Estadística Administrativa I

Estadística Administrativa I
2016-1 Distribuciones de probabilidad

Capítulo VII Distribuciones de probabilidad Distribución binomial
Distribución normal

Distribuciones de probabilidad
Son similares a las distribuciones de frecuencias relativas; pero, en lugar de analizar el pasado, describe la probabilidad de que un evento ocurra en el futuro. Distribuciones discretas de probabilidad Distribuciones continuas de probabilidad

¿Qué es una distribución de probabilidad?
Es un listado de todos los resultados de un experimento y la probabilidad asociada a cada resultado.

Ejemplo 7.1 … Tiene planes de lanzar una monedas tres veces y espera que le salga aunque sea una cara. Generar una tabla de todas las posibilidades que (puede ser 1, 2 o 3 caras). Desarrollo La variable “Lanzar moneda” tiene dos eventos, cara y escudo. Las opciones que se tienen empiezan de la siguiente manera: Opción 1: 1° vez cara, 2° vez cara, 3° vez cara Opción 2: 1° vez cara, 2° vez cara, 3° vez escudo Opción 3: 1° vez cara, 2° vez escudo, 3° vez cara

. . . Ejemplo 7.1 Resumen

. . . Ejemplo 7.1 Crear una tabla con las frecuencias para cada opción en que cae “cara”, siendo que: 1 opción en la que no cae ninguna cara 3 opciones en la que cae una cara 3 opciones en la que caen dos caras 1 opción en la que caen las 3 caras.

. . . Ejemplo 7.1 Calcular la frecuencia relativa (probabilidad) de la tabla: Distribución de probabilidad

. . . Ejemplo 7.1 Cuántas posibilidades existen en el caso que se lance al aire una moneda 5 veces. Desarrollo La variable “Lanzar moneda” tiene 2 eventos (cara y escudo) y se quiere lanzar 5 veces. 2 5 =32 Se tendrían 32 opciones. Para construir la distribución de probabilidad de las veces que se puede caer escudo se utiliza la fórmula de combinaciones. 𝑛 𝐶 𝑟 = 𝑛! 𝑟! 𝑛−𝑟 !

. . . Ejemplo 7.1 𝑛 𝐶 𝑟 = 𝑛! 𝑟! 𝑛−𝑟 ! Veces que aparece una cara
𝑛 𝐶 𝑟 = 𝑛! 𝑟! 𝑛−𝑟 ! . . . Ejemplo 7.1 Veces que aparece una cara 5 𝐶 0 = 5! 0! 5−0 ! = 5! 5! =1 5 𝐶 1 = 5! 1! 5−1 ! = 5! 4! =5 5 𝐶 2 = 5! 2! 5−2 ! = 5! 2!3! =10 5 𝐶 3 = 5! 3! 5−3 ! = 5! 3!2! =10 5 𝐶 4 = 5! 4! 5−4 ! = 5! 4!1! =5 5 𝐶 5 = 5! 5! 5−5 ! = 5! 5!0! =1

. . . Ejemplo 7.1 Tabla de frecuencias Distribución de probabilidad

Características de una distribución de probabilidad
La probabilidad se encuentra entre 0 y 1 Los resultados son eventos mutuamente excluyentes. La lista es exhaustiva. La suma de las probabilidades debe ser 1.

Variables aleatorias Siempre se que se hace referencia a variables aleatorias, se debe asumir que el experimento que se está llevando a cabo es al azar. Si la información puede ser manipulada, ya no serán variables aleatorias. La cantidad que resulta de un experimento, por azar, puede adoptar diferentes resultados. Una variable aleatoria puede ser discreta o continua.

Variable aleatoria discreta
Variable aleatoria que adopta solo valores claramente separados. En algunos casos, el hecho de que una variable tenga un resultado decimal no significa que es continua.

Ejemplo 7.2 …. Variable aleatoria discreta
Cantidad de ausencias de empleados. El peso de los lingotes de oro en la Reserva del Banco Central Los puntajes de los clavados realizados por los atletas en la competencia de hoy. El tiempo en minuto que duran las llamadas por quejas de falta de entrega de periódicos en Seattle atendidas por el Call Center Altia en San Pedro. Número de focos defectuosos producidos por hora en la empresa General Electric.

Variable aleatoria continua
Las variables aleatorias continuas son las que resultan de procesos de medición que involucran masa, longitud, volumen, etc.

Ejemplo 7.3… Variable aleatoria continua
Los tiempos de vuelos comerciales entre Atlanta y Miami puede durar 4.56 horas, 5.13 horas, horas, etc. En esta caso la variable aleatoria es HORAS. La presión medida en libras por pulgada cuadrada (psi) en un nuevo neumático para Chevy puede ser de psi, 31.62, psi, etc. La variable aleatoria es la PRESIÓN de la llanta.

Medidas de ubicación y dispersión
Media Varianza Desviación estándar

Media Valor típico para representar la localización central de una distribución de probabilidad. La media de una distribución de probabilidad también se le conoce como “Valor Esperado” o “Esperanza”. Es un valor ponderado entre las frecuencias y su respectiva probabilidad. 𝜇 = 𝑥 𝑃(𝑥)

Varianza y desviación estándar
Mide el grado de dispersión de los datos con relación al valor esperado. También es un valor ponderado entre las diferencias de sus frecuencias, multiplicadas por su respectiva probabilidad. 𝜎 2 = ( 𝑥−𝜇) 2 𝑃(𝑥) Es la raíz cuadrada de la varianza. 𝜎= 𝜎 2

Cantidad de vehículos vendidos en sábado
Ejemplo 7.4… Juan Pérez vende vehículos en la empresa “El Pelícano”; por lo general vende la mayor cantidad de vehículos los días sábados. Ideó la siguiente distribución de probabilidad de la cantidad que espera vender el próximo sábado. Cantidad de vehículos vendidos en sábado Probabilidad P(x) 0.10 1 0.20 2 0.30 3 4 Determinar el tipo de distribución de probabilidad ¿Cuántos automóviles espera vender? Desviación estándar

Vehículos vendidos en día sábado
. . .Ejemplo 7.4 Tipo de distribución: Aleatoria discreta Variable aleatoria: número de automóviles vendidos. Media 𝜇= 𝑥 𝑃(𝑥) Vehículos vendidos en día sábado x Probabilidad P(x) 0.10 1 0.20 2 0.30 3 4 Se multiplica cada dato de la variable aleatoria por su respectiva probabilidad Se suman todos los productos.

. . .Ejemplo 7.4 𝜇= 𝑥 𝑃(𝑥) 𝜇=2.1

. . .Ejemplo 7.4 Varianza 𝜇=2.1

𝜎= 1.29 =1.13578 . . .Ejemplo 7.4 𝜎= 𝜎 2 Desviación estándar
𝜎= 𝜎 2 Desviación estándar Si Varianza 𝜎 2 = entonces 𝜎= =

Distribuciones de probabilidad
Discretas Continuas Binomial Hiper-geométrica Poisson Uniforme Normal

Distribuciones de probabilidad discretas
Binomial  Hiper-geométrica Poisson

Distribución de probabilidad binomial
Es una de las técnicas más utilizadas con experimentos en los que se tienen únicamente dos eventos.

Distribución de probabilidad Binomial
Eventos mutuamente excluyentes Se clasifican sus eventos como éxito y fracaso (no se debe confundir con bueno o malo). La variable aleatoria es el resultado de conteos La probabilidad de éxito es la misma para todas las pruebas. El resultado es Independiente de cualquier otro.

Distribución binomial
𝑃 𝑥 = 𝑛 𝐶 𝑥 𝜋 𝑥 (1−𝜋) 𝑛−𝑥 C : Combinación n : Número de pruebas 𝑥 : Variable aleatoria definida 𝜋 : Probabilidad de éxito de cada prueba Al ser discreta, las probabilidades son números enteros; de tal manera que si se quiere eventos con varias frecuencias, deberá hacerse uno para cada uno.

Ejemplo 7.5 … Super Airlines tiene 5 vuelos diarios de Miami a su ciudad. Suponer que la probabilidad histórica de que cualquier vuelo llegue tarde es de 0.23. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los vuelos se retrase? ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 1 de los vuelos se retrase el día de hoy. 𝜋=0.23

… Ejemplo 7.5 𝜋=0.23 𝑛=5 = 𝑛 𝐶 𝑥 𝜋 𝑥 (1−𝜋) 𝑛−𝑥
¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los vuelos llegue tarde hoy? La empresa hace 5 vuelos diarios 𝑛=5 Probabilidad es 0.23 𝜋=0.23 Que ningún vuelo llega retrasado 𝑥=0 𝑃 𝑥=0 = 𝑛 𝐶 𝑥 𝜋 𝑥 (1−𝜋) 𝑛−𝑥 = 5 𝐶 0 (0.23) 0 (1−0.23) 5−0 = 5! 0! 5−0 ! (0.77) 5

… Ejemplo 7.5 = 5! 0! 5−0 ! (0.77) 5 𝑃 𝑥=0 = 5! 0! 5 ! (0.77) 5 = 5! 1 5 ! (1)(0.2707) = La probabilidad de que ningún vuelo llegue tarde el día de hoy es 0.27 (27%).

… Ejemplo 7.5 = 𝑛 𝐶 𝑥 𝜋 𝑥 (1−𝜋) 𝑛−𝑥 = 5 𝐶 1 (0.23) 1 (1−0.23) 5−1
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 1 de los vuelo llegue tarde el día de hoy. 𝑃 𝑥=1 = 𝑛 𝐶 𝑥 𝜋 𝑥 (1−𝜋) 𝑛−𝑥 = 5 𝐶 1 (0.23) 1 (1−0.23) 5−1 = 5! 1! 5−1 ! (0.77) 4 = 5! 1! 4 ! (0.77) 4 = (0.77) 4 =0.4043 La probabilidad de que un vuelo llegue tarde el día de hoy es 0.4 (40%)

Ejemplo 7.5 … Embotelladora de Sula abrió un centro de distribución de refrescos en San José y ha estado monitoreando la logística de entrega a 7 de las ciudades más alejadas de la ciudad. Los registros indica que la probabilidad de que un pedido se entregue tarde es de 0.12. ¿Cuál es la probabilidad de que el pedido se entregue tarde a 1 o 2 ciudades? 𝜋=0.12

… Ejemplo 7.5 𝜋=0.12 𝑛=7 Para cada evento= 𝑛 𝐶 𝑥 𝜋 𝑥 (1−𝜋) 𝑛−𝑥
¿Cuál es la probabilidad de que el pedido se entregue tarde a 1 o 2 ciudades? Son 7 rutas las que se están evaluando 𝑛=7 Probabilidad histórica es 0.12 𝜋=0.12 Entrega tarde a una o dos ciudades 𝑥=1, 𝑥=2 Para cada evento= 𝑛 𝐶 𝑥 𝜋 𝑥 (1−𝜋) 𝑛−𝑥 𝑃 𝑥=1 𝑜 𝑥=2 =𝑃 𝑥=1 +𝑃(𝑥=2) 𝑆𝑜𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑡𝑢𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑥𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

… Ejemplo 7.5 𝜋=0.12 = 𝑛 𝐶 𝑥 𝜋 𝑥 (1−𝜋) 𝑛−𝑥
𝑃 𝑥=1 = 𝑛 𝐶 𝑥 𝜋 𝑥 (1−𝜋) 𝑛−𝑥 = 7 𝐶 1 (0.12) 1 (1−0.12) 7−1 = 7! 1! 7−1 ! (0.88) 6 = 𝑃 𝑥=2 = 7 𝐶 2 (0.12) 2 (1−0.12) 7−2 = 7! 2! 7−2 ! (0.88) 5 = 𝑃 𝑥=1 +𝑃 𝑥=2 = =𝟎.𝟓𝟒𝟗𝟕 La probabilidad de que el pedido llegue tarde es (55%).

Medidas de Ubicación y Dispersión
Media Varianza Desviación estándar

Medidas 𝜇=𝑛𝜋 * Media : 𝜎 2 =𝑛𝜋(1−𝜋) * Varianza : 𝜎= 𝑛𝜋(1−𝜋)
* Desviación estándar : 𝜎= 𝑛𝜋(1−𝜋)

Ejemplo 7.6… 𝜇=𝑛𝜋 𝜎= 𝜎 2 𝜎 2 =𝑛𝜋 1−𝜋
US Airways tiene 5 vuelos diarios de Pittsburgh al Aeropuerto de Bradford, Pennsylvania. La probabilidad histórica de que cualquier vuelo llegue tarde es de 0.19. Calcular el tiempo promedio de llegada tarde. Calcular la variación estándar entre cada llegada tarde. 𝜇=𝑛𝜋 𝜎= 𝜎 2 𝜎 2 =𝑛𝜋 1−𝜋

Ejemplo 7.6… 𝜇=𝑛𝜋 Media Varianza Desviación estándar 𝜇= 5 0.19 =0.8
Tiempo promedio de llegada tarde Media 𝜇=𝑛𝜋 𝜇= =0.8 Calcular la variación estándar entre cada llegada tarde. Varianza 𝜎 2 =𝑛𝜋 1−𝜋 𝜎 2 = −0.19 𝜎 2 =0.7695 Desviación estándar 𝜎= ) =0.941

Distribución de probabilidad normal

Familias de distribuciones
de probabilidad normal La distribución normal viene generada por una fórmula compleja para trabajar con probabilidades continuas. 𝑃 𝑥 = 1 𝜎 2𝜋 𝑒 − 𝑥−𝜇 𝜎 2 Es una de las técnicas de investigación estadística más utilizada con probabilidades estimadas con exactitud variable. La información base para trabajar con una distribución normal son la Media poblacional y la Desviación estándar poblacional.

Características de la distribución normal
Tiene forma de campana y posee una sola cima en el centro de la distribución. La media aritmética, mediana y moda son iguales. Es simétrica con respecto a la media. Desciende suavemente en ambas direcciones del valor central. Se dice que la distribución es asintótica. La localización es a través de la media 𝜇 y la desviación estándar 𝜎

Familia de distribuciones de probabilidad normal.
La curva varía en su forma dependiendo de los resultados que se obtengan de los estudios realizados. Algunas curvas pueden parecerse; pero, ser muy distintas. Se pueden obtener infinita cantidad de distribuciones normales.

Distribución de probabilidad normal estándar
Cualquier distribución de probabilidad normal se puede convertir en una distribución de probabilidad normal estándar. Existe técnicas que permiten que se tome cualquiera de ellas y mediante unos pequeños cálculos, se aproxime a una distribución ya establecida que proporciona los resultados mejor ajustados.

… Distribución de probabilidad normal estándar
Tomando de base, media aritmética y desviación estándar, éstas se convierten en media 0 y desviación estándar 1 para obtener los resultados que se buscan. El resultado que convierte a la media en 0 y la desviación estándar en 1 se llama “Valor tipificado” o “valor z”.

Valor Z Distancia con signo entre un valor seleccionado X y la media aritmética dividido entre la desviación estándar. 𝑧= 𝑋−𝜇 𝜎 Nota: Aplicación de la regla empírica

Valor Z Según la definición anterior, el valor z expresa la distancia (diferencia) entre un valor dado de X y la media aritmética en unidades de desviación estándar. Una vez que se estandarizan las observaciones con distribución normal, los valores z se distribuyen normalmente con media aritmética 0 y desviación estándar 1. La distribución z posee todas las características de cualquier distribución de probabilidad normal.

Valor Z El valor Z siempre es un datos entre 0.00 y 3.00; todos los valores decimales se manejas con 2 dígitos. En los apéndices de los libros de estadística siempre viene una tabla con todos los posibles resultados de Z. Todos los resultados de estas probabilidades se buscan en la tabla “Área bajo la curva normal”

Ejemplo 7.7… Los ingresos mensuales de los supervisores de los turnos de la Maquila “El buen vestir” se rigen por una distribución de probabilidad normal con media de Lps.10, y una desviación estándar de Lps.850. ¿Cuál es el valor z para el ingreso X de un supervisor que percibe Lps. 12, mensuales? ¿Cuál es el valor z para el ingreso de un supervisión que percibe Lps.9, mensuales? 𝑋=12000 𝜇=10000 𝜎=850

. . . Ejemplo 7.7 ¿Cuál es el valor z para el ingreso X de un supervisor que percibe Lps. 12, mensuales? 𝑋=12000 𝑍= 12000− = =2.35 𝜇=10000 𝜎=850 2.35 𝜇 𝑍 𝜎=1 Z indica que el salario de Lps.12,000 está a 2.35 desviaciones estándar de la media aritmética (𝜇). Z positivo indica que el salario es mayor (>) que el salario promedio.

. . . Ejemplo 7.7 ¿Cuál es el valor z para el ingreso X de un supervisor que percibe Lps. 9, mensuales? 𝑋=9000 𝑍= 9000− = − =−1.18 𝜇=10000 𝜎=850 −1.18 𝜎=1 𝑍 𝜇 Z indica que el salario de Lps.9,000 está a desviaciones estándar de la media aritmética (𝜇). Z negativo indica que el salario es menor(<) que el salario promedio.

Regla empírica 𝜇±1𝜎 𝜇±2𝜎 𝜇±3𝜎
En cualquier distribución de frecuencias simétrica con forma de campana Cerca del 68% del área bajo la curva normal se encuentra a una desviación estándar de la media. Alrededor del 95% del área bajo la curva normal se encuentra a 2 desviaciones estándar de la media. Prácticamente toda el área bajo la curva normal se encuentra a 3 desviaciones estándar de la media. 𝜇±1𝜎 𝜇±2𝜎 𝜇±3𝜎

Regla empírica [ 𝜇−1𝜎 , 𝜇+1𝜎 ]
La información que proporciona la aplicación de la regla empírica es un rango que oscila entre -1 y 1. [ 𝜇−1𝜎 , 𝜇+1𝜎 ]

Regla empírica Lind, D.A., Marchal, W.G., Wathen, S.A. (15). (2012). Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. México: McGrawHill

Ejemplo 7.8… La distribución de los ingresos anuales de un grupo de subalternos de mandos medios en Compton Plastics se aproxima a una distribución normal, con una media de $47, y desviación estándar $800. ¿Entre qué valores se encuentra el 68% de los ingresos? ¿Entre qué valores se encuentra el 95% de los ingresos? ¿Cuál es el ingreso medio y el ingreso modal? ¿La distribución de ingresos es simétrica? 𝜇=47,200 𝜎=800

…Ejemplo 7.8 𝜇=47,200 𝜎=800 ¿Entre qué ingresos se encuentra el 68% de los ingresos? 𝜇±1𝜎=47200±1(800) =47200±800 = −800 = El 68% de los ingresos anuales se encuentran entre $46,400 y $48,000.

…Ejemplo 7.8 ¿Entre qué valores se encuentra el 95% de los ingresos?
𝜇±2𝜎=47200±2(800) =47200±1600 = −1600 = El 95% de los ingresos anuales se encuentran entre $45,600 y $48,800.

…Ejemplo 7.8 ¿ Cuál es el ingreso medio y el ingreso modal?
En la distribución normal, el ingreso medio es igual que la media aritmética, mediana y moda. Ingreso medio : 𝜇=47,200 Ingreso modal : 𝑋 =47,200 ¿La distribución de ingresos es simétrica? La distribución es normal; por lo tanto, es simétrica.

Área bajo la curva normal
Aplicación de la distribución normal estándar que determina el valor existente entre el valor de la media y el z elegido.

Distribución normal Valor Z Rango=[0,4[

Área bajo la curva normal
La base del área bajo la curva es el valor de z; con el auxilio de la tabla de distribución normal. Al estandarizar la información en 𝜇=0 𝑦 𝜎=1 se desglosa el valor de z en dos datos. Los dos dígitos a la par del punto forman un dato y el resto del decimal es el otro dato. 𝑧= Dato 1: 1.0 Dato 2: Dato 1 Dato 2 1.0 +0.02 1.02

Distribución Normal El cálculo del área bajo la curva está definido (en la mayoría de libros) para calcular el 50% del total de la curva normal. Se trabaja en base al lado positivo de la curva. Para cualquier valor de Z el resultado será el área entre 𝜇=0 y el valor de Z P(z=x.yz)

Distribución Normal Los cálculos para Z menor que 0 se realizan en el lado positivo; es decir, si el valor de Z es -1.22, se busca en la curva como si fuera 1.22 = 𝑃(𝑧=1.0) 𝑃(𝑧=−1.0)

Tipos de áreas El cálculo del área bajo la curva varía dependiendo de las necesidades de la probabilidad que se está buscando. La básicas son las siguientes:

Tipos de Áreas 𝑃(𝑧=𝑎) 𝑃(𝑧=−𝑎) 𝑃(𝑧>𝑎) 𝑃(𝑧<𝑎)

Tipo de Áreas 𝑃(−𝑎<𝑧<𝑎) 𝑃(𝑧<𝑎) 𝑃(𝑧>𝑎) 𝑃(𝑎<𝑧<𝑏)

Área entre 𝜇=0 y un z positivo
Paso 1: Dividir en dos partes el valor de Z. Paso 2: Encontrar la probabilidad en la tabla.

Ejemplo 7.9….. Calcular el área bajo la curva para Z = 1.23
Dividir Z en dos partes: 1.-) 1.2 2.-) 0.03 Ubicar el z en la tabla, unir la fila 1.2 con la columna 0.03. P(z = 1.23) =

Área entre 𝜇=0 y un z negativo
Paso 1: Eliminar el signo negativo a Z Paso 2: Dividir en dos partes el valor de Z. Paso 3: Encontrar la probabilidad en la tabla.

Ejemplo 7.10 . . . Calcular el área bajo la curva para Z = -1.0
Quitar el signo negativo a Z. Dividir Z en dos partes: Ubicar z en la tabla. Unir la fila 1.0 con la columna 0.00. 𝑃 𝑧=−1.0 =0.3413

Área después de z positivo
Paso 1: Dividir en dos partes el valor de Z. Paso 2: Encontrar la probabilidad en la tabla. Paso 3: A 0.50 restar la probabilidad calculada

Ejemplo 7.11. . . Calcular el área bajo la curva para Z >1.32
Dividir Z en dos partes: Ubicar z en la tabla. Unir la fila 1.3 con la columna 0.02 La probabilidad restarla de 0.5 𝑃 𝑧>1.32 =0.5−0.4066 𝑃 𝑧>1.32 =0.0934

Área antes de z negativo
Paso 1: Eliminar el signo negativo de Z Paso 2: Dividir en dos partes el valor de Z. Paso 3: Encontrar la probabilidad en la tabla. Paso 4: A 0.50 restar la probabilidad calculada

Ejemplo 7.12. . . Calcular el área bajo la curva para Z < -0.76
Quitar el signo negativo a Z. Dividir Z en dos partes: Ubicar z en la tabla. Unir la fila 0.7 con la columna 0.06 La probabilidad restarla de 0.5 𝑃 𝑧<−0.76 =0.5−0.2764 𝑃 𝑧<−0.76 =0.2236

Área a ambos lados de 𝜇=0 Paso 1: Eliminar el signo negativo de Z
Paso 2: Dividir en dos partes ambos Z Paso 3: Encontrar probabilidad de cada Z Paso 4: Sumar las 2 probabilidades calculadas

Ejemplo Calcular el área bajo la curva, para los datos que están entre Z= y Z=1.03 Eliminar el signo a z= -0.72 Dividir cada Z en 2 partes 𝑧=0.72 𝑧=1.03

. . . Ejemplo 7.13 Ubicar 0.72 y 1.03 en la tabla. 𝑃 𝑧=0.72 =0.2642 𝑃 𝑧=1.03 =0.3485 Sumar ambas probabilidades 𝑃 −0.72<𝑧<1.03 = 𝑃 −0.72<𝑧<1.03 =0.6127

Área menor que Z Paso 1: Dividir en dos partes el valor de Z.
Paso 2: Encontrar probabilidad de Z Paso 4: Sumar 0.5 a la probabilidad calculada

Ejemplo 7.14 . . . 𝑃 𝑧<1.06 =0.5+0.3554 𝑃 𝑧<1.06 =0.8554
Calcular el área bajo la curva, para los datos z < 1.06 Dividir Z en dos partes Calcular la probabilidad que z=1.06 Suma de probabilidades 𝑃 𝑧<1.06 = 𝑃 𝑧<1.06 =0.8554

Área mayor que Z Paso 1: Dividir en dos partes el valor de Z.
Paso 2: Encontrar probabilidad de Z Paso 4: Sumar 0.5 a la probabilidad calculada

Ejemplo 7.15 . . . 𝑃 𝑧>0.03 =0.5+0.0120 𝑃 𝑧>0.03 =0.5120
Calcular el área bajo la curva, para los datos z > -0.03 Eliminar el signo a z= -0.03 Dividir Z en dos partes Calcular la probabilidad que z=0.03 Suma de probabilidades 𝑃 𝑧>0.03 = 𝑃 𝑧>0.03 =0.5120

Área entre Z de signos iguales
Paso 1: Dividir en dos partes ambos Z Paso 2: Encontrar probabilidad de ambos Z Paso 4: Restar la probabilidad menor de la mayor

Ejemplo Calcular el área bajo la curva, para los datos entre z=1 y z=2 Dividir los Z en dos partes Calcular la probabilidad que z=1 y z=2 𝑃 𝑧=1.00 =0.3413 𝑃 𝑧=2.00 =0.4772 Resta de probabilidades 𝑃 1<𝑧<2 =0.4772−0.3413 𝑃 1<𝑧<2 =0.1359

Interpretación de probabilidades
La interpretación de las probabilidades se muestra como porcentajes.

Ejemplo Los salarios mensuales de los supervisores de los turnos de la Maquila “El buen rostro” se rigen por una distribución de probabilidad normal con media de Lps.10, y desviación estándar de Lps.850. ¿Cuál es la probabilidad de que, al contratar un nuevo supervisor, devengue entre L.9,500 y L.10,900? ¿Cuál es la probabilidad de que, al contratar un nuevo supervisor, devengue ingresos entre L.10,500 y L.11,500?

𝑧= 𝑋−𝜇 𝜎 . . . Ejemplo 7.17 ¿Cuál es la probabilidad de que, al contratar un nuevo supervisor, devengue entre L.9,500 y L.10,900? Datos poblacionales 𝜋=10,000 𝜎=850 Calcular el valor de z para L.9,500. 𝑧= 9500− = − 𝑧=−0.59 Calcular el valor de z para L.10,900. 𝑧= 10900− = 𝑧=1.06

. . . Ejemplo 7.17 𝑧= 𝑋−𝜇 𝜎 𝑃 𝑧=0.59 =0.2224 𝑃 𝑧=1.06 =0.3554
Calcular 𝑃(−0.59<𝑧<1.06) Probabilidad de z=0.59 y z=1.06 𝑃 𝑧=0.59 =0.2224 𝑃 𝑧=1.06 =0.3554

. . . Ejemplo 7.17 𝑃 −0.59<𝑧<1.06 =0.2224+0.3554
Calcular 𝑃(−0.59<𝑧<1.06) 𝑃 −0.59<𝑧<1.06 = 𝑃 −0.59<𝑧<1.06 =0.5778 la probabilidad de que, al contratar un nuevo supervisor, devengue entre L.9,500 y L.10,900 es de 58%

. . . Ejemplo 7.17 𝑧= 𝑋−𝜇 𝜎 Datos poblacionales 𝜋=10,000 𝜎=850
¿Cuál es la probabilidad de que, al contratar un nuevo supervisor, devengue ingresos entre L.10,500 y L.11,500? Datos poblacionales 𝜋=10,000 𝜎=850 Calcular el valor de z para L.10,500. 𝑧= 10500− = 𝑧=0.59 Calcular el valor de z para L.11,500. 𝑧= 11500− = 𝑧=1.76

. . . Ejemplo 7.17 𝑧= 𝑋−𝜇 𝜎 𝑃 𝑧=0.59 =0.2224 𝑃 𝑧=1.76 =0.4608
Calcular 𝑃(0.59<𝑧<1.76) Probabilidad de z=0.59 y z=1.76 𝑃 𝑧=0.59 =0.2224 𝑃 𝑧=1.76 =0.4608

. . . Ejemplo 7.17 Calcular 𝑃(−0.59<𝑧<1.06) 𝑃 0.59<𝑧<1.76 = 𝑃 0.59<𝑧<1.76 =0.6902 la probabilidad de que, al contratar un nuevo supervisor, devengue entre L.10,500 y L.11,500 es de 69%

Prácticas

Práctica # 1 En una distribución binomial, n=8 y 𝜋=0.30. Determinar la probabilidad de que x sea igual a 2. En una distribución binomial, n=12 y 𝜋=0.60. Determinar la probabilidad de que x sea 1 o 2. En un estudio reciente se descubrió que el 90% de los anuncios publicitarios sobre alimentos infantiles son un éxito. En una muestra de 9 anuncios publicitarios. ¿Cuál es la probabilidad de que los 9 tengan éxito? Cinco por ciento de los engranajes producidos por una fresadora automática de alta velocidad se encuentra defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que, en seis engranajes seleccionados, ninguno esté defectuoso? ¿Cuál es la probabilidad de que en seis engranajes seleccionados, tres estén defectuosos?

El 8% de los empleados de la planta General Motors en el Zip de Cofradía recibe su sueldo por medios de transferencias de fondos electrónicos. Suponga que selecciona una muestra aleatoria de 7 empleados. ¿Cuál es la probabilidad de que a los 7 se les haga un depósito directo? Un fabricante de marcos para ventanas sabe por experiencia, que el 5% de la producción tendrá algún tipo de defecto menor, que requerirá reparación. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 20 marcos: Ninguno requiera reparación (0) Por lo menos 1 requiera reparación (el resultado de ninguno se resta de 1 para obtener el resultado) Menos de 4 requieran reparación (ninguno, 1, 2, 3) Calcular la desviación estándar

Para más información leer la página web
F i n a l Para más información leer la página web 𝐵𝑖𝑏𝑙𝑖𝑜𝑔𝑟𝑎𝑓í𝑎 Lind, D.A., Marchal, W.G., Wathen, S.A. (15). (2012). Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. México: McGrawHill David M. Levine, Timothy C. Krehbiel, Mark L. Berenson Estadística para Administración. (4° edición). Naucalpan de Juárez, México.: Pearson Prentice Hall

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