La Función de Producción

Presentación del tema: "La Función de Producción"— Transcripción de la presentación:

1 La Función de Producción

2 La Función de Producción
La función de producción de una empresa para un bien en particular (q) nos muestra cantidad máxima de ese bien que puede producirse usando distintas combinaciones de factores de producción, usualmente capital (k) y trabajo(l) 𝑞=𝑓(𝑘, 𝑙)

3 El Producto Marginal Para estudiar la variación causada por un solo factor, definimos al Producto Marginal (o Producto Físico Marginal) como el producto adicional que puede ser generado mediante el empleo de una unidad adicional de ese factor, manteniendo la cantidad de los otros factores constante 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙= 𝑃𝑚 𝑘 = 𝜕𝑞 𝜕𝑘 = 𝑓 𝑘 ′ 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜= 𝑃𝑚 𝑙 = 𝜕𝑞 𝜕𝑙 = 𝑓 𝑙 ′

4 Productividad Marginal Decreciente
El Producto Marginal de un factor dependerá de que tanto de ese factor es empleado En general, asumimos que existe una productividad marginal decreciente de ese factor ( al menos en algún punto) Esto no es mas que una “Regularidad Empírica” 𝜕 𝑃𝑚 𝑘 𝜕𝑘 = 𝜕 2 𝑓 𝑘𝑘 ′ 𝜕 𝑘 2 = 𝑓 𝑘𝑘 ′′ <0 𝜕 𝑃𝑚 𝑙 𝜕𝑙 = 𝜕 2 𝑓 𝑙𝑙 ′ 𝜕 𝑙 2 = 𝑓 𝑙𝑙 ′′ <0

5 Productividad Marginal Decreciente
Dada la productividad marginal decreciente, el economista del Siglo XIX, Thomas Malthus genero preocupación acerca del efecto del crecimiento poblacional en la productividad del trabajo Pero los cambios en la productividad laboral del trabajo en el tiempo también depende de los cambios en otros factores, como el capital Debemos por tanto tener en consideración que muchas veces 𝑓 𝑙𝑘 𝑒𝑠>0

6 Producto Medio(Producto Físico Medio)
La productividad del Trabajo es a menudo medida a través de la productividad media (o promedio) 𝑃𝑀 𝑙 = 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜 = 𝑞 𝑙 = 𝑓(𝑘,𝑙) 𝑙 Nótese que el 𝑃𝑀 𝑙 , también depende de la cantidad de capital utilizado

7 Función de Producción de dos factores
Supongamos que la producción de matamoscas puede representarse por: 𝑞=𝑓 𝑘,𝑙 =600 𝑘 2 𝑙 2 − 𝑘 3 𝑙 3 Para encontrar 𝑃𝑚 𝑙 y 𝑃𝑀 𝑙 , debemos asumir un valor de k, asumamos 𝑘=10 La función de producción se convierte en: 𝑞= 𝑙 2 −1.000 𝑙 3

8 Función de Producción de dos factores
La función de productividad marginal del trabajo es 𝑃𝑚 𝑙 = 𝜕𝑞 𝜕𝑙 = 𝑙−3.000 𝑙 2 La cual disminuye a medida que 𝑙 aumenta Esto implica que 𝑞 tiene un valor máximo en: 𝑙−3.000 𝑙 2 =0 40𝑙= 𝑙 2 𝑙=40 Si se emplea trabajo mas allá de 𝑙= 40, el producto decrece

9 Función de Producción de dos factores
Para encontrar la función de Producto Medio, mantenemos k= 10 y resolvemos 𝑃𝑀 𝑙 = 𝑞 𝑙 =60.000𝑙−1.000 𝑙 2 El 𝑃𝑀 𝑙 alcanza un máximo en: 𝜕 𝑃𝑀 𝑙 𝜕𝑙 =60.000−2.000𝑙=0 𝑙=30

10 Función de Producción de dos factores
De hecho, cuando 𝑙 =30, tanto el 𝑃𝑀 𝑙 como el 𝑃𝑚 𝑙 son iguales a Por tanto, cuando el 𝑃𝑀 𝑙 esta en su punto máximo, el 𝑃𝑀 𝑙 y el 𝑃𝑚 𝑙 son iguales

11 Mapa de Isocuantas Para ilustrar la posible sustitución de un factor por otro sin alterar la producción, usamos un Mapa de Isocuantas Una Isocuanta muestra aquellas combinaciones de 𝑘 y 𝑙 que pueden generar un nivel dado de producción 𝑞 0 𝑓(𝑘,𝑙)= 𝑞 0

12 Mapa de Isocuantas Cada Isocuanta representa un nivel diferente de producto El producto crece a medida que nos movemos a una Isocuanta superior (al noreste)

13 La Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST)
La pendiente de la Isocuanta muestra la tasa a la cual 𝑙 puede ser sustituido por 𝑘 sin afectar el producto - Pendiente = Tasa marginal de Sustitución Técnica (TMST) TMST > 0 y es decreciente para mayores cantidades de trabajo

14 La Tasa Marginal de Sustitución Técnica (TMST)
La Tasa Marginal de Sustitución Técnica muestra la tasa a la cual el trabajo puede ser sustituido por capital mientras que el nivel de producto se mantiene constante (nos mantenemos en la misma Isocuanta) 𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑘 = 𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑙𝑘 = −𝑑𝑘 𝑑𝑙 𝑞= 𝑞 0

15 La TMST y las Productividades Marginales
El diferencial total de la función de producción es: 𝑑𝑞= 𝜕𝑓 𝑑𝑙 𝑑𝑙+ 𝜕𝑓 𝑑𝑘 𝑑𝑘= 𝑃𝑚 𝑙 ∗𝑑𝑙+ 𝑃𝑚 𝑘 ∗𝑑𝑘 A lo largo de la Isocuanta, 𝑑𝑞=0, por tanto 𝑃𝑚 𝑙 ∗𝑑𝑙=− 𝑃𝑚 𝑘 ∗𝑑𝑘 𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑘 = 𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑙𝑘 = −𝑑𝑘 𝑑𝑙 𝑞= 𝑞 0 = 𝑃𝑚 𝑙 𝑃𝑚 𝑘

16 La TMST y las Productividades Marginales
Dado que tanto 𝑃𝑚 𝑘 como 𝑃𝑚 𝑙 ambas son no-negativas, la TMST será positiva (o cero) Sin embargo, por lo general no es posible derivar una TMST decreciente a partir únicamente del supuesto de productividades marginales decrecientes

17 La TMST y las Productividades Marginales
Para demostrar qua las Isocuantas son convexas, quisiéramos demostrar que 𝑑 𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑑𝑙 <0 Dado que𝑇𝑀𝑆𝑇= 𝑓 𝑙 𝑓 𝑘 𝑑𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑑𝑙 = 𝑑 𝑓 𝑙 𝑓 𝑘 𝑑𝑙

18 La TMST y las Productividades Marginales
𝑑𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑑𝑙 = 𝑓 𝑘 𝑓 𝑙𝑙 + 𝑓 𝑙𝑘 ∙ 𝑑𝑘 𝑑𝑙 − 𝑓 𝑙 𝑓 𝑘𝑙 + 𝑓 𝑘𝑘 ∙ 𝑑𝑘 𝑑𝑙 𝑓 𝑘 2 Usando el que 𝑑𝑘 𝑑𝑙 = −𝑓 𝑙 𝑓 𝑘 a lo largo de la Isocuanta y el Teorema de Young ( 𝑓 𝑘𝑙 = 𝑓 𝑙𝑘 ) 𝑑𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑑𝑙 = 𝑓 𝑘 2 𝑓 𝑙𝑙 −2 𝑓 𝑘 𝑓 𝑙 𝑓 𝑘𝑙 + 𝑓 𝑙 2 𝑓 𝑘𝑘 𝑓 𝑘 3 Dado que asumimos que 𝑓 𝑘 >0. el denominador es positivo Dado que se asume que 𝑓 𝑘𝑘 y 𝑓 𝑙𝑙 son negativos, la razón será negativa si 𝑓 𝑘𝑙 es positiva

19 La TMST y las Productividades Marginales
Intuitivamente parece razonable el que 𝑓 𝑘𝑙 = 𝑓 𝑙𝑘 deba ser positiva Si los trabajadores cuentan con mayor capital serán mas productivos Pero algunas funciones de producción tienen 𝑓 𝑘𝑙 <0 en algunos rangos de usos de factores Cuando asumimos una TMST decreciente, estamos asumiendo que tanto 𝑃𝑚 𝑙 como 𝑃𝑚 𝑘 disminuyen lo suficientemente rápido como para compensar cualquier efecto posible de productividades cruzadas negativas

20 Una TMST Decreciente 𝑞=𝑓 𝑘,𝑙 =600 𝑘 2 𝑙 2 − 𝑘 3 𝑙 3
Supongamos la siguiente función de producción 𝑞=𝑓 𝑘,𝑙 =600 𝑘 2 𝑙 2 − 𝑘 3 𝑙 3 Para esta función de producción: 𝑃𝑚 𝑙 = 𝑓 𝑙 =1.200 𝑘 2 𝑙−3 𝑘 3 𝑙 2 𝑃𝑚 𝑘 = 𝑓 𝑘 =1.200𝑘 𝑙 2 −3 𝑘 2 𝑙 3 Estas productividades marginales serán positivas para valores de 𝑘 y 𝑙 para los que 𝑘𝑙<400

21 Una TMST Decreciente 𝑓 𝑙𝑙 y 𝑓 𝑘𝑘 <0 si 𝑘𝑙 >200
Dado que: 𝑓 𝑙𝑙 =1.200 𝑘 2 −6 𝑘 3 𝑙 𝑓 𝑘𝑘 =1.200 𝑙 2 −6𝑘 𝑙 3 Esta función de producción exhibe productividades marginales decrecientes para valores suficientemente grandes de 𝑘 y 𝑙 𝑓 𝑙𝑙 y 𝑓 𝑘𝑘 <0 si 𝑘𝑙 >200

22 Una TMST Decreciente La diferenciación cruzada de cualquiera de los productos marginales rinde: 𝑓 𝑘𝑙 = 𝑓 𝑙𝑘 =2.400𝑘𝑙−9 𝑘 2 𝑙 2 La cual es positiva solo para valores de 𝑘𝑙<266

23 Una TMST Decreciente Por tanto, para esta función de producción, la TMST es decreciente a través del rango en el cual las productividades marginales son positivas Para valores mayores de 𝑘 y 𝑙, las productividades marginales decrecientes son suficientes para compensar la influencia de valores negativos de 𝑓 𝑘𝑙 para asegurar la convexidad de las isocuantas

24 Retornos de Escala ¿Cómo responde el producto a aumentos simultáneos de los factores? Supongamos que se duplica la cantidad de todos los factores ¿Se duplicará el producto? Los retornos de escala han sido del interés de los economistas desde los días de Adam Smith

25 Retornos de Escala Smith identificó dos fuerzas que operan cuando los factores se duplican? Una mayor división del trabajo y especialización de funciones Perdida en la eficiencia ya que la gerencia se hace mas difícil dada la mayor escala de la empresa

26 Retornos de Escala Si la función de producción viene dada por 𝑞=𝑓(𝑘,𝑙) y todos los factores son multiplicados por la misma constante (𝑡>1), entonces Efecto en el Producto Retornos de Escala 𝑓 𝑡𝑘,𝑡𝑙 =𝑡𝑓(𝑘,𝑙) Constantes 𝑓 𝑡𝑘,𝑡𝑙 <𝑡𝑓(𝑘,𝑙) Decrecientes 𝑓 𝑡𝑘,𝑡𝑙 >𝑡𝑓(𝑘,𝑙) Crecientes

27 Retornos de Escala Es posible que una función de producción presente rendimientos contantes de escala para algunos niveles de usos de factores, y retornos crecientes o decrecientes para otros niveles. Los economistas se refieren al grado de retornos de escala en con la noción implícita de que solo un relativamente estrecho margen de variación en el uso de factores y su nivel de producción relacionado esta siendo considerado

28 Retornos Constantes de Escala
Las funciones de producción con retornos constantes de escala son homogéneas de grado uno en los factores 𝑓 𝑡𝑘,𝑡𝑙 = 𝑡 1 𝑓 𝑘,𝑙 =𝑡𝑞 Esto implica que las funciones de productividad marginal son homogéneas de grado cero Nota Si una función es homogénea de grado n, sus derivadas son homogéneas de grado n-1

29 Retornos Constantes de Escala
La productividad marginal de cualquiera de los factores depende de la razón de capital/trabajo, no de los valores absolutos de los factores La TMST entre 𝑘 y 𝑙 depende solo de la razón de 𝑘 a 𝑙, no de la escala de la operación La Función de producción será una homotecia es decir una transformación monótona de una función homogénea de grado 1

30 Retornos Constantes de Escala
Geométricamente todas las Isocuantas son expansiones radiales una de otra Las Isocuantas se espacian de forma igual a medida que el producto se expande

31 Retornos de Escala Los retornos de escala pueden ser generalizados a un función de producción con n factores 𝑞=𝑓 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 Si todos los factores son multiplicados por una constante positiva 𝑡, tenemos 𝑓 𝑡𝑥 1 , 𝑡𝑥 2 ,…, 𝑡𝑥 𝑛 = 𝑡 𝑘 𝑓 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 = 𝑡 𝑘 𝑞 Si k=1, tenemos rendimientos a escala constantes Si k<1, tenemos rendimientos a escala decrecientes Si k>1, tenemos rendimientos a escala crecientes

32 Elasticidad de Sustitución
La elasticidad de sustitución (σ) mide el cambio proporcional en 𝑘/𝑙 en relación al cambio proporcional el la 𝑇𝑀𝑆𝑇 a lo largo de la Isocuanta 𝜎= Δ% 𝑘 𝑙 Δ%𝑇𝑀𝑆𝑇 = 𝑑 𝑘 𝑙 𝑑𝑇𝑀𝑆𝑇 ∙ 𝑇𝑀𝑆𝑇 𝑘 𝑙 = 𝜕𝑙𝑛 𝑘 𝑙 𝜕𝑙𝑛𝑇𝑀𝑆𝑇 El valor de σ será siempre positivo ya que k/l y la TMST se mueven en la misma dirección

33 Elasticidad de Sustitución
Tanto la TMST como k/l cambiarán al movernos de A hacia B σ es la razón entre estos cambios proporcionales σ mide la curvatura de la isocuanta

34 Elasticidad de Sustitución
Si σ es alta, la TMST no cambiara mucho en relación a k/l La Isocuanta será relativamente plana Si σ es baja, la TMST cambiará sustancialmente a medida que k/l cambia La curvatura de la Isocuanta será pronunciada Es posible que σ cambie a lo largo de la Isocuanta a medida que la escala de producción cambia

35 Elasticidad de Sustitución
El generalizar la elasticidad de sustituciones al caso de múltiples factores genera diversas complicaciones: Si definimos a la elasticidad de sustitución entre dos factores como el cambio proporcional en la razón entre dichos factores entre el cambio proporcional de la TMST, necesitamos mantener tanto el nivel de producto como el de los otros factores constante

36 La Función de Producción Lineal
Supongamos que la función de producción es: 𝑞=𝑓 𝑘,𝑙 =𝑎𝑘+𝑏𝑙 Esta función de producción presenta rendimientos de escala constantes 𝑓 𝑡𝑘,𝑡𝑙 =𝑎𝑡𝑘+𝑏𝑡𝑙=𝑡 𝑎𝑘+𝑏𝑙 =𝑡𝑓(𝑘,𝑙) Todas las Isocuantas son líneas rectas La TMST es constante σ = ∞

37 La Función de Producción Lineal
El capital y el trabajo son perfectos sustitutos

38 Proporciones Fijas 𝑞= 𝑚𝑖𝑛 𝑎𝑘,𝑏𝑙 𝑎,𝑏>0
Supongamos que la función de producción es: 𝑞= 𝑚𝑖𝑛 𝑎𝑘,𝑏𝑙 𝑎,𝑏>0 El capital y el trabajo deben siempre ser empleados un una proporción fija La empresa operara siempre a lo largo del vector donde k/l es constante Dado que k/l es constante, σ = 0

39 Proporciones Fijas la sustitución entre capital y trabajo no es posible

40 Función de Producción Cobb-Douglas
Supongamos que la función de producción es: 𝑞=𝑓 𝑘,𝑙 =𝐴 𝑘 𝑎 𝑙 𝑏 𝐴,𝑎,𝑏>0 Esta función de producción puede presentar cualquier rendimiento de escala 𝑓 𝑡𝑘,𝑡𝑙 =𝐴 (𝑡𝑘) 𝑎 (𝑡𝑙) 𝑏 =𝐴 𝑡 𝑎+𝑏 𝑘 𝑎 𝑙 𝑏 = 𝑡 𝑎+𝑏 𝑓 𝑘,𝑙 Si a + b = 1 ⟹ Retornos de escala constantes Si a + b > 1 ⟹ Retornos de escala crecientes Si a + b < 1 ⟹ Retornos de escala decrecientes

41 Función de Producción Cobb-Douglas
La función de producción Cobb-Douglas es lineal en forma logarítmica: ln 𝑞 = ln 𝐴 +𝑎 ln 𝑘 +𝑏 ln 𝑙 a es la elasticidad del producto con respecto a k b es la elasticidad del producto con respecto a l