAL Ejemplo: dibujar la gráfica de una ecuación lineal

25 Álgebra, ecuaciones y sistemas 10. Sistemas de ecuaciones de primer grado. Resolución gráfica y discusión 1 Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es un conjunto formado por dos ecuaciones lineales que se cumplen a la vez La solución del sistema es un par de números ( x, y ) que verifican las dos ecuaciones. Un par de números representa un punto en el plano. Cada ecuación lineal que forma el sistema representa una línea recta.  Sistema compatible determinado: las rectas se cortan en un punto. Solución única.  Sistema incompatible: las rectas son paralelas, no se cortan. El sistema no tiene solución.  Sistema compatible indeterminado: las dos ecuaciones representan la misma recta, una ecuación se puede obtener multiplicando la otra por un número. Hay infinitas soluciones. SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

26 Álgebra, ecuaciones y sistemas 10. Sistemas de ecuaciones de primer grado. Resolución gráfica y discusión 1 1.Hacemos la tabla correspondiente a cada una de las ecuaciones 2.Representamos gráficamente las dos rectas en unos ejes de coordenadas 3.Hallamos gráficamente el punto de corte de las dos rectas RESOLUCIÓN GRÁFICA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Ejemplo: resolución gráfica de un sistema de ecuaciones

27 Álgebra, ecuaciones y sistemas 11. Métodos algebraicos de resolución de sistemas 11.1. Método de sustitución 1 SUSTITUCIÓN Pasos a seguir 1.Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones Despejamos la x en la primera 2.Se sustituye la incógnita despejada en la otra ecuación Sustituimos la x en la segunda 3.Se resuelve la ecuación 4.Se halla la incógnita que falta

28 Álgebra, ecuaciones y sistemas 11. Métodos algebraicos de resolución de sistemas 11.2. Método de igualación 1 IGUALACIÓN Pasos a seguir 1.Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones 2.Se igualan las dos expresiones obtenidas y se tiene una ecuación de primer grado 3.Se resuelve la ecuación 4.Se halla la otra incógnita sustituyendo en alguna ecuación

29 Álgebra, ecuaciones y sistemas 11. Métodos algebraicos de resolución de sistemas 11.3. Método de reducción 1 REDUCCIÓN Pasos a seguir 1.Mediante multiplicaciones igualamos los coeficientes de una de las incógnitas en las dos ecuaciones 2.Se suman o restan las ecuaciones para eliminar una de las incógnitas 3.Se resuelve la ecuación 4.Se halla la incógnita que falta mediante sustitución

30 Álgebra, ecuaciones y sistemas 12. Resolución de problemas con sistemas 1 Cuando en un problema aparecen dos incógnitas, tendremos que plantear dos ecuaciones para poder resolverlo. RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Ejemplo: problema con dos incógnitas y dos ecuaciones El perímetro de un triángulo isósceles mide 75 cm y cada uno de los lados iguales mide el doble que el lado desigual. ¿Cuánto mide cada lado?


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