2. Funciones de variable compleja

Presentación del tema: "2. Funciones de variable compleja"— Transcripción de la presentación:

1 2. Funciones de variable compleja
Gary Larson

2 Conjuntos de puntos en el plano complejo
Un conjunto S de puntos en el plano complejo es cualquier colección finita o infinita de puntos en el plano complejo. Por ejemplo las soluciones de una ecuación cuadrática, los puntos de una línea, los puntos del interior de un círculo, etc. ¿Qué lugares geométricos describen las siguientes ecuaciones? La ecuación Arg z=  define una semirecta infinita de pendiente . Entonces la desigualdad anterior define un sector infinito comprendido entre las semirectas infinitas Arg z=  y Arg z= . (...)

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5 Un conjunto de puntos S se llama abierto si cada punto de
S tiene un vecindad constituida enteramente por puntos que pertenecen a S. Por ejemplo los puntos del interior de un círculo o un cuadrado. El complementario de un conjunto de puntos S es el conjunto de todos los puntos que no pertenecen a S. Un conjunto de puntos S se llama cerrado si su complementario es abierto. Ej.: los puntos sobre y dentro de una circunferencia o un cuadrado, puesto que sus complementarios (los puntos exteriores a la circunferencia o al cuadrado) son abiertos.

6 z ¿C es abierto o cerrado? a
La distancia entre dos puntos z y a es |z-a|. De modo que un círculo C de radio  y centrado en a, puede expresarse como: |z-a| =  a  x y z ¿C es abierto o cerrado? x y 1 i En particular, el círculo de radio unidad centrado en el origen puede escribirse como: |z| = 1

7 |z-a| <  (un entorno abierto centrado en a).
Los puntos dentro del círculo C vienen representados por: |z-a| <  (un entorno abierto centrado en a). a  x y z 0 < |z-a| <  define un entorno punteado o reducido. z x y a  define un entorno circular cerrado centrado en a.

8 El anillo abierto de radios 1 y 2, viene
x y 2 El anillo abierto de radios 1 y 2, viene dado por: 1 < |z-a| < 2

9 (1) Determina la región en el plano complejo dada por: |z-3-i| ≤ 4
x y 3+i Es la región circular cerrada de radio 4 con centro en 3+i. (2) Determina las regiones: (a) |z|<1; (b) |z| ≤ 1; (c) |z| >1 (a) Círculo unidad abierto (b) Círculo unidad cerrado (c) Exterior del círculo unidad.

10 Re(z)  1 (No es un conjunto abierto).

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12 ¿Qué lugar geométrico describe la siguiente ecuación?
Una elipse de focos en -2 y 2 (suma de distancias a los focos igual a 5) con semieje mayor igual a 5/2). Ejercicio: ¿Qué representan las siguientes ecuaciones? 2 -2

13 ¿Qué lugar geométrico describen las siguientes ecuaciones:
Nota: Busca las definiciones de parábola e hipérbola.

14 Un punto interior de un conjunto S es un punto para el que
podemos encontrar un entorno o vecindad cuyos puntos pertenecen todos a S. Por ejemplo, el centro de un círculo. Un punto frontera de un conjunto S es un punto tal que todo entorno alrededor de él contiene puntos que pertenecen a S y que no pertenecen a S. Por ejemplo los puntos que forman la frontera de un círculo. Si un punto no es interior ni frontera de un conjunto de puntos S, entonces es un punto exterior a S. Entonces, si S es abierto no posee puntos frontera, solo puntos interiores. Si S es cerrado posee también a sus puntos frontera. Algunos conjuntos no son ni abiertos ni cerrados. Contienen algunos puntos frontera. Por ejemplo un entorno punteado. El plano complejo C es abierto y cerrado a la vez. No posee puntos frontera.

15 Una región es un conjunto formado por un dominio, más,
quizás, algunos o todos sus puntos frontera (Cuidado: algunos autores usan región para indicar dominio). Un conjunto es acotado si todo punto de S está dentro de algún círculo |z| = R. En caso contrario es no acotado. Un punto de S se dice que es de acumulación si cada entorno punteado del mismo contiene al menos un punto de S. Entonces, si S es cerrado contiene a todos sus puntos de acumulación. Un punto no es de acumulación si existe un entorno punteado del mismo que no contenga puntos de S. P.ej.: Todos los puntos del conjunto S = {i/n} (n = 1,2,...) no son de acumulación a excepción del cero.

16 Semiplanos infinitos Semiplano superior: el conjunto de todos los
x y Semiplano superior: el conjunto de todos los puntos z = x+iy tales que y > 0 o Im(z) > 0. Inferior: z = x+iy tales que y < 0 o Im(z) < 0. x y Derecho: z = x+iy tales que x > 0 o Re(z) > 0. x y Izquierdo: z = x+iy tales que x < 0 o Re(z) < 0 x y ¿Qué regiones describen? Im(z) = 0, (b) Im(z) = a, (c) Re(z) = 0, (d) Re(z) = a

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18 Conjuntos de Julia Iteración: Condición inicial y órbita:
Cuando decía en 1980 a mis amigos que estaba trabajando con H. Hubbard en el estudio de polinomios de grado 2 en variable compleja (y más específicamente en z  z2 + c ), me preguntaban: ¿Esperas encontrar alguna cosa nueva?  Adrien Douady Iteración: Condición inicial y órbita: Gaston Maurice Julia Utilizando la identidad de Moivre:

19 En el paso enésimo tendremos:
Si comenzamos con un número complejo de módulo r < 1, sucesivamente el módulo irá disminuyendo hasta tomar valor r = 0 para n infinito. Al contrario, si r > 1 el módulo aumentará exponencialmente, tendiendo a infinito. El caso frontera, r = 1, mantendrá los valores de la iteración en un círculo de radio unidad sobre el plano complejo.

20 De modo que todos los puntos del plano complejo
pertenecen a uno de estos dos conjuntos:  Si escapan al infinito (r > 1): conjunto de escape E. En este caso los puntos exteriores del círculo unidad.    (b) Si permanecen recluidos en una región finita (r  1): conjunto prisionero P. En este caso el círculo unidad cerrado. La frontera de P (r = 1) es el conjunto de Julia de esta iteración: la circunferencia unidad.

21 Julia centró sus estudios en el conjunto de iteraciones cuadráticas:
Fijado el parámetro complejo c establecemos una iteración cuadrática en concreto. Sumar c = a + ib, consiste en una traslación. Al potenciar el módulo, la iteración nos manda al origen o al infinito, excepto para el módulo de valor 1 (con c = 0). Elevar al cuadrado implica multiplicar el ángulo por dos.

22 c = 0.275 c = 1/4 c = 0 c = -3/4 c = -1.312 c = -1.375 c = -2 c = i
c = 0.275 c = 1/4 c = 0 c = -3/4 c = c =   c = -2  c = i c=(+0.285,+0.535)    c=(-0.125,+0.750) c=(-0.500,+0.563) c=(-0.687,+0.312)

23 ¿Cómo discriminar si un punto del plano complejo
pertenece o no al conjunto de escape Ec? Existe un sencillo criterio: Si |z|  |c| y |z| > 2, entonces z es un punto de escape de la iteración zn+1 = zn2 + c. Supongamos que definimos r(c) = max (|c|, 2), y que se cumplen las condiciones del criterio. Entonces, existe un  > 0 tal que r(c) = 2 +  y |z|  r(c).

24 Observemos que:    |z2 + c|  |z2| - |c| = |z|2 - |c|  |z|2 - |z| = (|z| - 1)·|z| Recordemos que |z|  r(c) = 2 +  . Entonces: (|z| - 1)·|z|  (1 + )·|z|.    En conclusión, si z cumple las condiciones previas, entonces:    |z2 + c|  (1 + )·|z|.   De modo que en cada iteración el módulo del nuevo valor crece.

25 Ultrafractal (UF) probablemente es el programa de generación
Curso de fractales en nuestra página del departamento: Fractint/Winfract Ultrafractal (UF) probablemente es el programa de generación de fractales más usado por la comunidad de ciberartistas que experimentan con fractales. Puedes bajarte una versión de evaluación en la página oficial del programa. No te pierdas la galería de imágenes en: Te harás una idea de las posibilidades de UF. Ejecutar Ultrafractal localmente.

26 Conjuntos conexos Un conjunto S se llama conexo si cualquier par de sus puntos pueden conectarse mediante un camino formado por puntos que pertenecen a S. Un abierto conexo se denomina dominio (en algunos textos se denomina región). P.ej.: todo entorno es un dominio. ¿Son los siguientes conjuntos de puntos dominios? a 1 x y 2 Un anillo abierto a  x y Un disco abierto   x y Un cuadrado abierto sin diagonal.  No existe camino entre el triángulo inferior y el triángulo superior.

27 Teorema: Cualesquiera dos puntos de un dominio pueden unirse por medio de una línea poligonal contenida en el dominio.

28 El conjunto de Mandelbrot
Benoit Mandelbrot (1924 -)

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30 El valor de c determina si un conjunto de Julia es conexo o no.
Para determinar qué valores de c producen conjuntos de Julia conexos parece que no quede más remedio que determinar cada conjunto iterando todos los puntos del plano complejo para cada función z2 + c. Afortunadamente, se puede demostrar que basta con iterar z0 = (0, 0) para cada c.    

31 Si la órbita con semilla z0 = (0, 0) no escapa al infinito,
entonces el conjunto de Julia es conexo. El conjunto de todos los valores c tales que sus correspondientes conjuntos de Julia son conexos forman en el plano complejo el famoso conjunto de Mandelbrot. Este es el dibujo original que Mandelbrot descubrió a la comunidad científica a finales de los 70 cuando trabajaba en el centro de investigación Thomas J. Watson.    

32 En la figura de la izquierda están representados algunos conjuntos de Julia con distintos valores de c (indicados en el plano complejo por las líneas de color azul). Para valores de c dentro del conjunto de Mandelbrot la forma de los conjuntos de Julia es semejante a círculos. Fuera del conjunto tenemos nubes de puntos desconectados (conjuntos de Julia no conexos). Los conjuntos de Julia más interesantes estéticamente se observan en la frontera. Las formas dendríticas de los conjuntos de Julia corresponden a las fronteras filamentosas del conjunto de Mandelbrot. En la imagen inferior puedes observar un gif animado del efecto de la variación continua del parámetro c en las formas de los conjuntos J a lo largo de una línea que va desde la frontera de M (forma dendrítica) hasta su interior (forma circular). 

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38 Funciones complejas Sea S un conjunto de números complejos z = x+iy.
Una función f definida sobre S es una regla que asigna a cada z en S un número complejo w llamado valor de f en z. w = f(z) z es una variable compleja. S es el dominio de definición de f. El conjunto de valores de la función f se llama rango de f. Como w es complejo (w = u+i v; con u y v reales) podemos escribir: w = f(z) = u(x,y) + i v(x,y) Una función compleja f(z) es equivalente a un par de funciones reales u(x,y) y v(x,y), cada una dependiente de dos variables reales x e y.

39 Ejemplos: ¿Cuáles son los dominios de definición de estas funciones?
Función de variable compleja ¿Cuáles son los dominios de definición de estas funciones? Parte real Parte imaginaria ¿Cuál es el valor de en ?

40 Ejemplos: Polinomios de grado n: donde c0, c1...cn son constantes complejas y cn es distinto de cero. Funciones racionales (cocientes de polinomios): Si en f(z) = u+iv, v = v(x,y) = 0, entonces f es una función de variable compleja con valores reales. P.ej.: f(z)= |z|2 = x2 + y2 .

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42 Funciones de variable real
Representación geométrica cartesiana Funciones de variable real Variable real Asignación

43 Funciones de variable compleja
¿Cómo representarlas geométricamente? Parte imaginaria Imagen Preimagen. ¿Cuál es la otra? Asignación Parte real

44 Representación mediante dos planos: z y w
Plano w Plano z ¿Cómo transforman ?

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46 Transformaciones mediante funciones lineales
Existen muchas situaciones prácticas donde podemos simplificar un problema mediante una transformación en el plano complejo. Translación: Rotación alrededor del origen y alargamiento/contracción:

47 Funciones lineales Translación Rotación y alargamiento/contracción
Ejemplo: Esta función transforma el cuadrado A en el cuadrado B.

48 La función/transformación
Plano w Plano z ¿Es biyectiva la transformación?

49 Plano z Plano w ¿Cómo puede ser? Si a cada punto de la semicircunferencia del plano z le corresponde un solo punto del plano w, ¿cómo media circunferencia se transforma en una entera? ¿No hay el doble de puntos en una circunferencia que en media?

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52 En general Curva en el plano z Curva en el plano w Transformación f(z)
Obtenemos la transformación de la parametrización: Parametrizamos la curva: Y de aquí la curva transformada: Transformación f(z)

53 ¿En qué curva se transforma una circunferencia de radio
unidad centrado en el origen a través de la función f(z)=z2? Circunferencia de radio unidad centrada en el origen: Parametrizamos. Todos los puntos de la cincurferencia pueden expresarse como: La transformación es: Usando la parametrización: En componentes: Que nos proporciona la curva: La imagen traza una circunferencia de radio unidad centrada en el origen dando dos vueltas.

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55 Encuentra la imagen de la línea Re(z) = 1 bajo la transformación f(z) = z2.
Re(z) = x = 1,

56 ¿En qué curvas se transforman rectas verticales en el plano z a través de la función f(z)=z2 en el plano w? La ecuación de un parábola abierta hacia la izquierda: con vértice en (k2, 0) y foco en el origen. Idem para rectas horizontales (pero serán parábolas hacia la derecha):

57 Douglas N. Arnold http://www.ima.umn.edu/~arnold/complex.html
Tomemos como dominio un rectángulo con esquinas en ±3/2±3/2i. Observa como las líneas verticales, formadas por complejos de parte real constante, se convierten en parábolas abiertas hacia la izquierda. Y las líneas horizontales, formadas por números complejos de parte imaginaria constante, en parábolas abiertas a la derecha. Observa también como los ángulos entre rectas amarillas y rosas siguen siendo rectos: la transformación es conforme. . Douglas N. Arnold

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61 Observa que puesto que la transformación w = f(z) = z2 es: Los puntos z sobre la hipérbola x2 – y2 = k se transforman en lineas u = k. Los puntos z sobre la hipérbola 2xy = k’ se transforman en lineas v = k’.

62 f(z) = z http://winnie.fit.edu/~gabdo/function.html 2
Esquema de color dependiente del valor real Dominio Rango

63 f(z) = z 3 Esquema de color dependiente del argumento Dominio Rango

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65 Límite de una función compleja
Una función f(z) se dice que tiene límite w0 cuando z tiende a z0, y se escribe: si f está definida en un entorno de z0 (a excepción tal vez de z0 mismo) y si:  real  > 0,  un real  > 0:  z  z0 , y |z - z0| < , entonces |f(z) - w0| < . y v   En general =(, z0) Si el límite existe, es único. z0 w0 f(z) z u x Es decir: si dado un entorno de radio  alrededor del límite, podemos determinar un entorno de radio (, z0) alrededor de z0.

66 Observemos que como en el caso de variable real, la definición
de límite no nos dice cómo encontrarlo. Demostremos que: Utilizando la notación anterior, tenemos en este caso: Tomando  = , por ejemplo, siempre se cumple. Ejercicio: Demostrar que si el límite existe, es único. (Nota: Suponer dos valores distintos para el límite, aplicar definiciones y demostrar entonces que ambos valores han de ser, a la fuerza, el mismo).

67 ¿Cuál es el equivalente a límite por la derecha y por la izquierda
de variable real en el caso de variable compleja? En el plano complejo podemos acercarnos al límite a través de una infinidad de trayectorias. Por ejemplo: Toda vecindad de z0 contiene valores de Arg z en el segundo cuadrante arbitrariamente cerca de , pero también del tercer de Acercándonos por C1 y por C2 obtenemos dos valores distintos del límite.

68 Ejemplo Esta función no está definida para z = x+iy = 0, (x = 0, y = 0). Veamos que no existe el límite de la función cuando z tiende a 0. Nos aproximamos al origen a lo largo del eje y. Tomando x=0 en f(z), tenemos: Que se aproxima a i, a medida que nos acercamos al origen. (2) Tomando y=0 nos aproximamos a lo largo del eje x: Que tiende a 1. Como el límite por ambos caminos no coincide, el límite no existe.

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70 Ejercicios: (1) Sean: Entonces: Nota: Utilizar la definición de límite y la desigualdad: (2) Demostrar que si

71 Propiedades de los límites
Sean w0 y w'0 los límites, cuando z tiende a z0, de f(z) y g(z) respectivamente. Entonces: En particular si f(z) = g(z) = z : y por inducción: Como además: Entonces, para un polinomio P(z) = a0+a1z+...+anzn, tendremos: Nota: Es fácil demostrar estas propiedades a partir de u(x,y) y v(x,y).

72 Ejercicio: Demostrar que

73 Punto del infinito

74 Punto del infinito El número complejo infinito o punto del infinito,
denotado por , no posee signo ni argumento. Su módulo es mayor que |z| para todo z complejo. ¿Es un punto del plano complejo? No es localizable, pero sí “alcanzable” a través de cualquier trayectoria en la que |z| sea creciente. Se “opera” como en los reales. Por ejemlo: z / = 0, z/0 = , etc. Cuando el plano complejo incluye al punto del infinito , hablamos de plano complejo extendido.

75 Ejemplo: Sea Determina la imagen para z = ∞. Cuando z tiende a infinito obtenemos f(z) = 1. Nota. Una forma alternativa de encontrar el valor en el infinito es encontrar la imagen de 1/z para z =0.

76 Algunas relaciones útiles:

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79 Sol.: a) 4, b) ∞, c) ∞, d) 0, e) No existe, f) 6i.
Sol.: No existe.

80 La esfera de Riemann Bernhard Riemann (1826 - 1866)
Esfera de radio unidad centrada en el cero del plano complejo. Proyección estereográfica: hacemos corresponder cada punto del plano con un punto de la esfera como muestra la gráfica. El polo norte N de la esfera corresponde al punto del infinito. Bernhard Riemann ( )

81 Ahora ya podemos definir límites al infinito. Si
para todo real  > 0,  un real > 0: |f(z) - w0| <  para todo z: |z|> 1/. Otra forma de la esfera de Riemann O: si para todo real  > 0,  un real  > 0: |f(z)| < 1/ siempre que |z - z0| < .

82 Espirales esféricas de M.C. Escher
La proyección estereográfica tiene dos propiedades importantes: las circunferencias siempre se transforman en circunferencias y la transformación conserva ángulos. Espiral de Arquímedes. Dado que , la ecuación anterior solo representa una espira de la espiral.

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85 Funciones complejas continuas
Una función f(z) se dice que es continua en z = z0 si f(z0) está definida en z0 y Decimos que f(z) es continua en una región si es continua en todo punto de la región. (Nota: si en el límite  = (, z0) no depende de z0, la continuidad es uniforme). Ejercicio:Las sumas, diferencias y productos de funciones continuas son continuas. El cociente de dos funciones continuas es continuo salvo en los puntos en que se anula el denominador. La composición de funciones continuas es continua. Sea f(z) = u(x,y) + iv(x,y), entonces u y v serán continuas en todo punto en el que f(z) lo sea. Y a la inversa: f(z) será continua en todo punto en que u(x,y) y v(x,y) lo sean.

86 Ejemplo: Sea: ¿Es continua f(z) en z = i? (1) f(i) = 3i está definido. (2) Calculemos el límite de la función cuando z tiende a i: El límite existe pero no coincide con el valor de la función: la función no es continua.

87 Funciones continuas Ejercicios:
(1) Sea f(z) = u(x,y) + iv(x,y), entonces u y v serán continuas en todo punto en el que f(z) lo sea. (2) Y a la inversa: f(z) será continua en todo punto en que u(x,y) y v(x,y) lo sean. Nota: Recuerda que, u(x,y) será continua en (a,b) sii lim(x,y)→(a,b) u(x,y) = u(a,b).

88 Transformación w = f(z) = 1/z
En este caso la transformación sí es biyectiva, excluyendo al origen. En coordenadas polares la transformación es: Una inversión en el círculo unidad (lo de fuera pasa adentro y al contrario) seguida de una reflexión respecto al eje x. Las circunferencias de radio r se convierten en circunferencias de radio 1/r. En particular, una circunferencia de radio unidad permanece invariante.

89 f(z) = 1/z Esquema de color dependiente del argumento Dominio Rango Biyección "We may thus think of the interior of the unit circle as a condensed image, a microcosmos, of its exterior". To infinity and beyond, Eli Maor

90 ? ¿Qué figura permanece invariante?

91 Gardner, M. The Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American.
Chicago, IL: University of Chicago Press, 1984.

92 Planos z y w superpuestos Una línea que pase por el centro O, permanece invariante... Una línea que no pase por el centro O se transforma en un círculo k que pasa por O (y al revés) y está completamente dentro del círculo unitario de inversión c. Si la línea es tangente al círculo unitario de inversión c, el círculo k toca en el mismo punto a la línea y al centro O. ... Vamos a describirlo con algo de mates...

93 Veamos con más detalle la transformación f(z) = 1/z.

94 Ejemplo: ¿Cuál es la imagen de la recta x = c bajo la transformación
f(z) = 1/z? Es decir, un círculo de centro (1/(2c), 0) que pasa por el origen. El semiplano x > c se transforma en el interior del círculo.

95 Podemos escribir la ecuación general de un círculo y una recta
en el plano z en la forma: Bajo la transformación 1/z, la ecuación general se convertirá en:

96 Se transforma bajo 1/z en:
a y d distintos de 0: círculos que no pasan por el centro se transforman en círculos que no pasan por el centro. (2) a distinto de 0 y d = 0: círculos que pasan por el centro se transforman en rectas que no pasan por el centro. (3) a = 0 y d distinto de 0: rectas que no pasan por el centro se transforman en círculos que pasan por el centro. (4) a = d = 0: rectas que pasan por el centro se transforman en rectas que pasan por el centro. De hecho, si pensamos en rectas como círculos de radio infinito, 1/z transforma círculos en círculos.

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98 u = 1/a u = -1/b b = 0; u = -v b distinto de 0; en circunferencias. v = -ku circunf. u2 = -v3 /(1+v)

99 Transformaciones bilineales o de Möbius
La transformación inversa es también bilineal: August Ferdinand Möbius ( ) Observemos que la transformación no está definida para z = -d/c. Y lo mismo ocurre con w = a/c en el caso de la inversa. El conjunto de posibles transformaciones bilineales forman un grupo.

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101 Ejemplo: Si T(z) = (2z + 1)/(z – i), calcula T(0), T(), T(i).
Cuando c  0, T(z) tiene un cero simple en z0 = −d/c, y entonces: Ejemplo: Si T(z) = (2z + 1)/(z – i), calcula T(0), T(), T(i).

102 Las transformaciones de Möbius son biyecciones

103 ¿Cómo transforma la bilineal?
De modo que cualquier transformación bilineal puede obtenerse como una composición de una transformación lineal y una transformación 1/z. Así que para las transformaciones bilineales transforman el conjunto de círculos y líneas en sí mismo.

104 b) Determinar la imagen de la región , al considerar la transformación:
Re(z) 2 4 Re(z') 2 4 6 8 Examen JUNIO 04/05: P-1

105 Recordemos cómo actúa la inversión:
Re(z'') 3/16 1/4 ...exterior del círculo...

106 el exterior del círculo...
Re(z''') 3/8 1/2 ...seguimos en el exterior del círculo...

107 Re(Z) -3/8 -1/2 Re(Z) 1/4 1/8

108 Ejemplo: Sea a una constante compleja tal que Im(a) > 0.
Encontrar la imagen del semiplano infinito superior bajo la transformación bilineal: Consideremos primero el borde. Para los puntos z sobre el eje x, tenemos: De modo que el eje x se transforma en el círculo unidad con centro en el origen. z = a se transforma en w = 0 (un punto interior del círculo). La transformación es continua, y de aquí podemos deducir que la imagen del semiplano superior es el interior del círculo.

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116 Möbius Transformations Revealed is a short video by Douglas Arnold and Jonathan Rogness which depicts the beauty of Möbius transformations and shows how moving to a higher dimension reveals their essential unity. It was one of the winners in the 2007 Science and Visualization Challenge and was featured along with the other winning entries in the September 28, 2007 issue of journal Science. The video, which was first released on YouTube in June 2007, has been watched there by more than a million viewers and classified as a "Top Favorite of All Time" first in the Film & Animation category and later in the Education category. It has been selected for inclusion in MathFilm Festival 2008.

117 Tripletes a Tripletes Observa que podemos crear una transformación de Moebius a partir de tres puntos: esta transformación tendrá un cero en z = z1 (T(z1) = 0 , T(z2) = 1 y tiene un polo en z = z3 (T(z3) = ). De modo que T(z) transforma los complejos z1, z2, z3 en 0, 1, e , respectivamente.

118 De la misma manera, la transformación de Moebius: transforma w1, w2, w3 en 0, 1 e , y S-1 transforma 0, 1 e  en w1, w2, w3. De modo que w = S-1(T(z)) transforma el triplete z1, z2, z3 en el triplete w1, w2, w3. Observa que como w = S-1(T(z)), tenemos que S(w) = T(z) y

119 Ejemplo: Construye una transformación de Moebius que transforma los puntos 1, i, −1 sobre el círculo unidad |z| = 1 a los puntos −1, 0 y 1 sobre el eje real. Despejando w, tenemos w = −i(z – i)/(z + i).

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123 Ejemplo: Construye una transformación de Moebius que transforma los puntos , 0, 1 sobre el eje real en los puntos 1, i, −1 sobre el círculo |w| = 1. Puesto que z1 = , los términos z − z1 y z2 − z1 en: son 1. Y entonces:

124 Versión matricial Podemos asociar la transformación bilineal a una matriz:

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126 Jos Leys

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139 La banda de Moebius (Möbius strip)
August Ferdinand Möbius ( )  Max Bill, “Endless surface”. From 1953 to Size125 x 125 x 80 cm. Open air Sculpture Middlelheim Museum, Antverpen, Belgium.

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141 Moebius Strip II, M. C. Escher (1963)

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